Las aproximaciones para la constante matemática pi ( π ) en la historia de las matemáticas alcanzaron una precisión dentro del 0.04% del valor real antes del comienzo de la Era Común ( Arquímedes ). En matemáticas chinas , esto se mejoró a aproximaciones correctas a lo que corresponde a aproximadamente siete dígitos decimales en el siglo quinto.
No se hicieron más progresos hasta el siglo XV (gracias a los esfuerzos de Jamshīd al-Kāshī ). Los primeros matemáticos modernos alcanzaron una precisión de 35 dígitos a principios del siglo XVII ( Ludolph van Ceulen ) y 126 dígitos a partir del siglo XIX ( Jurij Vega ), superando la precisión requerida para cualquier aplicación concebible fuera de las matemáticas puras.
El récord de aproximación manual de π lo tiene William Shanks , quien calculó 527 dígitos correctamente en los años anteriores a 1873. Desde mediados del siglo XX, la aproximación de π ha sido la tarea de las computadoras digitales electrónicas (para una explicación integral, ver Cronología del cálculo de π ). En marzo de 2019, Emma Haruka Iwao , una empleada de Google de Japón , calculó un nuevo récord mundial de 31 billones de dígitos con la ayuda del servicio de computación en la nube de la compañía . [1] El récord fue superado el 29 de enero de 2020 por Timothy Mullican, [2] quien calculó 50 billones de dígitos utilizando equipos de servidores empresariales retirados y el software y-cruncher. [3]
Historia temprana
Las aproximaciones más conocidas de π que datan de antes de la Era Común tenían una precisión de dos decimales; esto se mejoró en matemáticas chinas en particular a mediados del primer milenio, con una precisión de siete lugares decimales. Después de esto, no se hicieron más avances hasta finales del período medieval.
Algunos egiptólogos [4] han afirmado que los antiguos egipcios usaban una aproximación de π como 22 ⁄ 7 = 3,142857 (aproximadamente un 0,04% demasiado alto) desde el Reino Antiguo . [5] Esta afirmación ha recibido escepticismo. [6] [7]
Las matemáticas babilónicas generalmente se aproximaban de π a 3, suficiente para los proyectos arquitectónicos de la época (en particular, también se refleja en la descripción del Templo de Salomón en la Biblia hebrea ). [8] Los babilonios sabían que esto era una aproximación, y una tablilla matemática del Antiguo Babilónico excavada cerca de Susa en 1936 (fechada entre los siglos XIX y XVII a. C.) da una mejor aproximación de π como 25 ⁄ 8 = 3,125, aproximadamente 0,528 por ciento por debajo del valor exacto. [9] [10] [11] [12]
Aproximadamente al mismo tiempo, el Papiro Matemático Egipcio Rhind (fechado en el Segundo Período Intermedio , c. 1600 a. C., aunque se dice que es una copia de un texto más antiguo del Reino Medio ) implica una aproximación de π como 256 ⁄ 81 ≈ 3,16 (con una precisión de 0,6 por ciento) calculando el área de un círculo mediante la aproximación con el octágono . [6] [13]
Los cálculos astronómicos en el Shatapatha Brahmana (c. Siglo VI a. C.) utilizan una aproximación fraccionaria de339 ⁄ 108 ≈ 3.139. [14]
En el siglo III a. C., Arquímedes demostró las marcadas desigualdades 223 ⁄ 71 < π < 22 ⁄ 7 , por medio de 96 gones regulares(precisiones de 2 · 10 −4 y 4 · 10 −4 , respectivamente).
En el siglo II d.C., Ptolomeo usó el valor 377 ⁄ 120 , la primera aproximación conocida con una precisión de tres decimales (precisión 2 · 10 −5 ). [15]
El matemático chino Liu Hui en 263 EC calculó π entre3.141 024 y3.142 708 inscribiendo un 96-gon y 192-gon; el promedio de estos dos valores es3.141 866 (precisión 9 · 10 −5 ). También sugirió que 3.14 era una aproximación suficientemente buena para fines prácticos. También se le ha atribuido con frecuencia un resultado posterior y más preciso, π ≈ 3927 ⁄ 1250 = 3,1416 (precisión 2 · 10 −6 ), aunque algunos estudiosos creen que esto se debe al matemático chino posterior (siglo V) Zu Chongzhi . [16] Se sabe que Zu Chongzhi calculó π entre 3,1415926 y 3,1415927, que era correcto con siete decimales. Dio otras dos aproximaciones de π : π ≈ 22 ⁄ 7 y π ≈ 355 ⁄ 113 . La última fracción es la mejor aproximación racional posible de π utilizando menos de cinco dígitos decimales en el numerador y denominador. El resultado de Zu Chongzhi supera la precisión alcanzada en las matemáticas helenísticas y permanecería sin mejoras durante cerca de un milenio. [ cita requerida ]
En la India de la era Gupta (siglo VI), el matemático Aryabhata en su tratado astronómico Āryabhaṭīya calculó el valor de π con cinco cifras significativas π ≈ 62832 ⁄ 20000 = 3,1416. [17] [18] usándolo para calcular una aproximación de lacircunferenciade la Tierra . [19] Aryabhata declaró que su resultado "aproximadamente" ( āsanna "acercándose") dio la circunferencia de un círculo. Su comentarista del siglo XV Nilakantha Somayaji ( escuela de astronomía y matemáticas de Kerala ) ha argumentado que la palabra significa no solo que esto es una aproximación, sino que el valor es inconmensurable (irracional) . [20]
Edad media
En el siglo V d.C., π se conocía en aproximadamente siete dígitos en las matemáticas chinas y en aproximadamente cinco dígitos en las matemáticas indias. No se hicieron más progresos durante casi un milenio, hasta el siglo XIV, cuando el matemático y astrónomo indio Madhava de Sangamagrama , fundador de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala , descubrió la serie infinita para π , ahora conocida como serie Madhava-Leibniz , [21] [22] y dio dos métodos para calcular el valor de π . Uno de estos métodos es obtener una serie que converge rápidamente transformando la serie infinita original de π . Al hacerlo, obtuvo la serie infinita
y usó los primeros 21 términos para calcular una aproximación de π correcta a 11 lugares decimales como3.141 592 653 59 .
