En matemáticas , una función analítica es una función que está dada localmente por una serie de potencias convergentes . Existen dos funciones analíticas reales y funciones analíticas complejas . Las funciones de cada tipo son infinitamente diferenciables , pero las funciones analíticas complejas exhiben propiedades que generalmente no son válidas para las funciones analíticas reales. Una función es analítica si y solo si su serie de Taylor alrededor de x 0 converge a la función en algún vecindario para cada x 0 en su dominio .
Definiciones
Formalmente, una función es analítica real en un conjunto abierto en la línea real si por alguna uno puede escribir
en el que los coeficientes son números reales y la serie es convergente a por en un barrio de .
Alternativamente, una función analítica real es una función infinitamente diferenciable tal que la serie de Taylor en cualquier punto en su dominio
converge a por en un barrio de puntual . [a] El conjunto de todas las funciones analíticas reales en un conjunto dado. a menudo se denota por .
Una función definido en algún subconjunto de la línea real se dice que es analítico real en un punto si hay un barrio de en la que es analítica real.
La definición de función analítica compleja se obtiene reemplazando, en las definiciones anteriores, "real" por "complejo" y "línea real" por "plano complejo". Una función es analítica compleja si y sólo si es holomórfica, es decir, es complejamente diferenciable. Por esta razón, los términos "holomórfico" y "analítico" a menudo se usan indistintamente para tales funciones. [1]
Ejemplos de
Ejemplos típicos de funciones analíticas son:
- Todas las funciones elementales :
- Todos los polinomios : si un polinomio tiene grado n , cualquier término de grado mayor que n en su expansión de la serie de Taylor debe desaparecer inmediatamente a 0, por lo que esta serie será trivialmente convergente. Además, cada polinomio es su propia serie de Maclaurin .
- La función exponencial es analítica. Cualquier serie de Taylor para esta función converge no solo para x lo suficientemente cerca de x 0 (como en la definición) sino para todos los valores de x (real o complejo).
- Las funciones trigonométricas , el logaritmo y las funciones de potencia son analíticas en cualquier conjunto abierto de su dominio.
- La mayoría de funciones especiales (al menos en algún rango del plano complejo):
Ejemplos típicos de funciones que no son analíticas son:
- La función de valor absoluto cuando se define en el conjunto de números reales o números complejos no es analítica en todas partes porque no es diferenciable en 0. Las funciones definidas por partes (funciones dadas por fórmulas diferentes en diferentes regiones) generalmente no son analíticas donde las piezas se encuentran.
- La función compleja conjugada z → z * no es analítica compleja, aunque su restricción a la línea real es la función identidad y por tanto analítica real, y es analítica real como función de a .
- Otras funciones suaves no analíticas y, en particular, cualquier función suave con soporte compacto, es decir , no puede ser analítico en . [2]
Caracterizaciones alternativas
Las siguientes condiciones son equivalentes:
- es analítica real en un conjunto abierto .
- Existe una compleja extensión analítica de a un set abierto que contiene .
- es realmente suave y para cada conjunto compacto existe una constante tal que por cada y cada entero no negativo el siguiente límite es válido [3]
Las funciones analíticas complejas son exactamente equivalentes a las funciones holomórficas y, por lo tanto, se caracterizan mucho más fácilmente.
Para el caso de una función analítica con varias variables (ver más abajo), la analiticidad real se puede caracterizar usando la transformada de Fourier-Bros-Iagolnitzer .
En el caso multivariable, las funciones analíticas reales satisfacen una generalización directa de la tercera caracterización. [4] Deja ser un conjunto abierto, y dejar .
Luego es analítica real en si y solo si y para cada compacto existe una constante de modo que para cada índice múltiple el siguiente límite es válido [5]
Propiedades de las funciones analíticas
- Las sumas, productos y composiciones de funciones analíticas son analíticas.
- El recíproco de una función analítica que no es cero en ninguna parte es analítico, como lo es el inverso de una función analítica invertible cuya derivada es cero en ninguna parte. (Véase también el teorema de inversión de Lagrange ).
- Cualquier función analítica es suave , es decir, infinitamente diferenciable. Lo contrario no es cierto para las funciones reales; de hecho, en cierto sentido, las funciones analíticas reales son escasas en comparación con todas las funciones reales infinitamente diferenciables. Para los números complejos, se cumple lo contrario y, de hecho, cualquier función diferenciable una vez en un conjunto abierto es analítica en ese conjunto (ver "analiticidad y diferenciabilidad" más adelante).
- Para cualquier conjunto abierto Ω ⊆ C , el conjunto A (Ω) de todas las funciones analíticas u : Ω → C es un espacio de Fréchet con respecto a la convergencia uniforme en conjuntos compactos. El hecho de que los límites uniformes en conjuntos compactos de funciones analíticas sean analíticos es una consecuencia fácil del teorema de Morera . El conjuntode todas las funciones analíticas acotadas con la norma suprema es un espacio de Banach .
Un polinomio no puede ser cero en demasiados puntos a menos que sea el polinomio cero (más precisamente, el número de ceros es como máximo el grado del polinomio). Un enunciado similar pero más débil es válido para las funciones analíticas. Si el conjunto de ceros de una función analítica f tiene un punto de acumulación dentro de su dominio , entonces f es cero en todas partes del componente conectado que contiene el punto de acumulación. En otras palabras, si ( r n ) es una secuencia de números distintos tal que ƒ ( r n ) = 0 para todo n y esta secuencia converge a un punto r en el dominio de D , entonces ƒ es idénticamente cero en el componente conectado de D que contiene r . Esto se conoce como el teorema de la identidad .
