Forma automórfica

En el análisis armónico y la teoría de números , una forma automórfica es una función que se comporta bien desde un grupo topológico G hasta los números complejos (o espacio vectorial complejo ) que es invariante bajo la acción de un subgrupo discreto del grupo topológico. Las formas automórficas son una generalización de la idea de funciones periódicas en el espacio euclidiano a grupos topológicos generales.${\ Displaystyle \ Gamma \ subconjunto G}$

Las formas modulares son formas automórficas holomórficas definidas sobre los grupos SL (2, R ) o PSL (2, R ) siendo el subgrupo discreto el grupo modular , o uno de sus subgrupos de congruencia ; en este sentido, la teoría de las formas automórficas es una extensión de la teoría de las formas modulares. De manera más general, se puede utilizar el enfoque adelia como una forma de tratar con toda la familia de subgrupos de congruencia a la vez. Desde este punto de vista, una forma automórfica sobre el grupo G ( A _F ), para un grupo algebraico G y un campo numérico algebraico F, es una función de valor complejo en G ( A _F ) que se deja invariante en G ( F ) y satisface ciertas condiciones de suavidad y crecimiento.

Poincaré descubrió por primera vez las formas automórficas como generalizaciones de funciones trigonométricas y elípticas . A través de las conjeturas de Langlands, las formas automórficas juegan un papel importante en la teoría de números moderna. ^[1]

En matemáticas , la noción de factor de automorfia surge para un grupo que actúa sobre una variedad analítica compleja . Supongamos que un grupo actúa sobre una variedad analítica compleja . Luego, también actúa sobre el espacio de funciones holomorfas desde los números complejos. Una función se denomina forma automórfica si se cumple lo siguiente:${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f}$

donde es una función holomorfa distinta de cero en todas partes. De manera equivalente, una forma automórfica es una función cuyo divisor es invariante bajo la acción de .${\ Displaystyle j_ {g} (x)}$${\ Displaystyle G}$

El factor de automorfia para la forma automórfica es la función . Una función automórfica es una forma automórfica para la cual es la identidad.${\ Displaystyle f}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j}$

La función eta de Dedekind es una forma automórfica en el plano complejo.