En matemáticas , una norma asimétrica en un espacio vectorial es una generalización del concepto de norma .
Definición
Una norma asimétrica en un espacio vectorial real es una función que tiene las siguientes propiedades:
- Subaditividad o desigualdad triangular :
- Homogeneidad no negativa : y cada número real no negativo
- Definición positiva :
Las normas asimétricas se diferencian de las normas en que no necesitan satisfacer la igualdad
Si se omite la condición de definición positiva, entonces es una seminorma asimétrica . Una condición más débil que la definición positiva es la no degeneración : que para al menos uno de los dos números y no es cero.
Ejemplos de
En la linea real la función dada por
En un espacio vectorial real el funcional de Minkowski de un subconjunto convexo que contiene el origen está definido por la fórmula
Correspondencia entre seminormas asimétricas y subconjuntos convexos del espacio dual
Si es un conjunto convexo que contiene el origen, luego una seminorma asimétrica se puede definir en por la fórmula
- positivo definido si y solo si contiene el origen en su interior topológico ,
- degenerar si y solo si está contenido en un subespacio lineal de dimensión menor que y
- simétrico si y solo si
De manera más general, si es un espacio vectorial real de dimensión finita yes un subconjunto convexo compacto del espacio dual que contiene el origen, entonces es una seminorma asimétrica en
Ver también
Referencias
- Cobzaş, S. (2006). "Operadores compactos sobre espacios con norma asimétrica". Semental. Univ. Babeş-Bolyai Math . 51 (4): 69–87. ISSN 0252-1938 . Señor 2314639 .
- S. Cobzas, Análisis funcional en espacios normativos asimétricos , Fronteras en matemáticas, Basilea: Birkhäuser, 2013; ISBN 978-3-0348-0477-6 .