El otro método que usó fue agregar un término restante a la serie original de π . Usó el término restante
en la expansión en serie infinita de π ⁄ 4 para mejorar la aproximación deπa 13 lugares decimales de precisión cuando n = 75.
Jamshīd al-Kāshī (Kāshānī), un astrónomo y matemático persa , calculó correctamente de 2 π a 9 dígitos sexagesimales en 1424. [23] Esta cifra equivale a 17 dígitos decimales como
que equivale a
Logró este nivel de precisión calculando el perímetro de un polígono regular con 3 × 2 28 lados. [24]
Siglos XVI al XIX
En la segunda mitad del siglo XVI, el matemático francés François Viète descubrió un producto infinito que convergía en π conocido como fórmula de Viète .
El matemático germano-holandés Ludolph van Ceulen ( alrededor de 1600) calculó los primeros 35 lugares decimales de π con un 2 62 -gon. Estaba tan orgulloso de este logro que los hizo inscribir en su lápida . [25]
En Cyclometricus (1621), Willebrord Snellius demostró que el perímetro del polígono inscrito converge en la circunferencia dos veces más rápido que el perímetro del polígono circunscrito correspondiente. Esto fue probado por Christiaan Huygens en 1654. Snellius pudo obtener siete dígitos de π de un polígono de 96 lados . [26]
En 1789, el matemático esloveno Jurij Vega calculó los primeros 140 decimales para π , de los cuales los primeros 126 eran correctos [27] y mantuvo el récord mundial durante 52 años hasta 1841, cuando William Rutherford calculó 208 decimales, de los cuales el primero 152 estaban en lo cierto. Vega mejoró la fórmula de John Machin a partir de 1706 y su método todavía se menciona hoy. [ cita requerida ]
La magnitud de tal precisión (152 lugares decimales) se puede poner en contexto por el hecho de que la circunferencia del objeto más grande conocido, el universo observable, se puede calcular a partir de su diámetro (93 mil millones de años luz ) con una precisión de menos de una longitud de Planck (a1.6162 × 10 −35 metros , la unidad de longitud más corta que tiene un significado real) usando π expresado con solo 62 lugares decimales. [28]
El matemático aficionado inglés William Shanks , un hombre de medios independientes, pasó más de 15 años calculando π con 607 decimales. Esto se logró en 1873, con los primeros 527 lugares correctos. [29] Calculaba nuevos dígitos toda la mañana y luego pasaba toda la tarde revisando su trabajo matutino. Esta fue la expansión más larga de π hasta el advenimiento de la computadora digital electrónica tres cuartos de siglo después. [ cita requerida ]
Siglos XX y XXI
En 1910, el matemático indio Srinivasa Ramanujan encontró varias series infinitas de π que convergen rápidamente , incluyendo
que calcula otros ocho lugares decimales de π con cada término de la serie. Sus series son ahora la base de los algoritmos más rápidos que se utilizan actualmente para calcular π . Véase también la serie Ramanujan – Sato .
Desde mediados del siglo XX en adelante, todos los cálculos de π se han realizado con la ayuda de calculadoras o computadoras .
En 1944, DF Ferguson, con la ayuda de una calculadora de escritorio mecánica , descubrió que William Shanks había cometido un error en el lugar decimal 528 y que todos los dígitos siguientes eran incorrectos.
