Mapa casi abierto

Un mapa que cumple una condición similar a la de ser un mapa abierto.

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En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un mapa casi abierto entre espacios topológicos es un mapa que satisface una condición similar, pero más débil, que la condición de ser un mapa abierto . Como se describe a continuación, para ciertas categorías amplias de espacios vectoriales topológicos , todos los operadores lineales sobreyectivos son necesariamente casi abiertos.

Definiciones

Dado un mapa sobreyectiva un punto se denomina punto de apertura para y se dice que es abierto en (o un mapa abierto en ) si para cada vecindad abierta de un barrio de en (nota que el barrio no está obligado a ser un abierto vecindario). ${\displaystyle f:X\to Y,}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f(U)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f(U)}$

Un mapa sobreyectivo se llama mapa abierto si está abierto en todos los puntos de su dominio, mientras que se llama mapa casi abierto, cada una de sus fibras tiene algún punto de apertura. Explícitamente, se dice que un mapa sobreyectivo es casi abierto si por cada existe algo de este tipo que está abierto en Cada sobreyección casi abierta es necesariamente un mapa pseudo-abierto (introducido por Alexander Arhangelskii en 1963), que por definición significa que para todos y cada vecindario de (es decir ), es necesariamente un vecindario de${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle y\in Y,}$${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq \operatorname {Int} _{X}U}$${\displaystyle f(U)}$${\displaystyle y.}$

Mapa lineal casi abierto

Un mapa lineal entre dos espacios vectoriales topológicos (TVS) se llama casi abierto si para cualquier vecindario de en el cierre de en es un vecindario del origen.${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle T(U)}$${\displaystyle Y}$

Es importante destacar que la convocatoria de algunos autores está casi abierta si para algún barrio de en el cierre de en ( en lugar de en ) es un barrio del origen; este artículo no utilizará esta definición. ^[1]${\displaystyle T}$${\displaystyle U}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle T(U)}$${\displaystyle T(X)}$${\displaystyle Y}$

Si un operador lineal está casi abierto, porque es un subespacio vectorial de que contiene una vecindad de 0 en es necesariamente sobreyectivo . Por esta razón, muchos autores requieren la sobrejetividad como parte de la definición de "casi abierto". ${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle T(X)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T:X\to Y}$

Si es un operador lineal biyectivo, entonces está casi abierto si y solo si es casi continuo . ^[1]${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{-1}}$

Relación con mapas abiertos

Todo mapa abierto sobreyectivo es un mapa casi abierto pero, en general, lo contrario no es necesariamente cierto. Si una sobreyección es un mapa casi abierto, entonces será un mapa abierto si satisface la siguiente condición (una condición que no depende de ninguna manera de la topología ): ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \sigma }$

siempre que pertenezcan a la misma fibra de (es decir ) entonces para cada vecindario de existe algún vecindario de tal que${\displaystyle m,n\in X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(m)=f(n)}$${\displaystyle U\in \tau }$${\displaystyle m,}$${\displaystyle V\in \tau }$${\displaystyle n}$${\displaystyle F(V)\subseteq F(U).}$

Si el mapa es continuo, la condición anterior también es necesaria para que el mapa esté abierto. Es decir, si es una sobreyección continua entonces es un mapa abierto si y solo si está casi abierto y cumple la condición anterior.${\displaystyle f:X\to Y}$

Teoremas de mapeo abierto

Teorema : ^[1] Si es un operador lineal sobreyectivo desde un espacio localmente convexo a un espacio barrenado, entonces está casi abierto.${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle T}$

Teorema : ^[1] Si es un operador lineal sobreyectivo de un TVS a un espacio de Baire, entonces está casi abierto.${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle T}$

Los dos teoremas anteriores no requieren que el mapa lineal sobreyectivo satisfaga ninguna condición topológica.

Teorema : ^[1] Si es un TVS pseudometrizable completo , es un TVS de Hausdorff y es una sobreyección lineal cerrada y casi abierta, entonces es un mapa abierto.${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle T}$

Teorema : ^[1] Suponga que es un operador lineal continuo desde un TVS pseudometrizable completo en un TVS de Hausdorff . Si la imagen de es no pobre en a continuación, es un mapa abierto y sobreyectiva es un espacio metrizable completa.${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle Y}$

Ver también

• Conjunto casi abierto
• Espacio en barril  : un espacio vectorial topológico con requisitos casi mínimos para que se mantenga el teorema de Banach-Steinhaus.
• Teorema de la inversa acotada
• Gráfico cerrado  : gráfico de una función que también es un subconjunto cerrado del espacio del producto
• Teorema del gráfico cerrado
• Conjunto abierto  : subconjunto básico de un espacio topológico
• Mapas abiertos y cerrados  : una función que envía subconjuntos abiertos (o cerrados) a subconjuntos abiertos (o cerrados)
• Teorema de mapeo abierto (análisis funcional)  : teorema que da las condiciones para que un mapa lineal continuo sea un mapa abierto (también conocido como teorema de Banach-Schauder)
• Mapa cuasi-abierto  : función que asigna conjuntos abiertos no vacíos a conjuntos que tienen un interior no vacío en su codominio
• Proyección de espacios de Fréchet  - Teorema que caracteriza cuando un mapa lineal continuo entre espacios de Fréchet es sobreyectivo.
• Espacio palmeado  : espacios vectoriales topológicos para los que se cumplen los teoremas de mapeo abierto y gráficos cerrados.

Referencias

1. Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 466-468.

Bibliografía

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