En matemáticas , el colector de Whitehead es una abierta 3-colector que es contráctil , pero no homeomorfa a. JHC Whitehead ( 1935 ) descubrió este objeto desconcertante mientras intentaba probar la conjetura de Poincaré , corrigiendo un error en un artículo anterior de Whitehead (1934 , teorema 3) donde afirmaba incorrectamente que no existe tal variedad.
Un colector contráctil es aquel que se puede contraer continuamente a un punto dentro del colector mismo. Por ejemplo, una bola abierta es un colector contraíble. Todos los colectores homeomórficos de la pelota también son contráctiles. Uno puede preguntarse si todas las variedades contráctiles son homeomorfas a una bola. Para las dimensiones 1 y 2, la respuesta es clásica y es "sí". En la dimensión 2, se sigue, por ejemplo, del teorema de mapeo de Riemann . La dimensión 3 presenta el primer contraejemplo : la variedad Whitehead. [1]
Construcción
Toma una copia de , la esfera tridimensional . Ahora encuentra un toro sólido compacto sin nudos dentro de la esfera. (Un toro sólido es una rosquilla tridimensional ordinaria , es decir, un toro relleno , que es topológicamente un círculo multiplicado por un disco ). El complemento cerrado del toro sólido en el interior es otro toro sólido.
Ahora toma un segundo toro sólido adentro así que eso y una vecindad tubular de la curva meridiana dees un enlace de Whitehead engrosado .
Tenga en cuenta que es nulo-homotópico en el complemento del meridiano de. Esto se puede ver considerando como y la curva del meridiano como el eje z junto con. El torotiene un número de bobinado cero alrededor del eje z . Por tanto, sigue la homotopía nula necesaria. Dado que el enlace de Whitehead es simétrico, es decir, un homeomorfismo de los componentes de interruptores de 3 esferas, también es cierto que el meridiano de es también homotópico nulo en el complemento de .
Ahora incrustar adentro de la misma forma como yace dentro , y así; hasta el infinito. Defina W , el continuo de Whitehead , como, o más precisamente la intersección de todos los por .
El colector Whitehead se define como , que es un colector no compacto sin límite. De nuestra observación anterior, el teorema de Hurewicz y el teorema de Whitehead sobre la equivalencia de homotopía, se deduce que X es contráctil. De hecho, un análisis más detallado que involucra un resultado de Morton Brown muestra que. Sin embargo, X no es homeomorfo para. La razón es que no está simplemente conectado al infinito .
La compactación de un punto de X es el espacio(con W aplastado hasta un punto). No es un múltiple. Sin emabargo, es homeomorfo a .
David Gabai demostró que X es la unión de dos copias de cuya intersección es también homeomórfica con . [1]
Espacios relacionados
Se pueden construir más ejemplos de 3 colectores abiertos y contráctiles procediendo de manera similar y seleccionando diferentes incrustaciones de en en el proceso iterativo. Cada incrustación debe ser un toro sólido sin nudos en las 3 esferas. Las propiedades esenciales son que el meridiano dedebe ser nulo-homotópico en el complemento de, y además la longitud de no debe ser homotópico nulo en .
Otra variación es elegir varios subtori en cada etapa en lugar de solo uno. Los conos sobre algunos de estos continuos aparecen como complementos de los mangos de Casson en una bola de 4.
El espacio dogbone no es una variedad, sino su producto con es homeomorfo a .
Ver también
Referencias
- ↑ a b Gabai, David (2011). "La variedad Whitehead es una unión de dos espacios euclidianos". Revista de topología . 4 (3): 529–534. doi : 10.1112 / jtopol / jtr010 .
Otras lecturas
- Kirby, Robion (1989). La topología de 4 colectores . Notas de la conferencia de matemáticas, núm. 1374, Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-51148-1.
- Rolfsen, Dale (2003), "Sección 3.J.8.", Nudos y enlaces , AMS Chelsea Publishing, p. 82, ISBN 978-0821834367
- Whitehead, JHC (1934), "Ciertos teoremas sobre variedades tridimensionales (I)", Quarterly Journal of Mathematics , 5 (1): 308–320, Bibcode : 1934QJMat ... 5..308W , doi : 10.1093 / qmath /os-5.1.308
- Whitehead, JHC (1935), " Cierta variedad abierta cuyo grupo es la unidad", Quarterly Journal of Mathematics , 6 (1): 268-279, Bibcode : 1935QJMat ... 6..268W , doi : 10.1093 / qmath / os -6.1.268