En matemáticas , en el campo del análisis funcional , un funcional de Minkowski es una función que recupera una noción de distancia en un espacio lineal.
Si K es un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo X , entonces definimos la función de Minkowski o calibre de K como la función p K : X → [0, ∞] , valorada en los números reales extendidos , definida por
- p K ( x ) ≝ inf { r ∈ ℝ: r > 0 y x ∈ rK }
para cada x ∈ X , donde el ínfimo del conjunto vacío se define para ser infinito positivo ∞ (que es no un número real de manera que p K ( x ) entonces no se valorarán real). Si el conjunto no está vacío, el mínimo será necesariamente un número real no negativo. Esta propiedad de no ser negativo contrasta con otras clases de funciones, como las funciones sublineales , que permiten valores negativos.
En el análisis funcional, generalmente se asume que K tiene propiedades (por ejemplo, absorber en X ) que garantizarán que para cada x ∈ X , este conjunto { r ∈ ℝ: r > 0 yx ∈ rK } no está vacío precisamente porque esto da como resultado que p K tenga un valor real.
Además, K también a menudo se supone que tiene más propiedades, tales como ser un absorbente de disco en X , ya que estas propiedades garantizan que p K será una (valor real-) seminorma en X . De hecho, cada seminorma p en X es igual al funcional de Minkowski de cualquier subconjunto K de X que satisfaga { x ∈ X : p ( x ) <1} ⊆ K ⊆ { x ∈ X : p ( x ) ≤ 1 } (donde los tres conjuntos absorben necesariamente en X y el primero y el último también son discos). Así, cada seminorma (que es una función definida por propiedades puramente algebraicas) puede asociarse (de forma no exclusiva) con un disco absorbente (que es un conjunto con ciertas propiedades geométricas) y, a la inversa, cada disco absorbente puede asociarse con su funcional de Minkowski ( que será necesariamente seminario). Estas relaciones entre seminormas, funcionales de Minkowski y discos absorbentes es una de las principales razones por las que los funcionales de Minkowski se estudian y utilizan en el análisis funcional. En particular, a través de estas relaciones, los funcionales Minkowski le permiten a uno "traducir" ciertas geométricas propiedades de un subconjunto de X en ciertas algebraicas propiedades de una función en X .
Se han aplicado funciones de Minkowski para describir el comportamiento de fase de los fluidos nanoconfinados. [1]
Definición
Definición y notación : Let K un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo X . Definir el calibre de K o el funcional de Minkowski asociado o inducido por K como la función p K : X → [0, ∞] , valorada en los números reales extendidos , definida pordonde recordemos que el mínimo del conjunto vacío es ∞ (es decir, inf ∅ = ∞ ). Aquí, { r > 0: x ∈ rK } es una abreviatura de { r ∈ ℝ: r > 0 y x ∈ rK }.
- p K ( x ) ≝ inf { r > 0: x ∈ rK },
Observe que para cualquier x ∈ X , p K ( x ) ≠ ∞ si y solo si { r > 0: x ∈ rK } no está vacío. Recuerde que podemos extender parcialmente las operaciones aritméticas de ℝ para incluir ± ∞ , donder/± ∞≝ 0 para todo real distinto de cero −∞ < r <∞ . Los productos 0 ⋅ ∞ y 0 ⋅ −∞ permanecen indefinidos.
- Algunas condiciones que hacen que un indicador tenga un valor real
En el campo del análisis convexo , el mapa p K que toma el valor de ∞ no es necesariamente un problema. Sin embargo, en el análisis funcional casi siempre queremos que p K tenga un valor real (es decir, que nunca tome el valor de ∞ ), lo que ocurre si y solo si el conjunto { r > 0: x ∈ rK } no está vacío para cada x ∈ X .
A fin de que p K a ser valorada real, es suficiente para el origen de X pertenecer a la interior algebraica (o núcleo ) de K en X . [2] Si K está absorbiendo en X , donde recuerde que esto implica que 0 ∈ K , entonces el origen pertenece al interior algebraico de K en X y, por lo tanto, p K tiene un valor real. Las caracterizaciones de cuándo p K tiene un valor real se dan a continuación.
Ejemplos motivadores
- Ejemplo 1
Considere un espacio vectorial normado ( X , || · ||) , con la norma || · || y dejar que T sea la bola unidad en X . Entonces, para cada x ∈ X , tenemos || x || = p U ( x ) . Así, el funcional de Minkowski p T es la norma en X .
- Ejemplo 2
Sea X un espacio vectorial sin topología con un campo escalar subyacente 𝕂 . Sea f : X → 𝕂 cualquier funcional lineal en X (no necesariamente continuo). Fije un > 0 . Sea K el conjunto
- K ≝ { x ∈ X : | f ( x ) | ≤ a }
y dejar que p K sea el Minkowski funcional de K .
Luego
- p K ( x ) = 1/a| f ( x ) |
para todos x ∈ X .
Tenga en cuenta que p K tiene las siguientes propiedades:
- Es subaditivo : p K ( x + y ) ≤ p K ( x ) + p K ( y ) .
- Es homogéneo : p K ( s x ) = | s | p K ( x ) para todos los escalares s .
- No es negativo: p K ≥ 0 .
Por lo tanto, p K es una seminorma en X , con una topología inducida. Esta es una característica de las funciones de Minkowski definidas mediante conjuntos "agradables". Existe una correspondencia uno a uno entre seminormas y el funcional de Minkowski dado por tales conjuntos. Lo que se entiende precisamente por "agradable" se analiza en la sección siguiente.
Observe que, en contraste con un requisito más estricto para una norma, p K ( x ) = 0 no necesariamente implica x = 0 . En el ejemplo anterior, se puede tomar una x distinta de cero del núcleo de f . En consecuencia, la topología resultante no necesita ser Hausdorff .
Condiciones comunes que convierten los medidores en seminormales
Así que tenemos p K (0) = 0 , de ahora en adelante supondremos que 0 ∈ K .
A fin de que p K sea un seminorma, es suficiente para K sea un disco (es decir, convexa y equilibrado) y la absorción en X , que son el supuesto más común colocado en K .
Teorema [3] - Si K es un disco absorbente en un espacio vectorial X, entonces el funcional de Minkowski de K , que es el mapa p K : X → [0, ∞) definido por
- p K ( x ) ≝ inf { r > 0: x ∈ rK },
es un seminorma en X . Es más,
- p K ( x ) = 1/sup { r > 0: rx ∈ K }.
Más generalmente, si K es convexo y el origen pertenece al interior algebraico de K , entonces p K es un funcional sublineal no negativo en X , lo que implica en particular que es subaditivo y homogéneo positivo . Si K está absorbiendo en X, entonces se puede demostrar que p [0, 1] K es positivo homogéneo, es decir, que p [0, 1] K ( sx ) = s p [0, 1] K ( x ) para todos los reales s ≥ 0 , donde [0, 1] K ≝ { tk : 0 ≤ t ≤ 1, k ∈ K }. [4] Si q es una función de valor real no negativa en X que es homogénea positiva, entonces los conjuntos U ≝ { x ∈ X : q ( x ) <1 } y D ≝ { x ∈ X : q ( x ) ≤ 1 } satisface [0, 1] U = U y [0, 1] D = D ; si además q es absolutamente homogéneo, tanto U como D están equilibrados . [4]
Calibres de discos absorbentes
Podría decirse que la mayoría de los requisitos comunes colocados en un conjunto K de garantía de que p K es un seminorma son que K sea un absorbente de discos en X . Debido a lo comunes que son estos supuestos, ahora investigamos las propiedades de un p K funcional de Minkowski cuando K es un disco absorbente. Dado que todos los resultados mencionados anteriormente hicieron pocas (si las hay) suposiciones sobre K , se pueden aplicar en este caso especial.
