El análisis de fractales o el cálculo de fractales es una generalización del cálculo de variedades suaves al cálculo de fractales . El cálculo fractal o cálculo sobre fractal fue formulado en un artículo fundamental por Parvate y Gangal basado en el cálculo ordinario que se llama F <\ alpha> -Calculus. Se definieron ecuaciones diferenciales sobre conjuntos fractales y curvas.
La teoría describe fenómenos dinámicos que ocurren en objetos modelados por fractales. Estudia cuestiones como "¿cómo se difunde el calor en un fractal?" y "¿Cómo vibra un fractal?"
En el caso suave, el operador que ocurre con mayor frecuencia en las ecuaciones que modelan estas preguntas es el laplaciano , por lo que el punto de partida para la teoría del análisis de los fractales es definir un laplaciano en los fractales. Esto resulta no ser un operador diferencial completo .en el sentido habitual, pero tiene muchas de las propiedades deseadas. Hay varios enfoques para definir al laplaciano: probabilístico, analítico o teórico de la medida. Se definieron procesos aleatorios y variables y procesos aleatorios en conjuntos fractales totalmente desconectados. Se definieron integrales y derivadas de funciones en espacios de tartán de Cantor. Se definieron las derivadas no locales en conjuntos fractales de Cantor. Las propiedades de escala se dieron para derivados fractales locales y no locales. Se resuelven y comparan las ecuaciones diferenciales fractales locales y no locales. También se sugieren modelos físicos relacionados. Las transformadas generalizadas de Laplace y Sumudu involucran funciones con conjuntos fractales totalmente desconectados en la línea real. Las ecuaciones diferenciales lineales en conjuntos tipo Cantor se resuelven utilizando transformadas fractales Sumudu. Se deriva el movimiento aleatorio de una partícula en una curva fractal, utilizando el enfoque de Langevin. Esto implica definir una nueva velocidad en términos de la masa de la curva fractal, como se define en un trabajo reciente. La geometría de la curva fractal juega un papel importante en este análisis. Se propuso y resolvió una ecuación de Langevin con un modelo particular de ruido utilizando técnicas de cálculo fractal. Se formuló un nuevo cálculo sobre curvas fractales, como la curva de von Koch. Se obtuvo una ecuación de Fokker-Planck sobre curvas fractales, a partir de la ecuación de Chapmann-Kolmogorov sobre curvas fractales.
Ver también
- Cálculo de escalas de tiempo para ecuaciones dinámicas en un conjunto de cantor .
- Geometría diferencial
- Geometría diferencial discreta
- Geometría diferencial abstracta
Referencias
- Christoph Bandt; Siegfried Graf; Martina Zähle (2000). Geometría fractal y estocástica II . Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-6215-7.
- Jun Kigami (2001). Análisis sobre fractales . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-79321-6.
- Robert S. Strichartz (2006). Ecuaciones diferenciales sobre fractales . Princeton. ISBN 978-0-691-12542-8.
- Pavel Exner; Jonathan P. Keating; Peter Kuchment; Toshikazu Sunada y Alexander Teplyaev (2008). Análisis de gráficos y sus aplicaciones: Instituto Isaac Newton de Ciencias Matemáticas, Cambridge, Reino Unido, del 8 de enero al 29 de junio de 2007 . Librería AMS. ISBN 978-0-8218-4471-7.
enlaces externos
- Análisis sobre fractales , Robert S. Strichartz - Artículo en Avisos de la AMS
- Universidad de Connecticut - Análisis de proyectos de investigación de fractales
- Cálculo sobre subconjuntos fractales de línea real - I: formulación
- Cálculo sobre subconjuntos fractales de la línea real II: conjugado con cálculo ordinario
- Cálculo de curvas fractales en $ R ^ {n} $
- Ecuación de Fokker-Planck en curvas fractales
- Caminata aleatoria y distribuciones amplias en curvas fractales
- Ecuación de Langevin en curvas fractales
- Cálculo fractal de funciones en espacios de tartán de Cantor
- Ecuaciones diferenciales estocásticas sobre conjuntos fractales
- Sub y superdifusión en conjuntos de Cantor: más allá de la paradoja
- Integrales y derivadas no locales en conjuntos fractales con aplicaciones
- Ecuación logística fractal
- Transformada Sumudu en cálculo fractal
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- Difusión en conjuntos de Cantor de Middle medio
- Variables aleatorias y distribuciones estables en conjuntos Fractal Cantor