Además, si todas las derivadas de una función analítica en un punto son cero, la función es constante en el componente conectado correspondiente.
Estos enunciados implican que, si bien las funciones analíticas tienen más grados de libertad que los polinomios, siguen siendo bastante rígidas.
Analiticidad y diferenciabilidad
Como se señaló anteriormente, cualquier función analítica (real o compleja) es infinitamente diferenciable (también conocida como suave o C ∞ ). (Tenga en cuenta que esta diferenciabilidad está en el sentido de variables reales; compare las derivadas complejas a continuación). Existen funciones reales suaves que no son analíticas: consulte función suave no analítica . De hecho, existen muchas funciones de este tipo.
La situación es bastante diferente cuando se consideran funciones analíticas complejas y derivadas complejas. Se puede demostrar que cualquier función compleja diferenciable (en el sentido complejo) en un conjunto abierto es analítica . En consecuencia, en el análisis complejo , el término función analítica es sinónimo de función holomórfica .
Funciones analíticas reales versus complejas
Las funciones analíticas reales y complejas tienen diferencias importantes (se podría notar que incluso a partir de su diferente relación con la diferenciabilidad). La analiticidad de funciones complejas es una propiedad más restrictiva, ya que tiene condiciones necesarias más restrictivas y las funciones analíticas complejas tienen más estructura que sus contrapartes de la línea real. [6]
Según el teorema de Liouville , cualquier función analítica compleja acotada definida en todo el plano complejo es constante. El enunciado correspondiente para funciones analíticas reales, con el plano complejo reemplazado por la línea real, es claramente falso; esto está ilustrado por
Además, si se define una función analítica compleja en una bola abierta alrededor de un punto x 0 , su expansión de la serie de potencias en x 0 es convergente en toda la bola abierta ( las funciones holomórficas son analíticas ). Esta afirmación para funciones analíticas reales (con bola abierta significa un intervalo abierto de la línea real en lugar de un disco abierto del plano complejo) no es cierto en general; la función del ejemplo anterior da un ejemplo para x 0 = 0 y una bola de radio superior a 1, ya que la serie de potencias 1 - x 2 + x 4 - x 6 ... diverge para | x | ≥ 1.
Cualquier función analítica real en algún conjunto abierto de la línea real puede extenderse a una función analítica compleja en algún conjunto abierto del plano complejo. Sin embargo, no todas las funciones analíticas reales definidas en toda la línea real pueden extenderse a una función compleja definida en todo el plano complejo. La función ƒ ( x ) definida en el párrafo anterior es un contraejemplo, ya que no está definida para x = ± i . Esto explica por qué la serie de Taylor de ƒ ( x ) diverge para | x | > 1, es decir, el radio de convergencia es 1 porque la función compleja tiene un polo a la distancia 1 del punto de evaluación 0 y no hay más polos dentro del disco abierto de radio 1 alrededor del punto de evaluación.
Funciones analíticas de varias variables
Se pueden definir funciones analíticas en varias variables mediante series de potencias en esas variables (ver series de potencias ). Las funciones analíticas de varias variables tienen algunas de las mismas propiedades que las funciones analíticas de una variable. Sin embargo, especialmente para funciones analíticas complejas, los fenómenos nuevos e interesantes aparecen en 2 o más dimensiones complejas:
- Los conjuntos cero de funciones analíticas complejas en más de una variable nunca son discretos . Esto puede demostrarse mediante el teorema de extensión de Hartogs .
- Los dominios de holomorfia para funciones de un solo valor consisten en conjuntos abiertos arbitrarios (conectados). En varias variables complejas, sin embargo, solo algunos conjuntos abiertos conectados son dominios de holomorfia. La caracterización de dominios de holomorfia conduce a la noción de pseudoconvexidad .
Ver también
- Ecuaciones de Cauchy-Riemann
- Función holomorfa
- Teorema de Paley-Wiener
- Función cuasi analítica
- Composiciones infinitas de funciones analíticas
Notas
- ^ Esto implica una convergencia uniforme también en un vecindario (posiblemente más pequeño) de.
- ^ Churchill; Marrón; Verhey (1948). Variables y aplicaciones complejas . McGraw-Hill. pag. 46 . ISBN 0-07-010855-2.
Una función f de la variable compleja z es analítica en el punto z 0 si su derivada existe no solo en z sino en cada punto z en alguna vecindad de z 0 . Es analítica en una región R si es analítica en todos los puntos R . El término holomorfo también se usa en la literatura si denota analiticidad
- ^ Strichartz, Robert S. (1994). Una guía para la teoría de la distribución y las transformadas de Fourier . Boca Ratón: CRC Press. ISBN 0-8493-8273-4. OCLC 28890674 .
- ^ Krantz y Parks , 2002 , p. 15.
- ^ Komatsu, Hikosaburo (1960). "Una caracterización de funciones analíticas reales" . Actas de la Academia de Japón . 36 (3): 90–93. doi : 10.3792 / pja / 1195524081 . ISSN 0021-4280 .
- ^ "Clase de Gevrey - Enciclopedia de matemáticas" . encyclopediaofmath.org . Consultado el 30 de agosto de 2020 .
- ^ Krantz y parques, 2002 .
Referencias
- Conway, John B. (1978). Funciones de una variable compleja I . Textos de Posgrado en Matemáticas 11 (2ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90328-6.
- Krantz, Steven ; Parques, Harold R. (2002). Una cartilla de funciones analíticas reales (2ª ed.). Birkhäuser. ISBN 0-8176-4264-1.
enlaces externos
- "Función analítica" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Función analítica" . MathWorld .
- Solucionador de todos los ceros de una función analítica compleja que se encuentra dentro de una región rectangular por Ivan B. Ivanov