Teorema - Suponemos que K es un subconjunto de absorción de X . Mostramos que:
- Si K es convexo , p K es subaditivo.
- si K está equilibrado, entonces p K es absolutamente homogéneo (es decir, p K ( sx ) = | s | p K ( x ) para todos los escalares s ).
Prueba de que el calibre de un disco absorbente es una seminorma |
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Un argumento geométrico simple que muestra la convexidad de K implica subaditividad es el siguiente. Suponga por el momento que p K ( x ) = p K ( y ) = r . Para todos ε> 0 , tenemos x , Y ∈ K ε ≝ ( r + ε ) K . Dado que K es convexo y r + ε ≠ 0 , K ε también es convexo. Por lo tanto, ½ x + ½ y ∈ K ε . Por definición de la p K funcional de Minkowski , tenemos
Pero el lado izquierdo es ½ p K ( x + y ) de modo que
Dado que ε> 0 era arbitrario, se deduce que p K ( x + y ) ≤ p K ( x ) + p K ( y ) , que es la desigualdad deseada. El caso general p K ( x )> p K ( y ) se obtiene después de la modificación obvia. Nota : La convexidad de K , junto con la suposición inicial de que el conjunto { r > 0: x ∈ r K } no está vacío, implica que K es absorbente .
Observe que el equilibrio de K implica que Por lo tanto |
Propiedades algebraicas
Deje X un espacio vectorial real o complejo y dejar que K sea un disco absorbente en X .
- p K es un seminorma en X .
- p K es una norma en X si y solo si K no contiene un subespacio vectorial no trivial. [5]
- Para cualquier escalar s ≠ 0 , p sK = 1/| s |p K . [5]
- Si J es un disco absorbente en X y J ⊆ K entonces p K ≤ p J
- Si K es un conjunto que satisface { x ∈ X : p ( x ) <1} ⊆ K ⊆ { x ∈ X : p ( x ) ≤ 1 } entonces K está absorbiendo en X y p = p K , donde p K es el Funcional de Minkowski asociado con K (es decir, el calibre de K ). [6]
- En particular, si K es como arriba yq es cualquier seminorma en X , entonces q = p si y solo si { x ∈ X : q ( x ) <1} ⊆ K ⊆ { x ∈ X : q ( x ) ≤ 1 }. [6]
- Si x ∈ X satisface p K ( x ) <1 entonces x ∈ K .
Propiedades topologicas
Deje que X sea un real o complejo espacio topológico vectorial (TVS) (no necesariamente de Hausdorff o convexa localmente ) y dejar que K sea un disco absorbente en X .
- Int K ⊆ { x ∈ X : p K ( x ) <1} ⊆ K ⊆ { x ∈ X : p K ( x ) ≤ 1} ⊆ Cl K
- Tenga en cuenta que no asumimos que p K era continuo o que K tenía propiedades topológicas.
- p K es continua si y sólo si K es un entorno del origen en X . [7]
- Si p K es continuo, entonces: [7]
- Int K = { x ∈ X : p K ( x ) <1 }, y
- Cl K = { x ∈ X : p K ( x ) ≤ 1 }.
Propiedades (requisitos mínimos)
En esta sección, vamos a investigar el caso más general del captador de cualquier subconjunto K de X . El caso especial más común en el que se supone que K es un disco absorbente en X se analiza después de esta sección. Sin embargo, todos los resultados de esta sección pueden aplicarse al caso en el que K es un disco absorbente.
Notación
Como antes, sea K cualquier subconjunto de un espacio vectorial X real o complejo . Este artículo hará un uso intensivo de los siguientes tipos de conjuntos (que se definen como de costumbre) para caracterizar o deducir propiedades de los funcionales de Minkowski.
- Notación : si A es cualquier conjunto de escalares, dejemos
- AK ≝ { ak : a ∈ A , k ∈ K }.
- Por lo tanto, para cualquier R y S reales ,
- ( R , S ) K ≝ { tk : R < t < S , k ∈ K } y [ R , S ) K ≝ { tk : R ≤ t < S , k ∈ K },
- y definimos los conjuntos ( R , S ] K , ( R , ∞) K , etc. de manera similar. Para simplificar la discusión, defina también
- ( R , ∞] K ≝ ( R , ∞) K y [ R , ∞] K ≝ [ R , ∞) K .
- Además, si I es cualquier intervalo o conjunto de escalares, entonces para cada x ∈ X , dejaremos que Ix denote I { x }; por ejemplo ( R , S ) x ≝ { tx : R < t < S }.
- Ejemplos de
- Dejar que X = ℝ y x ∈ X . Si x > 0 entonces (0, 1) x es solo el intervalo (0, x ) ; es decir, es el segmento de línea abierta que se encuentra estrictamente entre el origen y x . De manera similar, si x > 0 entonces (1, ∞) x = ( x , ∞) es el rayo abierto infinito que comienza en (pero no incluye) x y se dirige directamente lejos del origen. Si x = 0 entonces (0, 1) x = {0} = (1, ∞) x = ℝ x . Si x <0 entonces (0, x ) = ∅ y (0, 1) x = ( x , 0) .
- (0, 1) K =(0, 1) k es la unión de todos los segmentos de línea abiertos que se encuentran estrictamente entre el origen y algunos k ∈ K (excepto si k = 0 ∈ K , en cuyo caso (0, 1) k = {0 }).
- Sea x ∈ X , C ≝ [0, 1] x , L ≝ [0, 1) x , y R ≝ (0, 1] x . Si I es cualquiera de los intervalos [0, 1] , [0, 1 ) , (0, 1] o (0, 1) entonces L = IL , C ≠ IL , R ≠ IL y R ≠ IC . Además, L = [0, 1) C = (0, 1) C entonces en particular, los dos últimos conjuntos no son iguales a C ; Además, si x ≠ 0 entonces también C ≠ (0, 1) C . Sin embargo, tenemos C = (0, 1] C = [0, 1] C y R = (0, 1] R = [0, 1] R .
- Propiedades
Si A es un conjunto de escalares, −∞ ≤ R ≤ S ≤ ∞ , y x ∈ X entonces usaremos las siguientes caracterizaciones básicas sin comentarios:
- Inclusión en un conjunto : x ∈ ( R , S ) K si y solo si tx ∈ ( tR , tS ) K para todo t real > 0 . Además, x ∈ AK si y solo si sx ∈ Pregunte para todos los escalares s .
- Exclusión de un conjunto : x ∉ ( R , S ) K si y solo si tx ∉ ( tR , tS ) K para todo t real > 0 ; si ni R ni S son infinitos, entonces podemos reemplazar " t > 0 " con " t ≥ 0 " en la última condición. Además, x ∉ AK si y solo si sx ∉ Pregunte para todos los escalares s distintos de cero .
- Tenga en cuenta que, en contraste con la inclusión, sx ∉ Pregunte por todos los escalares s si y solo si AK = ∅ .
Seminorms y funcionales de Minkowski
El siguiente corolario resume y combina principalmente los resultados que se establecen en la sección de propiedades básicas a continuación.
Corolario y resumen : suponga que K es un subconjunto de un espacio vectorial X real o complejo .
- Desigualdad subditiva / triangular : p K es subaditivo si y solo si (0, 1) K es convexo. Si K es convexa entonces también lo son (0, 1) K y (0, 1] K y p K es subaditiva.
- Real-valorado : p K es de valor real si y sólo si (0, ∞) K = X , en cuyo caso 0 ∈ K .
- Absorbiendo : Si K es convexa ( o equilibrada) y si (0, ∞) K = X entonces K está absorbiendo en X .