En los primeros años de la computadora, una expansión de π a100 000 lugares decimales [30] : 78 fue calculado por el matemático de Maryland Daniel Shanks (sin relación con el mencionado William Shanks) y su equipo en el Laboratorio de Investigación Naval de los Estados Unidos en Washington, DC En 1961, Shanks y su equipo utilizaron dos diferentes series de potencias para calcular los dígitos de π . Por un lado, se sabía que cualquier error produciría un valor ligeramente alto, y por el otro, se sabía que cualquier error produciría un valor ligeramente bajo. Y, por lo tanto, siempre que las dos series produjeran los mismos dígitos, había una confianza muy alta de que eran correctas. Los primeros 100 265 dígitos de π se publicaron en 1962. [30] : 80-99 Los autores describieron lo que se necesitaría para calcular π con 1 millón de decimales y concluyeron que la tarea estaba más allá de la tecnología de ese día, pero sería posible en cinco a siete años. [30] : 78
En 1989, los hermanos Chudnovsky calcularon π en más de mil millones de lugares decimales en la supercomputadora IBM 3090 utilizando la siguiente variación de la serie infinita de π de Ramanujan :
Desde entonces, todos los registros se han logrado utilizando el algoritmo de Chudnovsky . En 1999, Yasumasa Kanada y su equipo en la Universidad de Tokio calcularon π a más de 200 mil millones de lugares decimales en la supercomputadora HITACHI SR8000 / MPP (128 nodos) usando otra variación de la serie infinita de π de Ramanujan . En noviembre de 2002, Yasumasa Kanada y un equipo de 9 personas más utilizaron el Hitachi SR8000 , una supercomputadora de 64 nodos con 1 terabyte de memoria principal, para calcular π a aproximadamente 1,24 billones de dígitos en unas 600 horas (25 días). En octubre de 2005, afirmaron haberlo calculado en 1,24 billones de lugares. [31]
En agosto de 2009, una supercomputadora japonesa llamada T2K Open Supercomputer duplicó con creces el récord anterior al calcular π a aproximadamente 2,6 billones de dígitos en aproximadamente 73 horas y 36 minutos.
En diciembre de 2009, Fabrice Bellard utilizó una computadora doméstica para calcular 2,7 billones de dígitos decimales de π . Los cálculos se realizaron en base 2 (binario), luego el resultado se convirtió a base 10 (decimal). Los pasos de cálculo, conversión y verificación tomaron un total de 131 días. [32]
En agosto de 2010, Shigeru Kondo usó el y-cruncher de Alexander Yee para calcular 5 billones de dígitos de π . Este fue el récord mundial para cualquier tipo de cálculo, pero significativamente se realizó en una computadora doméstica construida por Kondo. [33] El cálculo se realizó entre el 4 de mayo y el 3 de agosto, y las verificaciones primaria y secundaria tardaron 64 y 66 horas, respectivamente. [34]
En octubre de 2011, Shigeru Kondo rompió su propio récord al calcular diez billones (10 13 ) y cincuenta dígitos utilizando el mismo método pero con mejor hardware. [35] [36]
En diciembre de 2013, Kondo rompió su propio récord por segunda vez cuando calculó 12,1 billones de dígitos de π . [37]
En octubre de 2014, Sandon Van Ness, con el seudónimo de "houkouonchi", utilizó y-cruncher para calcular 13,3 billones de dígitos de π . [38]
En noviembre de 2016, Peter Trueb y sus patrocinadores calcularon en y-cruncher y verificaron completamente 22,4 billones de dígitos de π (22,459,157,718,361 ( π e × 10 12 )). [39] El cálculo tardó (con tres interrupciones) 105 días en completarse, [38] la limitación de una mayor expansión es principalmente el espacio de almacenamiento. [37]
En marzo de 2019, Emma Haruka Iwao, empleada de Google , calculó 31,4 billones de dígitos de pi utilizando máquinas y-cruncher y Google Cloud . Esto tardó 121 días en completarse. [40]
En enero de 2020, Timothy Mullican anunció el cálculo de 50 billones de dígitos durante 303 días. [41] [42]
Aproximaciones practicas
Dependiendo del propósito de un cálculo, π se puede aproximar usando fracciones para facilitar el cálculo. Las aproximaciones más notables son 22 ⁄ 7 ( error relativo de aproximadamente 4 · 10 −4 ) y 355 ⁄ 113 (error relativo de aproximadamente 8 · 10 −8 ). [43] [44] [45]
"Definiciones" no matemáticas de π
De alguna notabilidad son los textos legales o históricos que supuestamente "definen π " para tener algún valor racional, como el " Indiana Pi Bill " de 1897, que decía que "la relación entre el diámetro y la circunferencia es de cinco cuartos a cuatro" (que implicaría " π = 3.2 ") y un pasaje en la Biblia hebrea que implica que π = 3 .
