En matemáticas, el operador de suma indefinida (también conocido como operador de antidiferencia ), denotado por o , [1] [2] [3] es el operador lineal , inverso del operador de diferencia directa . Se relaciona con el operador de diferencia a plazo como la integral indefinida se relaciona con la derivada . Por lo tanto
Más explícitamente, si , luego
Si F ( x ) es una solución de esta ecuación funcional para una f ( x ) dada , entonces también lo es F ( x ) + C ( x ) para cualquier función periódica C ( x ) con período 1. Por lo tanto, cada suma indefinida en realidad representa una familia de funciones. Sin embargo la solución igual a su serie Newton expansión es de hasta única para una constante aditiva C . Esta solución única se puede representar mediante la forma formal de serie de potencia del operador antidiferencia:.
Teorema fundamental del cálculo discreto
Se pueden usar sumas indefinidas para calcular sumas definidas con la fórmula: [4]
Definiciones
Fórmula de suma de Laplace
- dónde son los números de Cauchy del primer tipo, también conocidos como los números de Bernoulli del segundo tipo. [5] [ cita requerida ]
Fórmula de Newton
- dónde es el factorial descendente .
Fórmula de Faulhaber
siempre que el lado derecho de la ecuación converja.
Fórmula de Mueller
Si luego [6]
Fórmula de Euler-Maclaurin
Elección del término constante
A menudo, la constante C en suma indefinida se fija a partir de la siguiente condición.
Dejar
Entonces la constante C se fija a partir de la condición
o
Alternativamente, se puede usar la suma de Ramanujan:
o al 1
Suma por partes
Suma indefinida por partes:
Suma definida por partes:
Reglas de período
Si es un período de función luego
Si es un antiperiodo de función , es decir luego
Uso alternativo
Algunos autores utilizan la frase "suma indefinida" para describir una suma en la que no se da el valor numérico del límite superior:
En este caso, una expresión de forma cerrada F ( k ) para la suma es una solución de
que se llama ecuación telescópica. [9] Es la inversa de la diferencia hacia atrás. operador. Está relacionado con el operador de antidiferencia directo utilizando el teorema fundamental del cálculo discreto descrito anteriormente.
Lista de sumas indefinidas
Esta es una lista de sumas indefinidas de varias funciones. No todas las funciones tienen una suma indefinida que se pueda expresar en términos de funciones elementales.
Antidiferencias de funciones racionales
- dónde , los polinomios de Bernoulli de orden generalizado a real .
- dónde es la función poligamma .
- dónde es la función digamma .
Antidiferencias de funciones exponenciales
Particularmente,
Antidiferencias de funciones logarítmicas
Antidiferencias de funciones hiperbólicas
- dónde es la función q-digamma .
Antidiferencias de funciones trigonométricas
- dónde es la función q-digamma .
Antidiferencias de funciones hiperbólicas inversas
Antidiferencias de funciones trigonométricas inversas
Antidiferencias de funciones especiales
- dónde es la función gamma incompleta .
- dónde es el factorial descendente .
- (ver función super-exponencial )
Ver también
Referencias
- ^ Suma indefinida en PlanetMath .
- ^ Sobre la computación de formularios cerrados para sumas indefinidas. Hombre Yiu-Kwong. J. Symbolic Computation (1993), 16, 355-376 [ enlace muerto permanente ]
- ^ "Si Y es una función cuya primera diferencia es la función y , entonces Y se llama una suma indefinida de y y se denota como Δ −1 y " Introducción a las ecuaciones en diferencias , Samuel Goldberg
- ^ "Manual de matemáticas discretas y combinatorias", Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999, ISBN 0-8493-0149-1
- ^ Números de Bernoulli del segundo tipo en Mathworld
- ^ Markus Müller. Cómo agregar un número no entero de términos y cómo producir sumas infinitas inusuales Archivado el 17 de junio de 2011 en la Wayback Machine (tenga en cuenta que usa una definición ligeramente alternativa de suma fraccionaria en su trabajo, es decir, inversa a la diferencia al revés, por lo tanto, 1 como límite inferior en su fórmula)
- ^ Bruce C. Berndt, Cuadernos de Ramanujan archivados el 12 de octubre de 2006en Wayback Machine , Teoría de las series divergentes de Ramanujan , Capítulo 6, Springer-Verlag (ed.), (1939), págs. 133-149.
- ^ Éric Delabaere, Resumen de Ramanujan , Seminario de algoritmos 2001-2002 , F. Chyzak (ed.), INRIA, (2003), págs. 83–88.
- ^ Algoritmos para ecuaciones en diferencias de orden superior no lineales , Manuel Kauers
Otras lecturas
- "Ecuaciones en diferencias: una introducción con aplicaciones", Walter G. Kelley, Allan C. Peterson, Academic Press, 2001, ISBN 0-12-403330-X
- Markus Müller. Cómo agregar un número de términos no entero y cómo producir sumas infinitas inusuales
- Markus Mueller, Dierk Schleicher. Sumas fraccionarias e identidades similares a Euler
- SP Polyakov. Suma indefinida de funciones racionales con minimización adicional de la parte sumable. Programmirovanie, 2008, vol. 34, N ° 2.
- "Ecuaciones y simulaciones en diferencias finitas", Francis B. Hildebrand, Prenctice-Hall, 1968