- Tenga en cuenta que si un conjunto A está absorbiendo en X y A ⊆ K entonces K está absorbiendo en X .
- Si K es convexa y 0 ∈ K entonces [0, 1] K = K , por lo que, en particular, (0, 1) K ⊆ K .
- Homogeneidad positiva estricta : p K ( rx ) = rp K ( x ) para todo x ∈ X y todo real positivo r > 0 .
- Homogeneidad positiva / no negativa : p K es homogénea no negativa si y solo si p K tiene un valor real.
- Homogeneidad absoluta : p K ( ux ) = p K ( x ) para todos los x ∈ X y todos los escalares de longitud unitaria u [nota 1] si y solo si (0, 1) u K ⊆ (0, 1) K para todas las unidades escalares de longitud u , en cuyo caso (0, 1) u K = (0, 1) K para todos esos u y p K ( s x ) = | s | p K ( x ) para todo x ∈ X y todos los escalares distintos de cero s ≠ 0 . Si además p K también tiene un valor real, entonces esto es válido para todos los escalares (es decir, p K es absolutamente homogéneo).
- Recuerde que p K se llama absolutamente homogéneo si | s | p K ( x ) está bien definido y p K ( s x ) = | s | p K ( x ) para todos x ∈ X y todos los escalares s (no solo los escalares distintos de cero).
- s K ⊆ K para todos los escalares unitarios s si y solo si s K = K para todos los escalares unitarios s , donde el lado derecho podría parecer inicialmente una condición más fuerte. Si este es el caso, entonces (0, 1) K = (0, 1) s K para todos los escalares unitarios s .
Prueba |
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La mayoría de los enunciados de este teorema se derivan inmediatamente de los resultados establecidos en la sección de propiedades básicas a continuación. Una declaración de que aún no ha sido probada, y que ahora demostramos, es que una convexa subconjunto A de X que satisface (0, ∞) A = X está absorbiendo en X . Suponga que X es un espacio vectorial sobre el campo 𝔽 , donde 𝔽 es ℝ o ℂ , y suponga que dim X ≠ 0 . Observe que un conjunto A está absorbiendo en X si y solo si A ∩ span { x } está absorbiendo en cada subespacio vectorial unidimensional Y ≝ span { x } = 𝔽 x , donde x ≠ 0 . Por tanto, es necesario y suficiente demostrar que A ∩ Y contiene una bola 𝔽 abierta alrededor del origen en Y = 𝔽 x . La condición (0, ∞) A = X implica que todo "rayo abierto" en Y que comienza en el origen (es decir, un conjunto de la forma (0, ∞) y para algunos 0 ≠ y ∈ Y ) contiene un elemento de A, por lo que que en particular, A ∩ (0, ∞) y ≠ ∅ y A ∩ (0, ∞) (- y ) ≠ ∅ (donde (0, ∞) (- y ) = (- ∞, 0) y de modo que A ∩ (- ∞, 0) y ≠ ∅ ) de modo que ahora la convexidad de A ∩ Y deja claro que para cada 0 ≠ y ∈ Y , el conjunto convexo A ∩ ℝ y es un segmento de línea (posiblemente abierto, cerrado o semicerrado, y posiblemente acotado o ilimitado) que contiene un subintervalo abierto que contiene el origen. Si 𝔽 = ℝ, entonces esto muestra que A ∩ Y está absorbiendo en Y = ℝ x, así que suponga que 𝔽 = ℂ . Tenga en cuenta que i x ∈ Y = ℂ x , donde i = √ −1 , y que Y = ℂ x = (ℝ x ) + (ℝ i x ) . Observe que el conjunto ( A ∩ ℝ x ) ∪ ( A ∩ ℝ ( i x )) , que está contenido en A ∩ Y , es una unión de dos segmentos de línea que se cruzan en el origen (cada uno contiene el origen en un sub abierto -intervalo) de modo que su casco convexo, que está contenido en el conjunto convexo A ∩ Y , contiene claramente un cuadrilátero que tiene el origen en su interior. Esto muestra que A ∩ Y está absorbiendo en Y , como se desea. Recuerde que la hipótesis del enunciado (6) nos permite concluir que p K ( sx ) = p K ( x ) para todo x ∈ X y todos los escalares s que satisfacen | s | = 1 . Dado que cada escalar s tiene la forma r e i t para algún real t donde r ≝ | s | ≥ 0 y e i t es real si y sólo si s es real, los resultados consignados en (6) seguir inmediatamente a partir de la conclusión antes mencionada, de la estricta homogeneidad positiva de p K , y de la homogeneidad positiva de p K cuando p K es de valor real. |
Caracterización de seminormas con funcionales de Minkowski
Tenga en cuenta que en el siguiente teorema, que se sigue inmediatamente del corolario anterior, no asumimos que K está absorbiendo en X, sino que deducimos que (0, 1) K está equilibrado, y que no suponemos que K está equilibrado (lo cual es una propiedad que a menudo se requiere que K tenga), pero en su lugar asumimos la condición más débil de que (0, 1) s K ⊆ (0, 1) K para todos los escalares s que satisfacen | s | = 1 . El requisito común de que K sea convexo también se debilita y solo requiere que (0, 1) K sea convexo
Teorema - Let K un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo X . Entonces p K es una seminorma en X si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:
- (0, ∞) K = X (o de manera equivalente, p K es un valor real);
- (0, 1) K es convexo;
- Basta (pero no es necesario) que K sea convexo.
- (0, 1) u K ⊆ (0, 1) K para todos los escalares unitarios u .
- Esta condición se satisface si K está equilibrado o, de manera más general, si u K ⊆ K para todos los escalares unitarios u .
en cuyo caso 0 ∈ K y ambos (0, 1) K = { x ∈ X : p K ( x ) <1 } y(0, 1 + ε) K = { x ∈ X : p K ( x ) ≤ 1 } son convexas, equilibrada , y absorber en X .
A la inversa, si f es una seminorma en X, entonces el conjunto V ≝ { x ∈ X : f ( x ) <1} satisface las tres condiciones anteriores (y por lo tanto también las conclusiones) y también f = p V ; Además, V es necesariamente convexo, equilibrada, absorción, y satisface (0, 1) V = V = [0, 1] V .
Corolario - Si K es una convexa, equilibrado, y la absorción de subconjunto de un espacio vectorial real o complejo X , entonces p K es un seminorma en X .
Funciones sublineales positivas y funcionales de Minkowski
Se puede demostrar que una función subaditiva de valor real f : X → ℝ en un TVS X es continua en el origen si y solo si es uniformemente continua, donde si además f no es negativa, entonces f es continua si y solo si V ≝ { x ∈ X : f ( x ) <1 } es un entorno abierto en X . [8] Si f : X → ℝ es subaditivo y satisface f (0) = 0 , entonces f es continua si y solo si su valor absoluto | f | : X → [0, ∞) es continuo.
Una función sublineal positiva es una función homogénea real f : X → [0, ∞) que satisface la desigualdad del triángulo. De ello se deduce inmediatamente de los resultados de abajo que si V ≝ { x ∈ X : f ( x ) <1 } entonces f = p V .
- Correspondencia entre conjuntos convexos abiertos y funciones sublineales continuas positivas
Teorema [8] - Suponga que X es un TVS (no necesariamente convexo localmente o de Hausdorff) sobre los números reales o complejos. Entonces los subconjuntos convexos abiertos de X son exactamente aquellos que tienen la forma z + { x ∈ X : p ( x ) <1} = { x ∈ X : p ( x - z ) <1 } para algunos z ∈ X y algunos positiva continua en función sublineal p en X .
