Curva diferenciable
La geometría diferencial de curvas es la rama de la geometría que se ocupa de las curvas suaves en el plano y el espacio euclidiano mediante métodos de cálculo diferencial e integral .
Se han investigado a fondo muchas curvas específicas utilizando el enfoque sintético . La geometría diferencial toma otro camino: las curvas se representan de forma parametrizada , y sus propiedades geométricas y las diversas cantidades asociadas a ellas, como la curvatura y la longitud del arco , se expresan mediante derivadas e integrales mediante cálculo vectorial . Una de las herramientas más importantes que se utilizan para analizar una curva es el marco de Frenet , un marco en movimiento que proporciona un sistema de coordenadas en cada punto de la curva que está "mejor adaptado" a la curva cerca de ese punto.
La teoría de curvas es mucho más simple y de alcance más estrecho que la teoría de superficies y sus generalizaciones de dimensiones superiores porque una curva regular en un espacio euclidiano no tiene geometría intrínseca. Cualquier curva regular puede ser parametrizada por la longitud del arco (la parametrización natural ). Desde el punto de vista de una partícula puntual teórica en la curva que no sabe nada sobre el espacio ambiental, todas las curvas parecerían iguales. Las diferentes curvas espaciales solo se distinguen por cómo se doblan y retuercen. Cuantitativamente, esto se mide mediante las invariantes geométricas diferenciales llamadas curvatura y torsión de una curva. El teorema fundamental de las curvas Afirma que el conocimiento de estos invariantes determina completamente la curva.
eso es r -veces continuamente diferenciable (es decir, las funciones componentes de γ son continuamente diferenciables), donde n ∈ ℕ , r ∈ ℕ ∪ {∞} , y yo ser un intervalo no vacío de números reales. La imagen de la curva paramétrica es γ [ I ] ⊆ ℝ n . La curva paramétrica γ y su imagen γ [ I ] deben distinguirse porque un subconjunto dado de ℝ npuede ser la imagen de varias curvas paramétricas distintas. Se puede pensar que el parámetro t en γ ( t ) representa el tiempo y γ la trayectoria de un punto en movimiento en el espacio. Cuando I es un intervalo cerrado [ a , b ] , γ ( a ) se llama punto de partida y γ ( b ) es el punto final de γ . Si los puntos inicial y final coinciden (es decir, γ ( a ) = γ ( b )), entonces γ es una curva cerrada o un bucle . Para ser un bucle C r , la función γ debe ser r -veces continuamente diferenciable y satisfacer γ ( k ) ( a ) = γ ( k ) ( b ) para 0 ≤ k ≤ r .
es inyectable . Es analítico si cada función componente de γ es una función analítica , es decir, es de clase C ω .
es un subconjunto linealmente independiente de ℝ n . En particular, una curva C 1 paramétrica γ es regular si y solo si γ ′ ( t ) ≠ 0 para cualquier t ∈ I.