Factura de Indiana
El llamado " Proyecto de Ley Indiana Pi " de 1897 se ha caracterizado a menudo como un intento de "legislar el valor del Pi". Más bien, el proyecto de ley trataba de una supuesta solución al problema de " cuadrar el círculo " geométricamente . [46]
El proyecto de ley casi fue aprobado por la Asamblea General de Indiana en los EE. UU., Y se ha afirmado que implica una serie de valores diferentes para π , aunque lo más cercano a afirmar explícitamente uno es la redacción "la relación entre el diámetro y la circunferencia es como cinco cuartos a cuatro ", lo que haría π = 16 ⁄ 5 = 3,2, una discrepancia de casi el 2 por ciento. Un profesor de matemáticas que estuvo presente el día en que el proyecto de ley fue presentado para su consideración en el Senado, después de su aprobación en la Cámara, ayudó a detener la aprobación del proyecto de ley en su segunda lectura, después de lo cual la asamblea lo ridiculizó a fondo antes de presentarlo indefinidamente.
Valor bíblico imputado
A veces se afirma que la Biblia hebrea implica que " π es igual a tres", según un pasaje de 1 Reyes 7:23 y 2 Crónicas 4: 2 que indica que la palangana redonda ubicada frente al templo en Jerusalén tiene un diámetro. de 10 codos y una circunferencia de 30 codos.
El tema se discute en el Talmud y en la literatura rabínica . [47] Entre las muchas explicaciones y comentarios se encuentran los siguientes:
- El rabino Nehemías explicó esto en su Mishnat ha-Middot (el texto hebreo más antiguo conocido sobre geometría , ca. 150 EC) diciendo que el diámetro se midió desde el borde exterior mientras que la circunferencia se midió a lo largo del borde interior . Esta interpretación implica un borde de aproximadamente 0,225 codos (o, asumiendo un "codo" de 18 pulgadas, unas 4 pulgadas), o un " palmo de palmas " y un tercio de grosor (cf. NKJV y NKJV ).
- Maimónides afirma (ca. 1168 d.C.) que π solo se puede conocer aproximadamente, por lo que el valor 3 se dio como lo suficientemente preciso para fines religiosos. Algunos [48] toman esto como la primera afirmación de que π es irracional.
- Otra explicación rabínica [¿ por quién? ] [ año necesario ] invoca gematria : En la NKJV, la palabra traducida como 'línea de medición' aparece en el texto hebreo escrito KAVEH קַוה, pero en otros lugares la palabra generalmente se escribe KAV קַו. La razón de los valores numéricos de estas grafías hebreas es 111 ⁄ 106 . Si el valor putativo de 3 se multiplica por esta relación, se obtiene 333 ⁄ 106 = 3.141509433 ... - dando 4 dígitos decimales correctos, que está dentro 1 ⁄ 10,000 del valor verdadero de π .
Todavía hay cierto debate sobre este pasaje en la erudición bíblica. [ verificación fallida ] [49] [50] Muchas reconstrucciones de la palangana muestran un borde más ancho (o labio ensanchado) que se extiende varias pulgadas hacia afuera desde la propia taza para coincidir con la descripción dada en NKJV [51] En los versículos siguientes, el borde se describe como "un palmo de espesor; y el borde de la misma fue labrado como el borde de una copa, como la flor de un lirio: recibió y sostuvo tres mil baños" NKJV , lo que sugiere una forma que se puede abarcar con una cuerda más corta que la longitud total del borde, por ejemplo, una flor de Lilium o una taza de té .
Desarrollo de fórmulas eficientes
Aproximación de polígono a un círculo
Arquímedes, en su Medición de un círculo , creó el primer algoritmo para el cálculo de π basado en la idea de que el perímetro de cualquier polígono (convexo) inscrito en un círculo es menor que la circunferencia del círculo, que, a su vez, es menor que el perímetro de cualquier polígono circunscrito. Comenzó con hexágonos regulares inscritos y circunscritos, cuyos perímetros se determinan fácilmente. Luego muestra cómo calcular los perímetros de polígonos regulares de dos veces más lados que están inscritos y circunscritos alrededor del mismo círculo. Este es un procedimiento recursivo que se describiría hoy de la siguiente manera: Sean p k y P k los perímetros de polígonos regulares de k lados que están inscritos y circunscritos alrededor del mismo círculo, respectivamente. Luego,
Arquímedes usa esto para calcular sucesivamente P 12 , p 12 , P 24 , p 24 , P 48 , p 48 , P 96 y p 96 . [52] Utilizando estos últimos valores obtiene
No se sabe por qué Arquímedes se detuvo en un polígono de 96 lados; solo se necesita paciencia para ampliar los cálculos. Heron informa en su Métrica (alrededor del 60 d.C.) que Arquímedes continuó el cálculo en un libro ahora perdido, pero luego le atribuye un valor incorrecto. [53]
Arquímedes no usa trigonometría en este cálculo y la dificultad de aplicar el método radica en obtener buenas aproximaciones para las raíces cuadradas involucradas. La trigonometría, en forma de una tabla de longitudes de cuerdas en un círculo, probablemente fue utilizada por Claudio Ptolomeo de Alejandría para obtener el valor de π dado en el Almagesto (alrededor de 150 d. C.). [54]
Los avances en la aproximación de π (cuando se conocen los métodos) se realizaron aumentando el número de lados de los polígonos utilizados en el cálculo. Una mejora trigonométrica de Willebrord Snell (1621) obtiene mejores límites a partir de un par de límites obtenidos del método del polígono. Por lo tanto, se obtuvieron resultados más precisos a partir de polígonos con menos lados. [55] La fórmula de Viète , publicada por François Viète en 1593, fue derivada por Viète utilizando un método poligonal estrechamente relacionado, pero con áreas en lugar de perímetros de polígonos cuyo número de lados son potencias de dos. [56]
El último gran intento de calcular π mediante este método lo llevó a cabo Grienberger en 1630, quien calculó 39 lugares decimales de π utilizando el refinamiento de Snell. [55]
Fórmula similar a una máquina
Para cálculos rápidos, se pueden usar fórmulas como la de Machin :
junto con la expansión en serie de Taylor de la función arctan ( x ). Esta fórmula se verifica más fácilmente usando coordenadas polares de números complejos , produciendo:
({ x , y } = {239, 13 2 } es una solución de la ecuación de Pell x 2 −2 y 2 = −1.)