Prueba |
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Deje V ser un subconjunto convexo abierto de X . Si 0 ∈ V entonces sea z ≝ 0 y en caso contrario sea z ∈ V arbitrario. Sea p : X → [0, ∞) la funcional de Minkowski de V - z donde p es una función sublineal continua en X ya que V - z es convexa, absorbente y abierta ( p, sin embargo, no es necesariamente una seminorma ya que no es necesariamente absolutamente homogéneo). De las propiedades de los funcionales de Minkowski, tenemos V - z = { x ∈ X : p ( x ) <1 } de modo que V = z + { x ∈ X : p ( x ) <1 }. Pero
como se desee. ∎ |
Caracterización de los funcionales de Minkowski
El siguiente teorema muestra que los funcionales de Minkowski son exactamente aquellas funciones f : X → [0, ∞] que tienen cierta propiedad puramente algebraica que se usa ampliamente. Este teorema puede extenderse fácilmente para caracterizar ciertas clases de mapas valorados [−∞, ∞] (por ejemplo, funciones sublineales valoradas en reales ) en términos de funcionales de Minkowski. En particular, describiremos más adelante cómo cada función homogénea real f : X → ℝ (como las funcionales lineales) se puede escribir en términos de una función de Minkowski única que tenga una determinada propiedad.
Teorema - Sea f : X → [0, ∞] cualquier función. Los siguientes son equivalentes:
- Homogeneidad positiva estricta : f ( tx ) = t f ( x ) para todo x ∈ X y todo t real positivo > 0 .
- f es una función de Minkowski (es decir, existe algún subconjunto K de X tal que f = p K ).
- f = p K donde K ≝ { x ∈ X : f ( x ) ≤ 1 }.
- f = p L donde L ≝ { x ∈ X : f ( x ) <1 }.
Además, si f nunca toma el valor ∞ (de modo que el producto 0 ⋅ f ( x ) siempre está bien definido), podemos agregar a esta lista:
- Homogeneidad positiva / homogeneidad no negativa : f ( tx ) = t f ( x ) para todo x ∈ X y todo t real no negativo ≥ 0 .
Prueba |
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Demostramos sólo que (1) implica (3) ya que después el resto del teorema se sigue inmediatamente de las propiedades básicas de los funcionales de Minkowski que se describen más adelante; propiedades con las que asumiremos que el lector está familiarizado y utiliza sin mencionarlas. Así que suponga que f : X → [0, ∞] es una función tal que f ( tx ) = t f ( x ) para todo x ∈ X y todo t real > 0 y sea K ≝ { y ∈ X : f ( y ) ≤ 1 }. Tenga en cuenta que para todo t > 0 real tenemos f (0) = f ( t 0) = t f (0), por lo que tomando t = 2, por ejemplo, podemos concluir que f (0) = 0 o f (0 ) = ∞ . Deje x ∈ X . Debemos demostrar que f ( x ) = p K ( x ) . Ahora mostraremos que si f ( x ) = 0 o f ( x ) = ∞ entonces f ( x ) = p K ( x ) , de modo que en particular, concluiremos que f (0) = p K (0) . Entonces, suponga que f ( x ) = 0 o f ( x ) = ∞ y observe que en cualquier caso tenemos f ( tx ) = t f ( x ) = f ( x ) para todo t real > 0 . Ahora bien, si f ( x ) = 0 , esto implica que tx ∈ K para todo t real > 0 (ya que f ( tx ) = 0 ≤ 1 ), lo que implica que p K ( x ) = 0 , como se desea. De manera similar, si f ( x ) = ∞ entonces tx ∉ K para todo t real > 0 , lo que implica que p K ( x ) = ∞ , como se desea. Por lo tanto, asumiremos de ahora en adelante que R ≝ f ( x ) es un número real positivo y que x ≠ 0 (tenga en cuenta, sin embargo, que aún no hemos descartado la posibilidad de que p K ( x ) sea 0 o ∞ ). Recuerde que, al igual que f , la función p K satisface p K ( tx ) = t p K ( x ) para todo t real > 0 . Desde 0 < 1/R<∞ , p K ( x ) = R = f ( x ) si y solo si p K ( 1/R x ) = 1 = f ( 1/R x ) por lo que podemos suponer sin pérdida de generalidad que R = 1 y queda por demostrar que p K ( x ) = 1 . Como f ( x ) = 1 , tenemos x ∈ K ⊆ (0, 1] K , lo que implica que p K ( x ) ≤ 1 (en particular, ahora sabemos que p K ( x ) ≠ ∞ ). Queda por mostrar que p K ( x ) ≥ 1 , cuya recuperación ocurre si y solo si x ∉ (0, 1) K. Así que, en aras de la contradicción, suponga que x ∈ (0, 1) K y sea 0 < r < 1 y k ∈ K sean tales que x = rk , donde tenga en cuenta que k ∈ K implica que f ( k ) ≤ 1. Entonces 1 = f ( x ) = f ( rk ) = r f ( k ) ≤ r <1 . ∎ |
Funcionales de Minkowski y valores negativos
Las definiciones de homogeneidad positiva estricta que se dieron para funciones valoradas en [0, ∞] en X se extienden inmediatamente, sin cambios, a funciones que se valoran en otros codominios.
Sea f una función en X valorada en [−∞, ∞] (o incluso en ℂ ). Decimos que f es estrictamente homogénea positivamente si f ( tx ) = t f ( x ) para todo x ∈ X y todo t real positivo > 0 . Si f nunca toma el valor ± ∞ entonces decimos que f es homogénea no negativa si f ( tx ) = t f ( x ) para todo x ∈ X y todo t real no negativo ≥ 0 .
Tenga en cuenta que si g , h : X → [0, ∞] son funciones tales que g - h está bien definido (es decir, no hay x ∈ X tal que g ( x ) y h ( x ) son infinitos e iguales), entonces, si g y h son estrictamente positivamente homogéneos (lo que sucede si y solo si ambos son funcionales de Minkowski), entonces también lo es el mapa f ≝ g - h : X → [−∞, ∞] .
Es natural preguntar si cada función f : X → [−∞, ∞] que es estrictamente positivamente homogénea es igual a la diferencia de dos funcionales de Minkowski. Se puede demostrar fácilmente que la respuesta es sí mediante el uso de las siguientes definiciones.
- Partes positivas y negativas
- Definición y notación : Para cualquier función f : X → [-∞, ∞] , dejar que f + : X → [0, ∞] y f - : X → [0, ∞] ser definido por
- f + ( x ) ≝ max {0, f ( x )}
- y
- f - ( x ) ≝ máximo {0, - f ( x )} = - mínimo {0, f ( x )} .
- Como de costumbre, la función f + se llama parte positiva de f y f - se llama parte negativa de f .
Para cada x ∈ X , al menos uno de f + y f - es igual a 0 (o dicho de otra manera, la función min { f + , f - } es idénticamente 0 ) y f = f + - f - . Por otra parte, f + y f - son la única [0, ∞] funciones -valued con estas propiedades. Es decir, si g , h : X → [0, ∞] satisfacen 0 = min { g , h } y f = g - h entonces f + = g y f - = h .
- Caracterización
Teorema - Sea f : X → [−∞, ∞] una función. Entonces los siguientes son equivalentes:
- f es estrictamente positivamente homogénea.
- f + y f - son estrictamente positiva homogénea (o equivalentemente, son funcionales Minkowski).
- f es igual a la diferencia (bien definida) de dos funcionales de Minkowski.
Además, si f tiene un valor real, entonces podemos reemplazar los términos "estrictamente homogéneos positivamente" por "no negativamente homogéneos" en la caracterización anterior.
