En matemáticas, el collar de Antoine es una incrustación topológica del conjunto de Cantor en el espacio euclidiano tridimensional, cuyo complemento no está simplemente conectado . También sirve como contraejemplo a la afirmación de que todos los espacios de Cantor son ambientalmente homeomórficos entre sí. Fue descubierto por Louis Antoine ( 1921 ).
![Collar de Antoine](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/b/ba/Antoine%27s_Necklace_Iteration_2.png/200px-Antoine%27s_Necklace_Iteration_2.png)
Construcción
El collar de Antoine se construye iterativamente así: Comience con un toro sólido A 0 (iteración 0). A continuación, construya un "collar" de toros enlazados más pequeños que se encuentren dentro de A 0 . Este collar es A 1 (iteración 1). Cada toro que compone A 1 se puede reemplazar con otro collar más pequeño, como se hizo para A 0 . Hacer esto produce A 2 (iteración 2).
Este proceso se puede repetir un número infinito de veces para crear un A n para todo n . El collar A de Antoine se define como la intersección de todas las iteraciones.
Propiedades
Dado que los toros sólidos se eligen para volverse arbitrariamente pequeños a medida que aumenta el número de iteración, los componentes conectados de A deben ser puntos únicos. Entonces es fácil verificar que A está cerrado , denso en sí mismo y totalmente desconectado , teniendo la cardinalidad del continuo . Esto es suficiente para concluir que, como espacio métrico abstracto, A es homeomorfo al conjunto de Cantor.
Sin embargo, como un subconjunto del espacio euclidiano A no es ambientalmente homeomórfico al conjunto C estándar de Cantor , incrustado en R 3 en un segmento de línea . Es decir, no hay un mapa bi-continuo a partir de R 3 → R 3 que lleva C a A . Para mostrar esto, suponga que existe un mapa h : R 3 → R 3 , y considere un bucle k que está entrelazado con el collar. k no se puede reducir continuamente a un punto sin tocar A porque dos bucles no se pueden desvincular continuamente. Ahora considerar cualquier bucle j disjunta de C . j se puede reducir a un punto sin tocar C porque simplemente podemos moverlo a través de los intervalos de separación. Sin embargo, el bucle g = h −1 ( k ) es un bucle que no se puede reducir a un punto sin tocar C , lo que contradice la declaración anterior. Por tanto, h no puede existir.
De hecho, no existe un homeomorfismo de R 3 que envíe A a un conjunto de dimensión de Hausdorff <1, ya que el complemento de dicho conjunto debe estar simplemente conectado.
El collar de Antoine fue utilizado por James Waddell Alexander ( 1924 ) para construir la esfera con cuernos de Antoine (similar pero no igual a la esfera con cuernos de Alexander ).
Ver también
- Polvo de Cantor : conjunto de puntos en un segmento de línea
- Fan de Knaster – Kuratowski
- Lista de topologías
- Alfombra Sierpinski
- Colector de Whitehead
Referencias
- Antoine, Louis (1921), "Sur l'homeomorphisme de deux figures et leurs voisinages", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 4 : 221–325
- Alexander, JW (1924), "Observaciones sobre un conjunto de puntos construido por Antoine", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 10 (1): 10–12, Bibcode : 1924PNAS ... 10 .. .10A , doi : 10.1073 / pnas.10.1.10 , JSTOR 84203 , PMC 1085501 , PMID 16576769
- Brechner, Beverly L .; Mayer, John C. (1988), "El collar de Antoine o cómo evitar que un collar se caiga", The College Mathematics Journal , 19 (4): 306–320, doi : 10.2307 / 2686463 , JSTOR 2686463
- Pugh, Charles Chapman (2002). Análisis matemático real . Springer Nueva York. págs. 106-108 . doi : 10.1007 / 978-0-387-21684-3 . ISBN 9781441929419.