Las fórmulas de este tipo se conocen como fórmulas tipo Machin . La fórmula particular de Machin se usó en la era de las computadoras para calcular números récord de dígitos de π , [30] pero más recientemente también se han usado otras fórmulas similares.
Por ejemplo, Shanks y su equipo utilizaron la siguiente fórmula similar a Machin en 1961 para calcular los primeros 100.000 dígitos de π : [30]
y usaron otra fórmula similar a Machin,
como un cheque.
El récord de diciembre de 2002 de Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio era de 1.241.100.000.000 dígitos. Para esto se utilizaron las siguientes fórmulas tipo Machin:
K. Takano (1982).
FCM Størmer (1896).
Otras fórmulas clásicas
Otras fórmulas que se han utilizado para calcular estimaciones de π incluyen:
Liu Hui (ver también la fórmula de Viète ):
Madhava :
Euler :
Transformación de convergencia de Newton / Euler: [57]
donde (2 k + 1) !! denota el producto de los números enteros impares hasta 2 k + 1.
Ramanujan :
David Chudnovsky y Gregory Chudnovsky :
El trabajo de Ramanujan es la base del algoritmo de Chudnovsky , los algoritmos más rápidos utilizados, a partir del cambio de milenio, para calcular π .
Algoritmos modernos
Las expansiones decimales extremadamente largas de π se calculan típicamente con fórmulas iterativas como el algoritmo de Gauss-Legendre y el algoritmo de Borwein . Este último, encontrado en 1985 por Jonathan y Peter Borwein , converge extremadamente rápido:
Para y
dónde , la secuencia converge trimestralmente a π , dando alrededor de 100 dígitos en tres pasos y más de un billón de dígitos después de 20 pasos. Sin embargo, se sabe que usar un algoritmo como el de Chudnovsky (que converge linealmente) es más rápido que estas fórmulas iterativas.
El primer millón de dígitos de π y 1 ⁄ π están disponibles en Project Gutenberg (consulte los enlaces externos a continuación). Un antiguo récord de cálculo (diciembre de 2002) de Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio era de 1,24 billones de dígitos, que se calcularon en septiembre de 2002 en una supercomputadora Hitachi de 64 nodoscon 1 terabyte de memoria principal, que realiza 2 billones de operaciones por segundo, casi dos veces más que la computadora utilizada para el récord anterior (206 mil millones de dígitos). Para esto se utilizaron las siguientes fórmulas tipo Machin:
- ( Kikuo Takano (1982))
- ( F. C. M. Størmer (1896)).
Estas aproximaciones tienen tantos dígitos que ya no tienen ningún uso práctico, excepto para probar nuevas supercomputadoras. [58] Propiedades como la normalidad potencial de π siempre dependerán de la cadena infinita de dígitos al final, no de ningún cálculo finito.
Aproximaciones diversas
Históricamente, la base 60 se utilizó para los cálculos. En esta base, π se puede aproximar a ocho cifras significativas (decimales) con el número 3; 8,29,44 60 , que es
(El siguiente dígito sexagesimal es 0, lo que hace que el truncamiento produzca una aproximación relativamente buena).
Además, las siguientes expresiones se pueden utilizar para estimar π :
- con precisión de tres dígitos:
- con precisión de tres dígitos:
- Karl Popper conjeturó que Platón conocía esta expresión, que creía que era exactamente π , y que esto es responsable de parte de la confianza de Platón en la omnicompetencia de la geometría matemática, y la repetida discusión de Platón sobre triángulos rectángulos especiales que son isósceles o mitades de triángulos equiláteros.
