Polinomio de Alejandro
En matemáticas , el polinomio de Alexander es un nudo invariante que asigna un polinomio con coeficientes enteros a cada tipo de nudo. James Waddell Alexander II descubrió esto, el primer polinomio de nudos , en 1923. En 1969, John Conway mostró que una versión de este polinomio, ahora llamado polinomio de Alexander-Conway , podía calcularse usando una relación de madeja , aunque su importancia no se dio cuenta hasta el descubrimiento del polinomio de Jonesen 1984. Poco después de la reelaboración de Conway del polinomio de Alexander, se dio cuenta de que se exhibía una relación de madeja similar en el artículo de Alexander sobre su polinomio. [1]
Sea K un nudo en la 3-esfera . Sea X la cobertura cíclica infinita del complemento de nudos de K . Esta cobertura se puede obtener cortando el complemento de nudo a lo largo de una superficie de Seifert de K y pegando infinitas copias de la variedad resultante con límite de manera cíclica. Hay una transformación de cobertura t que actúa sobre X. Considere la primera homología (con coeficientes enteros) de X , denotada . La transformación t actúa sobre la homología y así podemos considerarun módulo sobre el anillo de polinomios de Laurent . Esto se llama invariante de Alexander o módulo de Alexander .
![\mathbb {Z} [t,t^{-1}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a5e4346ad5a10b8340dd3eccd0b6fd469758911)
El módulo es finitamente presentable; una matriz de presentación para este módulo se llama matriz de Alexander . Si el número de generadores, r , es menor o igual que el número de relaciones, s , entonces consideramos el ideal generado por todos los r por r menores de la matriz; este es el ideal de ajuste cero o el ideal de Alexander y no depende de la elección de la matriz de presentación. Si r > s , establezca el ideal igual a 0. Si el ideal de Alexander es principal, toma un generador; esto se llama un polinomio de Alexander del nudo. Dado que esto solo es único hasta la multiplicación por el monomio de Laurent , a menudo se fija una forma única particular. La elección de normalización de Alexander es hacer que el polinomio tenga un término constante positivo .
Alexander demostró que el ideal de Alexander es distinto de cero y siempre principal. Por lo tanto, siempre existe un polinomio de Alexander, y es claramente un nudo invariante, denotado . El polinomio de Alexander para el nudo configurado por una sola cuerda es un polinomio de t 2 y luego es el mismo polinomio para el nudo imagen especular. Es decir, no puede distinguir entre el nudo y uno por su imagen especular.
El siguiente procedimiento para calcular el polinomio de Alexander fue proporcionado por JW Alexander en su artículo. [2]
Tome un diagrama orientado del nudo con n cruces; hay n + 2 regiones del diagrama de nudos. Para calcular el polinomio de Alexander, primero se debe crear una matriz de incidencia de tamaño ( n , n + 2). Las n filas corresponden a los n cruces, y las n + 2 columnas a las regiones. Los valores para las entradas de la matriz son 0, 1, −1, t , − t .