Funcionales lineales y funcionales de Minkowski
Llame a un mapa f : X → ℝ real homogéneo si f ( tx ) = t f ( x ) para todo x ∈ X y todo t real .
Claramente, f es real homogénea si y sólo si es no negativo homogénea y f (- x ) = - f ( x ) para todo x ∈ X .
Llamar a un mapa f : X → [−∞, ∞] aditivo si para todo x , y ∈ X , f ( x ) + f ( y ) está bien definido y f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) .
Si un mapa f : X → [∞, ∞] es aditivo, entonces f es constante e infinito o bien tiene valor real, por lo que solo es útil considerar mapas aditivos con valor real.
Un funcional lineal real en X es un mapa f : X → ℝ que es aditivo y homogéneo real.
Si f : X → ℝ es aditivo, entonces f (0) = 0 y para cada x ∈ X , f ( tx ) = t f ( x ) para todo t real racional . Así, una función aditiva es casi homogénea real y es una funcional lineal si y solo si también es estrictamente positivamente homogénea. Por lo tanto, podríamos haber definido de manera equivalente un funcional lineal real como un mapa aditivo que es igual a la diferencia de dos funcionales de Minkowski de valor real.
Conmutar con negación
- Notación : Sea η: X → X la negación en X (es decir, η ( x ) ≝ - x para cada x ∈ X ).
Decimos que una función f en X conmuta con la negación si - f = f ∘ η . Es decir, si - f ( x ) = f (- x ) para todo x ∈ X .
Cada ℝ -valued conmuta función aditiva con la negación, como lo hace cada función homogénea real. Las siguientes observaciones muestran que una función f : X → [−∞, ∞] que conmuta con la negación está completamente determinada por la negación y el mapa único f + valorado en [0, ∞] (lo mismo ocurre con f - ).
Observaciones - Sea f : X → [−∞, ∞] una función. Claramente, f (0) = - f (0) si y solo si f (0) = 0 . Si x ∈ X , entonces - f ( x ) = f (- x ) si y solo si f + ( x ) = f - (- x ) y f - ( x ) = f + (- x ) .
Las siguientes declaraciones son equivalentes:
- f conmuta con la negación (es decir, - f = f ∘ η ).
- f - = f + ∘ η .
- f + = f - ∘ η .
- f = f + - ( f + ∘ η) .
- f = ( f - ∘ η) - f - .
Funcionales de Minkowski y funciones homogéneas reales
El siguiente teorema muestra que existe una correspondencia uno a uno, determinada por la operación de negación η , entre funciones homogéneas reales (con valores ℝ) y funcionales de Minkowski g con valores ℝ que satisfacen min { g , g ∘ η} = 0 (es decir, min { g ( x ), g (- x )} = 0 para todo x ∈ X ).
Teorema - Si f : X → ℝ es homogéneo real (como un funcional lineal real) entonces f + : X → [0, ∞) es un funcional de Minkowski que satisface 0 = min { f + , f + ∘ η } y f = f + - f + ∘ η (lo que implica f - = f + ∘ η ).
A la inversa, cada función de Minkowski con valor ℝ g : X → [0, ∞) que satisface 0 = min { g , g ∘ η} determina una función homogénea real f : X → ℝ definida por f ≝ g - g ∘ η , donde observar que f + = g y f - = g ∘ η .
Propiedades básicas
- Resumen de propiedades de los funcionales de Minkowski
Resumimos algunos de los resultados más importantes que se encuentran en el siguiente teorema, donde en todo K y L son cualquier subconjunto de X y x ∈ X es arbitrario.
- p K ( tx ) = t p K ( x ) para todo t real > 0 siempre , sin ningún requisito.
- Si p K tiene un valor real, lo que sucede si y solo si (0, ∞) K = X , entonces la igualdad anterior también se mantendrá con t = 0 .
- Si 0 ≤ r ≤ ∞ entonces p K ( x ) < r si y sólo si x ∈ (0, r ) K .
- Las pruebas de las muchas propiedades enumeradas a continuación se convierten en ejercicios sencillos una vez que se prueba esta caracterización y luego las propiedades restantes siguen fácilmente una vez que se demuestra que cada funcional de Minkowski es estrictamente homogéneo positivo.
- Suponiendo que 0 < R <∞ , si x ∈ (0, R ] K entonces p K ( x ) ≤ R , y lo contrario se mantendrá si K contiene { y ∈ X : p K ( y ) = 1 }.
- p L = p K si y sólo si (0, 1) L = (0, 1) K .
- De ello se deduce que p L = p K siempre que L satisface (0, 1) K ⊆ L ⊆(0, 1 + ε) K ; en particular, L podría ser el primer o el último de estos tres conjuntos o también (0, 1] K = K ∪ (0, 1) K .
- p K es subaditivo (es decir, satisface la desigualdad del triángulo) si y solo si (0, 1) K es convexo. Si K es convexo, entonces también lo son (0, 1) K y (0, 1] K = K ∪ (0, 1) K , y p K es subaditivo.
- Si dejamos que D ≝ { y ∈ X : p K ( y ) = 1 o p K ( y ) = 0} entonces p D = p K y D tiene la propiedad particularmente agradable de que para cualquier R > 0 real positivo , x ∈ RD si y solo si p D ( x ) = R o p D ( x ) = 0 .
- Además, para cualquier real positivo R > 0 , p D ( x ) ≤ R si y sólo si x ∈ (0, R ] D .
- Si p K (0) = 0 y si hay algún punto en el que p K adquiere un valor real positivo, entonces D no es necesariamente convexo, equilibrado o absorbente. Sin embargo, el conjunto (0, 1] D (o (0, 1) D = (0, 1) K u otros) puede tener algunas o todas estas propiedades y dado que p K = p D = p (0, 1 ] D uno puede usar cualquiera de estos conjuntos para tratar de deducir las propiedades de este mapa. Es decir, uno siempre es libre de usar el conjunto L que mejor se adapte al problema en cuestión (de modo que, siempre que L satisfaga p L = p K , por supuesto) y luego cambie a cualquier otro conjunto similar.
- El valor (s) de p K en un conjunto de la forma Y ≝ (0, ∞) x (donde x ∈ X ) se determinan completamente por el valor de p K en cualquier punto de Y . En general, los valores de p K en Y y sus valores en el complemento X ∖ Y son completamente independientes.
- Esta es la razón por la cual caracterizaciones como: x ∉ (0, R ) K si y solo si K ∩ (1/R, ∞ ) x = ∅ son útiles. Esta última condición requiere ningún cambio en K e implica solamente el rayo abierto (0, ∞) x , que es todo lo que el valor de p K ( x ) depende, mientras que la primera condición implica escalar todo el conjunto K .
- Propiedades de los funcionales de Minkowski
Teorema - Sea K cualquier subconjunto de un espacio vectorial real o complejo X y sea R ≥ 0 un número real. Entonces para todo x ∈ X :
- Valor en 0 : p K (0) ≠ ∞ si y solo si 0 ∈ K si y solo si p K (0) = 0 .
- Valores infinitos / reales : p K ( x ) = ∞ si y solo si x ∉ (0, ∞) K si y solo si K ∩ (0, ∞) x = ∅ . De manera equivalente, p K ( x ) ≠ ∞ si y sólo si x ∈ (0, ∞) K . Resulta que:
- (0, ∞) K es el conjunto de todos los puntos en los que p K tiene un valor real. En particular,
- p K se valora real, si y sólo si (0, ∞) K = X , en cuyo caso 0 ∈ K .
- p K es idénticamente igual a ∞ si y solo si K = ∅ .
- (0, ∞) K es el conjunto de todos los puntos en los que p K tiene un valor real. En particular,
- Espacio nulo : Los siguientes son equivalentes:
- p K ( x ) = 0 .