- con precisión de cuatro dígitos:
- [59]
- con una precisión de cuatro dígitos (o cinco cifras significativas):
- [60]
- una aproximación de Ramanujan , con una precisión de 4 dígitos (o cinco cifras significativas):
- con precisión de cinco dígitos:
- con una precisión de seis dígitos [2] :
- con precisión de siete dígitos:
- con precisión de nueve dígitos:
- Esto es de Ramanujan , quien afirmó que la Diosa de Namagiri se le apareció en un sueño y le dijo el verdadero valor de π . [61]
- con una precisión de diez dígitos:
- con una precisión de diez dígitos (u once cifras significativas):
- Esta curiosa aproximación sigue a la observación de que la 193a potencia de 1 / π produce la secuencia 1122211125 ... Reemplazando 5 por 2 completa la simetría sin reducir los dígitos correctos de π , mientras que al insertar un punto decimal central fija notablemente la magnitud acompañante en 10 100 . [62]
- con precisión de 18 dígitos:
- [63]
- Esto se basa en el discriminante fundamental d = 3 (89) = 267 que tiene el número de clase h (- d ) = 2 que explica los números algebraicos de grado 2. El radical central es 5 3 más que la unidad fundamentallo que da la solución más pequeña { x , y } = {500, 53} a la ecuación de Pell x 2 - 89 y 2 = −1.
- exacto a 30 lugares decimales:
- Derivado de la cercanía de la constante de Ramanujan al entero 640320³ + 744. Esto no admite generalizaciones obvias en los números enteros, porque solo hay un número finito de números de Heegner y discriminantes negativos d con número de clase h (- d ) = 1, y d = 163 es el mayor en valor absoluto .
- precisa hasta 52 lugares decimales:
- Como el anterior, una consecuencia del invariante j . Entre discriminantes negativos con número de clase 2, este d la más grande en valor absoluto.
- precisa hasta 161 lugares decimales:
- donde u es un producto de cuatro unidades cuarticas simples,
- y,
- Basado en uno encontrado por Daniel Shanks . Similar a los dos anteriores, pero esta vez es un cociente de una forma modular , es decir, la función eta de Dedekind , y donde el argumento involucra . El discriminante d = 3502 tiene h (- d ) = 16.
- La representación de fracción continua de π se puede utilizar para generar sucesivas mejores aproximaciones racionales . Estas aproximaciones son las mejores aproximaciones racionales posibles de π en relación con el tamaño de sus denominadores. Aquí hay una lista de los primeros trece de estos: [64] [65]
- De todos estos es la única fracción en esta secuencia que da más dígitos exactos de π (es decir, 7) que el número de dígitos necesarios para aproximarlo (es decir, 6). La precisión se puede mejorar utilizando otras fracciones con numeradores y denominadores más grandes, pero, para la mayoría de estas fracciones, se requieren más dígitos en la aproximación que las cifras significativas correctas logradas en el resultado. [66]
Sumar el área de un círculo
Pi se puede obtener de un círculo si su radio y área se conocen usando la relación:
Si se dibuja un círculo con radio r con su centro en el punto (0, 0), cualquier punto cuya distancia desde el origen sea menor que r caerá dentro del círculo. El teorema de Pitágoras da la distancia desde cualquier punto ( x , y ) al centro:
Mathematical "papel de gráfico" está formado por imaginar un cuadrado de 1 × 1 centrada alrededor de cada celda ( x , Y ), donde x y y son números enteros entre - r y r . Los cuadrados cuyo centro reside dentro o exactamente en el borde del círculo se pueden contar probando si, para cada celda ( x , y ),
El número total de celdas que satisfacen esa condición se aproxima al área del círculo, que luego se puede usar para calcular una aproximación de π . Se pueden producir aproximaciones más cercanas utilizando valores más grandes de r .
Matemáticamente, esta fórmula se puede escribir:
En otras palabras, comience eligiendo un valor para r . Considere todas las celdas ( x , y ) en las que tanto x como y son números enteros entre - r y r . Comenzando en 0, agregue 1 para cada celda cuya distancia al origen (0,0) sea menor o igual que r . Cuando termine, divida la suma, que representa el área de un círculo de radio r , por r 2 para encontrar la aproximación de π . Por ejemplo, si r es 5, entonces las celdas consideradas son:
(−5,5) (−4,5) (−3,5) (−2,5) (−1,5) (0,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (−5,4) (−4,4) (−3,4) (−2,4) (−1,4) (0,4) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (−5,3) (−4,3) (−3,3) (−2,3) (−1,3) (0,3) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (−5,2) (−4,2) (−3,2) (−2,2) (−1,2) (0,2) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (−5,1) (−4,1) (−3,1) (−2,1) (−1,1) (0,1) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (−5,0) (−4,0) (−3,0) (−2,0) (−1,0) (0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0) (−5, −1) (−4, −1) (−3, −1) (−2, −1) (−1, −1) (0, −1) (1, −1) (2, −1) (3, −1) (4, −1) (5, −1) (−5, −2) (−4, −2) (−3, −2) (−2, −2) (−1, −2) (0, −2) (1, −2) (2, −2) (3, −2) (4, −2) (5, −2) (−5, −3) (−4, −3) (−3, −3) (−2, −3) (−1, −3) (0, −3) (1, −3) (2, −3) (3, −3) (4, −3) (5, −3) (−5, −4) (−4, −4) (−3, −4) (−2, −4) (−1, −4) (0, −4) (1, −4) (2, −4) (3, −4) (4, −4) (5, −4) (−5, −5) (−4, −5) (−3, −5) (−2, −5) (−1, −5) (0, −5) (1, −5) (2, −5) (3, −5) (4, −5) (5, −5)
Las 12 celdas (0, ± 5), (± 5, 0), (± 3, ± 4), (± 4, ± 3) están exactamente en el círculo, y 69 celdas están completamente adentro , por lo que el área aproximada es 81, y se calcula que π es aproximadamente 3,24 porque 81 ⁄ 5 2 = 3,24. Los resultados para algunos valores de r se muestran en la siguiente tabla:
r | área | aproximación de π |
---|---|---|
2 | 13 | 3,25 |
3 | 29 | 3.22222 |
4 | 49 | 3.0625 |
5 | 81 | 3,24 |
10 | 317 | 3,17 |
20 | 1257 | 3.1425 |
100 | 31417 | 3.1417 |
1000 | 3141549 | 3.141549 |
Para obtener resultados relacionados, consulte El problema del círculo: número de puntos (x, y) en un retículo cuadrado con x ^ 2 + y ^ 2 <= n .