- Existe una secuencia divergente de números reales positivos ( t n )∞
n = 1→ ∞ tal que t n x ∈ K para todo n .- En particular, si tx ∈ K para todo t real > 0 entonces p K ( x ) = 0 .
- (0, ∞) x ⊆ (0, 1) K .
- x ∈(0, ε) K (es decir, x ∈ (0, ε) K para todo ε> 0 ).
Entonces ker p K ≝ { y ∈ X : p K ( y ) = 0} =(0, ε) K y p K es idénticamente igual a 0 si y sólo si (0, 1) K = X .
- p K ( x ) < R si y solo si x ∈ (0, R ) K si y solo si K ∩ (1/R, ∞ ) x ≠ ∅ . De manera equivalente, p K ( x ) ≥ R si y solo si x ∉ (0, R ) K si y solo si K ∩ (1/R, ∞ ) x = ∅ . Resulta que:
- { Y ∈ X : p K ( y ) < R } = (0, R ) K .
- Este conjunto de igualdad y las dos equivalencias siguen siendo verdaderas si R se reemplaza por ∞ . [nota 2]
- p K ( x ) ≤ R si y solo si x ∈ (0, R + ε) K para todo ε> 0 . Resulta que:
- { y ∈ X : p K ( y ) ≤ R } =(0, R + ε) K
- Tenga en cuenta que (0, R + ε) K significa((0, R + ε) K ) y no ((0, R + ε)) K = (0, R ] K .
- (0, R ] K ⊆(0, R + ε) K y si R > 0 entonces estos conjuntos son iguales si y solo si K contiene { y ∈ X : p K ( y ) = 1 }.
- Por lo tanto, si x ∈ R K o x ∈ (0, R ] K entonces p K ( x ) ≤ R (pero la inversa no es necesariamente cierto).
- { y ∈ X : p K ( y ) ≤ R } =(0, R + ε) K
- p K ( x ) = R si y solo si x ∉ (0, R ) K y x ∈ (0, R + ε) K para todo ε> 0 . Resulta que:
- Si x ∈ RK y x ∉ (0, R ) K entonces p K ( x ) = R (pero lo contrario no es necesariamente cierto).
- p K ( x ) = 1 si y solo si x ≠ 0 , K ∩ (1, ∞) x = ∅ , y K ∩ (ε, 1] x ≠ ∅ para todo ε <1 .
- Entonces, si R > 0 entonces p K ( x ) = R si y solo si x ≠ 0 , K ∩ (1/R, ∞ ) x = ∅ , y K ∩ ( ε, 1/R] x ≠ ∅ para todo ε < 1/R. [nota 3]
- Homogeneidad positiva estricta : p K ( tx ) = t p K ( x ) para todo t real > 0 . Resulta que:
- 0 ⋅ p K ( x ) está bien definido si y solo si p K ( x ) ≠ ∞ (o equivalentemente, x ∈ (0, ∞) K ), en cuyo caso p K ( tx ) = t p K ( x ) para t = 0 si y sólo si 0 ∈ K .
- Homogeneidad positiva / no negativa : p K es homogénea no negativa [nota 4] si y solo si p K tiene un valor real.
- Si 0 ∈ K entonces (0, ∞) K es el único conjunto máximo de puntos en X en el que p K es homogéneo no negativo. Si 0 ∉ K, entonces este conjunto está vacío.
- La igualdad de calibre : Let L sea un subconjunto de X . Los siguientes son equivalentes:
- p L = p K .
- (0, 1) L = (0, 1) K .
- (0, r ) L = (0, r ) K para algunos (o de manera equivalente, para todos) r > 0 real .
- (0, 1 + ε) L =(0, 1 + ε) K .
- (0, r + ε) L =(0, r + ε) K para algunos (o de manera equivalente, para todos) r > 0 real .
Resulta que:
- Si (0, 1) K ⊆ L ⊆(0, 1 + ε) K entonces p L = p K . Sin embargo, lo contrario es en general falso.
- En particular, si (0, 1) K ⊆ L ⊆ (0, 1] K entonces p L = p K .
- Si L no es un subconjunto de(0, 1 + ε) K entonces p L ≠ p K .
- Comparación de calibre : Let L sea un subconjunto de X . Entonces p K ≤ p L si y sólo si (0, 1) L ⊆ (0, 1) K .
- Kernel ∪ Unit Sphere se puede usar en lugar de K : Sea D ≝ { y ∈ X : p K ( y ) = 1 o p K ( y ) = 0} donde este conjunto se puede escribir sin referencia ap K como: D =(0, r ) K ∪ [ ( (0, 1 + ε) K ) ∖ (0, 1) K ] . Luego:
- p D = p K .
- Si p K se valora como 0 en cualquier punto x de X (una condición muy leve), entonces esta igualdad no se mantendría si, en cambio, D se hubiera definido como solo la esfera unitaria S ≝ { y ∈ X : p K ( y ) = 1} (sin incluir el núcleo) porque entonces tendríamos p S ( x ) = ∞ en lugar de p K ( x ) = 0 .
- En general, es falso que x ∈ RD si y solo si p D ( x ) = R (por ejemplo, considere cuando p K es una norma o una seminorma). La siguiente es la declaración correcta: si R > 0 entonces x ∈ RD si y sólo si p D ( x ) = R o p D ( x ) = 0 .
- K ⊆ (0, 1] K ⊆ (0, 1] D y si R > 0 entonces (0, R] D = { y ∈ X : p D ( y ) ≤ R }.
- (0, 1) K ⊆ D si y solo si el rango de p K está contenido en {0, ∞ }.
- p D = p K .
- Restricción : Let S sea un real o complejo subespacio vectorial de X y dejar que p K ∩ S : S → [0, ∞] denotan los Minkowski funcional de K ∩ S en S . Entonces p K | S = p K ∩ S , donde p K | S indica la restricción de p K a S .
- Desigualdad subditiva / triangular : Los siguientes son equivalentes:
- p K satisface la desigualdad triangular en X . [nota 5]
- (0, 1) K es convexo.
- (0, 1 + ε) K es convexo.
- Si K es convexo, entonces p K es subaditivo y (0, 1] K = K ∪ (0, 1) K también es convexo.
- Supuestos que se pueden hacer cuando se verifica la subaditividad: si p K tiene un valor real, entonces p K es subaditivo si y solo si para todos los y , z ∈ X distintos de cero tales que ℝ y ≠ ℝ z y p K ( x + y ) = 1 , tenemos 1 ≤ p K ( x ) + p K ( y ) .
- Si x , y ∈ X entonces p K ( x + y ) ≤ p K ( x ) + p K ( y ) se cumple siempre que se satisfaga alguna de las siguientes condiciones: y ∈ (∞, −1) x ∪ (−1, ∞) x , o x = 0 , o y = 0 , o p K ( x ) = ∞ , o p K ( y ) = ∞ , o p K ( x + y ) = 0 . Si p K (0) = 0, entonces también se cumple cuando y = - x .
- En particular, p K es siempre subaditivo en cualquier conjunto de la forma [0, ∞) x (es decir, en cualquier "rayo").
- Si p K (0) = 0 (o si la dimensión real de X es al menos 2) entonces p K es subaditivo en X si y solo si su restricción a todo subespacio vectorial real bidimensional de la forma S = ℝ y + ℝ z es subaditivo (donde y , z ∈ X ).
- Invarianza bajo multiplicación escalar : Si s ≠ 0 es un escalar, entonces p s K ( y ) = p K (1/s y ) para todos y ∈ X . Si r es real y 0 < r <∞ entonces p r K ( x ) = p K (1/r x ) = 1/r p K ( x ) . Resulta que:
- Si s ≠ 0 es un escalar, los siguientes son equivalentes:
- p K ( s y ) = p K ( y ) para todos y ∈ X .
- p K (1/s y ) = p K ( y ) para todos y ∈ X .
- p K ( s n y ) = p K ( y ) para todo y ∈ X y todos los enteros n .
- p s K = p K .
- pag1/s K = p K .
- p s n K = p K para todos los números enteros n .
- (0, 1) s K = (0, 1) K .
- Si s ≠ 1 es un número real positivo, entonces (0, 1) s K = (0, 1) K si y solo si el rango de p K está contenido en {0, ∞ }. En consecuencia, en general, esta caracterización solo será útil cuando s tiene una longitud unitaria.
- p K es simétrico (es decir, p K (- y ) = p K ( y ) para todo y ∈ X ) si y solo si p K = p - K , lo que ocurre si y solo si (0, 1) K = - ( 0, 1) K .
- Tenga en cuenta que para cualquier conjunto S , - S ⊆ S si y sólo si - S = S , en cuyo caso (0, 1) S = - (0, 1) S .
- p K ( u y ) = p K ( y ) para todos y ∈ X y todos los escalares de longitud unitaria u si y solo si y solo si p K = p u K para todos los escalares de longitud unitaria u , lo que ocurre si y solo si ( 0, 1) u K = (0, 1) K para todos los escalares de longitud unitaria u .
- Tenga en cuenta que para cualquier conjunto S , u S ⊆ S para todos los escalares de longitud unitaria u si y solo si u S = S para todos esos u , en cuyo caso (0, 1) u S = (0, 1) S para todos esos u .
- Si s es un escalar tal que sK = K , entonces p K ( s x ) = p K ( x ) si y solo si s ≠ 0 , K ≠ {0 } o x = 0 (ver nota al pie para la prueba). [nota 6]
Prueba |
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La mayoría de los enunciados numerados del teorema anterior tienen una sublista no numerada. Demostramos solo las declaraciones numeradas y algunas de las declaraciones menos obvias que se encuentran en las sublistas no numeradas. Todas las demás declaraciones son consecuencias directas de la declaración numerada bajo la cual se encuentra, o bien se convertirán en ejercicios sencillos una vez que se prueben todas las declaraciones numeradas. Prueba de (1) y (2) : ejercicios sencillos. Prueba de (3) : La equivalencia de (a) y (d) seguirá inmediatamente de (4) (o de (5)), y las pruebas de las equivalencias restantes en (3) son ejercicios sencillos. ∎ Prueba de (4) : Sea LHS (es decir, lado izquierdo) la declaración " p K ( x ) < R " y sea RHS la declaración " x ∈ (0, R ) K ". Debemos demostrar que LHS es verdadero si y solo si RHS es verdadero. Si K = ∅ entonces LHS y RHS son ambos falsos, así que de ahora en adelante suponga que K ≠ ∅ . Si R = 0, entonces LHS es claramente falso y RHS también es falso ya que (0, R ) K = ∅, así que de ahora en adelante suponga que R > 0 . Si p K ( x ) = ∞ entonces LHS es falso (ya que R <∞ ) y (2) da x ∉ (0, ∞) K de modo que, en particular, RHS también es falso. Así que de ahora en adelante suponga que p K ( x ) ≠ ∞ . Observe que LHS es verdadero si y solo si p K ( x ) ≝ inf { r ∈ ℝ: r > 0 y x ∈ rK } < R , lo cual sucede si y solo si existe algún r real tal que 0 < r < R y x ∈ rK , donde esto se puede reformular más sucintamente como x ∈ (0, R ) K , que es exactamente la declaración RHS. Por lo tanto, LHS es verdadero si y solo si RHS es verdadero, lo que completa la demostración de (4). ∎ Prueba de (5) : Tenga en cuenta que p K ( x ) ≤ R si y solo si para cada p K ( x ) < R + ε para cada ε> 0 , que por (4) ocurre si y solo si x ∈ (0 , R + ε) K para cada ε> 0 , según se desee. La prueba de la afirmación de que si R > 0 entonces (0, R ] K =(0, R + ε) K si y solo si esto es cierto para R = 1 será un ejercicio sencillo una vez que se demuestre (7). Entonces, la afirmación de que esta igualdad es válida para si y solo si K contiene { y ∈ X : p K ( y ) = 1} se verá fácilmente con la prueba de (10). ∎ Prueba de (6) : La caracterización principal en (6) es solo una combinación de (4) y (5). La caracterización de p K ( x ) = 1 ahora se verifica fácilmente, y su generalización ap K ( x ) = R para R positivo seguirá inmediatamente una vez que se pruebe (7). ∎ Prueba de (7) : Fije 0 < t <∞ . Si x = 0, entonces (1) implica que p K ( tx ) = t p K ( x ) así que suponga que x ≠ 0 . Tenga en cuenta que p K ( x ) = ∞ si y solo si x ∉ (0, ∞) K si y solo si tx ∉ ( t 0, t ∞) K = (0, ∞) K si y solo si p K ( tx ) = ∞ , en cuyo caso p K ( tx ) = ∞ = t p K ( x ) así que hemos terminado. Así que suponga que S ≝ p K ( x ) <∞ , lo que (como se acaba de mostrar) implica que p K ( tx ) <∞ y K ≠ ∅ . Como p K ( x ) = S , por (6) tenemos x ∉ (0, S ) K y x ∈ (0, S + ε) K para todo ε> 0 de modo que multiplicar por t > 0 da tx ∉ ( 0, tS ) K y tx ∈ (0, tS + tε) K para cada ε> 0 . Dado que ε> 0 era arbitrario, se deduce que tx ∉ (0, tS ) K y tx ∈ (0, tS + ε) K para todo ε> 0 , que es equivalente ap K ( tx ) = tS , según se desee. ∎ Prueba de (8) : Las caracterizaciones de cuando p L = p K ahora se deducen fácilmente de la siguiente observación: si f y g son funciones valoradas en [0, ∞] en X , entonces f = g si y solo si { y ∈ X : f ( y ) < r } = { y ∈ X : g ( y ) < r } para todos los 0 < r <∞ reales (lo que es más importante, tenga en cuenta que no es necesario comprobar que estas igualdades de conjuntos se cumplen para r = 0 o r = ∞ ). Tenga en cuenta que esta caracterización de f = g sigue siendo cierta si todas las instancias de " < r " se reemplazan por " ≤ r ". Usando (4) o (7), es fácil ver que p L = p K se cumple si y solo si { y ∈ X : p L ( y ) < r } = { y ∈ X : p K ( y ) < r } para algún r > 0 real (en cuyo caso esto será cierto para todos los reales positivos). De manera similar, (7) muestra que esta caracterización de p L = p K permanece verdadera si " < r " se reemplaza por " ≤ r ". Para el enunciado que involucra al conjunto D , se verifica fácilmente que (0, 1) D = (0, 1) K de modo que p L = p K , y el resto ahora sigue con la ayuda de (5). ∎ Prueba de (9) : Inmediata. Prueba de (10) : recuerde que (0, 1) K = { y ∈ X : p K ( y ) <1} por lo que al usar (7), tenemos