De manera similar, las aproximaciones más complejas de π que se dan a continuación involucran cálculos repetidos de algún tipo, produciendo aproximaciones cada vez más cercanas con un número creciente de cálculos.
Fracciones continuas
Además de su simple representación de fracción continua [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...], que no muestra un patrón discernible, π tiene muchas representaciones de fracciones continuas generalizadas generadas por una regla simple, incluidas estas dos.
(Otras representaciones están disponibles en el sitio de Wolfram Functions ).
Trigonometría
Serie Gregory-Leibniz
La serie Gregory-Leibniz
es la serie de potencias para arctan (x) especializada ax = 1. Converge demasiado lentamente para ser de interés práctico. Sin embargo, la serie de potencias converge mucho más rápido para valores más pequeños de, que conduce a fórmulas donde surge como la suma de ángulos pequeños con tangentes racionales, conocidas como fórmulas tipo Machin .
Arctangent
Sabiendo que 4 arctan 1 = π , la fórmula se puede simplificar para obtener:
con una convergencia tal que cada 10 términos adicionales produzcan al menos tres dígitos más.
Otra frmula para que involucra una función arcangente está dada por
dónde tal que . Se pueden hacer aproximaciones usando, por ejemplo, la fórmula de Euler rápidamente convergente [67]
Alternativamente, se puede utilizar la siguiente serie de expansión simple de la función arcangente
dónde
para aproximar con una convergencia aún más rápida. Convergencia en esta fórmula arcangente para mejora como entero aumenta.
El constante también se puede expresar mediante la suma infinita de funciones arcangentes como
y
dónde es el n -ésimo número de Fibonacci . Sin embargo, estas dos fórmulas para son mucho más lentas en la convergencia debido al conjunto de funciones arcangentes que están involucradas en el cálculo.
Arcsine
Observando un triángulo equilátero y notando que
rendimientos
con una convergencia tal que cada cinco términos adicionales produzca al menos tres dígitos más.
El algoritmo Salamin-Brent
El algoritmo Gauss-Legendre o el algoritmo Salamin-Brent fue descubierto de forma independiente por Richard Brent y Eugene Salamin en 1975. Esto puede calcular a dígitos en el tiempo proporcionales a , mucho más rápido que las fórmulas trigonométricas.
Métodos de extracción de dígitos
La fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe (BBP) para calcular π fue descubierta en 1995 por Simon Plouffe. Usando matemáticas de base 16 , la fórmula puede calcular cualquier dígito particular de π —devuelve el valor hexadecimal del dígito— sin tener que calcular los dígitos intermedios (extracción de dígitos). [68]
En 1996, Simon Plouffe derivó un algoritmo para extraer el n- ésimo dígito decimal de π (usando matemáticas de base 10 para extraer un dígito de base 10), y que puede hacerlo con una velocidad mejorada de O ( n 3 (log n ) 3 ) hora. El algoritmo prácticamente no requiere memoria para el almacenamiento de una matriz o matriz, por lo que el dígito un millonésimo de π se puede calcular con una calculadora de bolsillo. [69] Sin embargo, sería bastante tedioso y poco práctico hacerlo.
La velocidad de cálculo de la fórmula de Plouffe fue mejorada a O ( n 2 ) por Fabrice Bellard , quien derivó una fórmula alternativa (aunque solo en matemáticas de base 2) para calcular π . [70]
Métodos eficientes
Muchas otras expresiones para π fueron desarrolladas y publicadas por el matemático indio Srinivasa Ramanujan . Trabajó con el matemático Godfrey Harold Hardy en Inglaterra durante varios años.