tan (8) implica que p D = p K . El resto de (10) sigue fácilmente. ∎ Prueba de (11) : Inmediata. Prueba de (12) : es sencillo mostrar que si p K es subaditivo, entonces (0, 1) K = { y ∈ X : p K ( y ) <1 } y { y ∈ X : p K ( y ) ≤ 1} =(0, R + ε) K son convexos. Supongamos que K es convexa, que recuerdo es verdadero si y sólo si sK + tK = ( s + t ) K para todos los bienes no negativo s y t . Demostraremos que p K es subaditivo. Sea x , y ∈ X y observe que si R ≝ p K ( x ) es infinito o S ≝ p K ( y ) es infinito, entonces hemos terminado, así que suponga que ambos son finitos. Queremos mostrar que p K ( x + y ) ≤ R + S , lo cual es cierto si y solo si x + y ∈ (0, R + S + ε) K para todo ε> 0 . Fijar ε> 0 . Como p K ( x ) ≤ R , tenemos x ∈ (0, R + ε / 2) K y de manera similar tenemos y ∈ (0, S + ε / 2) K de modo que x + y ∈ (0, R + ε / 2) K + (0, S + ε / 2) K = (0, R + S + ε) K , donde la última igualdad se debe a que K es convexo. ∎ Si K es convexo, entonces p K es subaditivo, lo que implica que (0, 1) K es convexo, donde este hecho puede usarse ahora para demostrar fácilmente que (0, 1] K = K ∪ (0, 1) K también es convexo. Si y , z ∈ X son tales que p K ( y + z )> p K ( xy ) + p K ( z ) , entonces p K no es subaditivo en ℝ y + ℝ z , por lo que basta con verificar la subaditividad en conjuntos de la forma ℝ y + ℝ z . Si y ∈ (0, ∞) x entonces p K ( x + y ) ≤ p K ( x ) + p K ( y ) es inmediato desde que p K es estrictamente homogéneo, mientras que si y = - tx = t (- x ) con 1 ≠ t > 0, entonces esta desigualdad se deriva de la elección apropiada de una de las igualdades: x + y = (1 - t ) x = ( t - 1) (- x ) ). Que p K sea subaditivo en cualquier conjunto de la forma [0, ∞) x ahora es inmediato. Si Q ≝ p K ( x + y )> 0 es real (asumimos que Q > 0 ya que si Q = 0 entonces hemos terminado) entonces p K ( x + y ) = Q ≤ p K ( x ) + p K ( y ) si y solo si p K ( 1/Qx + 1/Qy ) = 1 ≤ p K (1/Qx ) + p K (1/Qy ) por lo que en este caso, basta con demostrar la desigualdad del triángulo bajo el supuesto de que p K ( x + y ) = 1 . ∎ Prueba de (13) : Las pruebas son ejercicios sencillos que se derivan fácilmente de las caracterizaciones anteriores. ∎ |
Ejemplos de
- Si ℒ es una colección no vacía de subconjuntos de X, entonces p ∪ℒ ( x ) = inf { p L ( x ): L ∈ ℒ } para todo x ∈ X , donde ∪ℒ ≝ L .
- Por lo tanto p K ∪ L ( x ) = min { p K ( x ), p L ( x ) } para todos los x ∈ X .
- Si ℒ es una colección no vacía de subconjuntos de X e I ⊆ X satisface
- { x ∈ X : p L ( x ) <1 para todo L ∈ ℒ} ⊆ I ⊆ { x ∈ X : p L ( x ) ≤ 1 para todo L ∈ ℒ }
Ahora damos ejemplos donde la contención (0, R ] K ⊆(0, R + ε) K es apropiado.
Ejemplo : Note que si R = 0 y K = X entonces (0, R ] K = (0, 0] X = ∅ pero(0, ε) K = X = X , que muestra que es posible que (0, R ] K sea un subconjunto adecuado de(0, R + ε) K cuando R = 0 . ∎
Ahora mostramos que la contención puede ser adecuada cuando R = 1 con un ejemplo que puede generalizarse a cualquier R > 0 real . Suponiendo que [0, 1] K ⊆ K , el siguiente ejemplo es representativo de cómo sucede que x ∈ X satisface p K ( x ) = 1 , pero x ∉ (0, 1] K .
Ejemplo : Let x ∈ X ser distinto de cero y dejar que K ≝ [0, 1) x donde nota que [0, 1] K = K y x ∉ K . Dado que x ∉ (0, 1) K = K tenemos p K ( x ) ≥ 1 . Que p K ( x ) ≤ 1 se sigue de observar que para cada ε> 0 tenemos (0, 1 + ε) K = (0, 1 + ε) ([0, 1) x ) = [0, 1 + ε ) x , que contiene x . Por tanto, p K ( x ) = 1 y x ∈(0, 1 + ε) K . Sin embargo, (0, 1] K = (0, 1] ([0, 1) x ) = [0, 1) x = K de modo que x ∉ (0, 1] K , como se desee. ∎
Ver también
- Teorema de Hadwiger
- Hugo Hadwiger - matemático suizo
- Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
- Procesamiento de imágenes morfológicas
- Norma (matemáticas) - Longitud en un espacio vectorial
- Seminorm
- Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
Notas
- ^ u tiene unidad de longitud significa que | u | = 1 .
- ^ Este es el contenido del enunciado (2). En la igualdad {{matemáticas | 1 = K ∩ (1/R, ∞ ) x = ∅}, tomamos1/∞≝ 0 y1/0≝ ∞ para que (1/0, ∞ ) ≝ { t ∈ ℝ: ∞ < t <∞} = ∅ .
- ^ Se puede restringir ε al rango sobre cualquier intervalo no degenerado de la forma ( a , 1/R) o [ a , 1/R) .
- ^ Definición : p K siendo homogéneo no negativo en un conjunto S significa que rp K ( y ) está bien definido y p K ( ry ) = rp K ( y ) para todo y ∈ S y todo r real no negativo ≥ 0 . Si S no se menciona a continuación, se entiende que S ≝ X .
- ^ Definición : Recordemos que p K es subaditiva y satisface la desigualdad triangular en un subconjunto S de X si p K ( y + z ) ≤ p K ( y ) + p K ( z ) para todos y , z ∈ S . Si mención S se omite, entonces se asume que S ≝ X .
- ^ Prueba : Sea LHS el enunciado " p K ( sx ) = p K ( x ) " y sea RHS el enunciado " s ≠ 0 , K or {0 } o x = 0 ". Queremos mostrar que LHS es verdadero si y solo si RHS es verdadero. (⇐) Suponga que RHS es verdadero. Claramente, LHS es verdadero si K = ∅ o si x = 0, entonces asuma de ahora en adelante que K ≠ ∅ y x ≠ 0 . Observe que si s = 0 entonces sK = K implica que K ⊆ {0 }, donde K ≠ ∅ ahora implica que K = {0 }, pero esto contradice el enunciado RHS, que asumimos que era cierto. Por tanto, debemos tener s ≠ 0 . Tenga en cuenta que p K ( x ) = ∞ ⇔ x ∉ (0, ∞) K ⇔ sx ∉ (0, ∞) sK = (0, ∞) K (ya que s ≠ 0 ) ⇔ p K ( sx ) = ∞ entonces Ahora podemos suponer que tanto p K ( x ) como p K ( sx ) son finitos. Sea R ≝ p K ( x ) . Entonces x ∉ (0, R ) K y x ∈ (0, R + ε) K para todo ε> 0 de modo que (desde sx ≠ 0 ) sx ∉ (0, R ) sK y sx ∈ (0, R + ε ) sK para todo ε> 0 , donde ahora usar sK = K nos permite concluir que p K ( sx ) = R , como se desea. (⇒) Suponga que RHS es falso de modo que s = 0 , K = {0 } yx ≠ 0 . Como s = 0 y 0 ∈ K , tenemos 0 = p K ( sx ) . Dado que K = {0} y x ≠ 0 , tenemos p K ( x ) = ∞ . Por lo tanto, 0 = p K ( sx ) ≠ p K ( x ) = ∞ , lo que muestra que LHS es falso, como se desea. ∎
Referencias
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