Las expansiones decimales extremadamente largas de π se calculan típicamente con el algoritmo de Gauss-Legendre y el algoritmo de Borwein ; el algoritmo Salamin-Brent , que fue inventado en 1976, también se ha utilizado.
En 1997, David H. Bailey , Peter Borwein y Simon Plouffe publicaron un artículo (Bailey, 1997) sobre una nueva fórmula para π como una serie infinita :
Esta fórmula permite calcular con bastante facilidad el k- ésimo dígito binario o hexadecimal de π , sin tener que calcular los k - 1 dígitos anteriores. El sitio web de Bailey [71] contiene la derivación y las implementaciones en varios lenguajes de programación . El proyecto PiHex calculó 64 bits alrededor del cuadrillonésimo bit de π (que resulta ser 0).
Fabrice Bellard mejoró aún más BBP con su fórmula : [72]
Otras fórmulas que se han utilizado para calcular estimaciones de π incluyen:
- Newton .
- Srinivasa Ramanujan .
Esto converge extraordinariamente rápido. El trabajo de Ramanujan es la base de los algoritmos más rápidos utilizados, a partir del cambio de milenio, para calcular π .
En 1988, David Chudnovsky y Gregory Chudnovsky encontraron una serie de convergencia aún más rápida (el algoritmo de Chudnovsky ):
- .
La velocidad de varios algoritmos para calcular pi an dígitos correctos se muestra a continuación en orden descendente de complejidad asintótica. M (n) es la complejidad del algoritmo de multiplicación empleado.
Algoritmo | Año | Complejidad del tiempo o velocidad |
---|---|---|
Algoritmo de Chudnovsky | 1988 | [38] |
Algoritmo de Gauss-Legendre | 1975 | [73] |
División binaria de la serie arctan en la fórmula de Machin | [73] | |
Fórmula de Leibniz para π | 1300 | Convergencia sublineal. Cinco mil millones de términos para 10 lugares decimales correctos |
Proyectos
Pi Hex
Pi Hex fue un proyecto para calcular tres dígitos binarios específicos de π utilizando una red distribuida de varios cientos de computadoras. En 2000, después de dos años, el proyecto terminó de calcular el cinco billonésimo (5 * 10 12 ), el cuarenta billonésimo y el cuatrillonésimo (10 15 ) bits. Los tres resultaron ser 0.
Software para calcular π
A lo largo de los años, se han escrito varios programas para calcular π con muchos dígitos en computadoras personales .
Propósito general
La mayoría de los sistemas de álgebra por computadora pueden calcular π y otras constantes matemáticas comunes con la precisión deseada.
Las funciones para calcular π también se incluyen en muchas bibliotecas generales para aritmética de precisión arbitraria , por ejemplo, Biblioteca de clases para números , MPFR y SymPy .
Proposito especial
Los programas diseñados para calcular π pueden tener un mejor rendimiento que el software matemático de uso general. Por lo general, implementan puntos de control y un intercambio de disco eficiente para facilitar cálculos extremadamente largos y costosos de memoria.
- TachusPi de Fabrice Bellard [74] es el programa utilizado por él mismo para calcular el número récord mundial de dígitos de pi en 2009.
- y -cruncherde Alexander Yee[38]es el programa que todos los poseedores de récords mundiales desde Shigeru Kondo en 2010 han utilizado para calcularcifras récord mundiales de dígitos. y-cruncher también se puede utilizar para calcular otras constantes y tiene récords mundiales para varias de ellas.
- PiFast de Xavier Gourdon fue el programa más rápido para Microsoft Windows en 2003. Según su autor, puede calcular un millón de dígitos en 3,5 segundos en un Pentium 4 de 2,4 GHz . [75] PiFast también puede calcular otros números irracionales como e y √ 2 . También puede funcionar con menor eficiencia con muy poca memoria (hasta unas pocas decenas de megabytes para calcular más de mil millones (10 9 ) dígitos). Esta herramienta es un punto de referencia popular en la comunidad de overclocking . PiFast 4.4 está disponible en la página Pi de Stu . PiFast 4.3 está disponible en la página de Gourdon.
- QuickPi de Steve Pagliarulo para Windows es más rápido que PiFast para ejecuciones de menos de 400 millones de dígitos. La versión 4.5 está disponible en la página Pi de Stu a continuación. Al igual que PiFast, QuickPi también puede calcular otros números irracionales como e , √ 2 y √ 3 . El software se puede obtener de Pi-Hacks Yahoo! foro, o desde la página Pi de Stu .
- Super PI de Kanada Laboratory [76] en la Universidad de Tokio es el programa para Microsoft Windows para ejecuciones de 16.000 a 33.550.000 dígitos. Puede calcular un millón de dígitos en 40 minutos, dos millones de dígitos en 90 minutos y cuatro millones de dígitos en 220 minutos en un Pentium de 90 MHz. La versión 1.9 de Super PI está disponible en la página de Super PI 1.9 .
Ver también
- Milü
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