En álgebra abstracta y análisis funcional , anillos Baer , Baer * -rings , anillos Rickart , Rickart * -rings , y AW * -álgebras son diversos intentos para dar un análogo algebraica de álgebra de von Neumann , usando los axiomas sobre aniquiladores de diversos conjuntos.
Cualquier álgebra de von Neumann es un anillo de Baer *, y gran parte de la teoría de las proyecciones en las álgebras de von Neumann se puede extender a todos los anillos de Baer *, por ejemplo, los anillos de Baer * se pueden dividir en tipos I, II y III de la misma manera que las álgebras de von Neumann.
En la bibliografía, los anillos de Rickart izquierdos también se han denominado anillos de PP izquierdos . ("Principal implica proyectivo": consulte las definiciones a continuación).
Definiciones
- Un elemento idempotente de un anillo es un elemento e que tiene la propiedad de que e 2 = e .
- El aniquilador izquierdo de un conjunto es
- Un anillo de Rickart (izquierda) es un anillo que satisface cualquiera de las siguientes condiciones:
- el aniquilador de izquierda de cualquier elemento individual de R es generado (como un ideal de izquierda) por un elemento idempotente.
- (Para los anillos unital) el aniquilador izquierda de cualquier elemento es un sumando directo de R .
- Todos los ideales principales de izquierda (ideales de la forma Rx ) son módulos R proyectivos . [1]
- Un anillo de Baer tiene las siguientes definiciones:
- El aniquilador de izquierda de cualquier subconjunto de R es generado (como un ideal de izquierda) por un elemento idempotente.
- (Para los anillos unital) El aniquilador izquierda de cualquier subconjunto de R es un sumando directo de R . [2] Para anillos unitales, la sustitución de todas las apariciones de 'izquierda' por 'derecha' produce una definición equivalente, es decir, la definición es simétrica de izquierda a derecha. [3]
En la teoría del operador, las definiciones se refuerzan ligeramente al requerir que el anillo R tenga una involución . Dado que esto hace que R sea isomorfo a su anillo opuesto R op , la definición de Rickart * -ring es simétrica de izquierda a derecha.
- Una proyección en un anillo * es un p idempotente que es autoadjunto ( p * = p ).
- Un anillo de Rickart * es un anillo de * tal que el aniquilador izquierdo de cualquier elemento es generado (como un ideal izquierdo) por una proyección.
- Un anillo de Baer * es un anillo de * tal que el aniquilador izquierdo de cualquier subconjunto es generado (como un ideal izquierdo) por una proyección.
- Un álgebra AW * , introducido por Kaplansky (1951) , es un álgebra C * que también es un anillo de Baer *.
Ejemplos de
- Dado que los principales ideales izquierdos de un anillo hereditario izquierdo o un anillo semihereitario izquierdo son proyectivos, está claro que ambos tipos son anillos de Rickart izquierdos. Esto incluye los anillos regulares de von Neumann , que son semihereditarios izquierdo y derecho. Si un anillo R regular de von Neumann también es autoinyectable derecho o izquierdo , entonces R es Baer.
- Cualquier anillo semisimple es Baer, ya que todos los ideales izquierdo y derecho son sumandos en R , incluidos los aniquiladores.
- Cualquier dominio es Baer, ya que todos los aniquiladores sonexcepto por el aniquilador de 0, que es R , y ambosy R son sumandos de R .
- El anillo de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert es un anillo de Baer y también es un anillo de Baer * con la involución * dada por el adjunto.
- Las álgebras de von Neumann son ejemplos de todos los diferentes tipos de anillos anteriores.
Propiedades
Las proyecciones en un anillo Rickart * forman una celosía , que está completa si el anillo es un anillo Baer *.
Ver también
Notas
- ↑ Los anillos de Rickart llevan el nombre de Rickart (1946), quien estudió una propiedad similar en álgebras de operadores. Esta condición de "principio implica proyectivo" es la razón por la que los anillos de Rickart a veces se denominan anillos de PP. ( Lam 1999 )
- ↑ Esta condición fue estudiada por Reinhold Baer ( 1952 ).
- ^ TY Lam (1999), "Conferencias sobre módulos y anillos" ISBN 0-387-98428-3 pp.260
Referencias
- Baer, Reinhold (1952), Álgebra lineal y geometría proyectiva , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-486-44565-6, MR 0052795
- Berberian, Sterling K. (1972), Baer * -rings , Die Grundlehren der mathischen Wissenschaften, 195 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-05751-2, MR 0429975
- Kaplansky, Irving (1951), "Proyecciones en álgebras de Banach", Annals of Mathematics , Segunda serie, 53 (2): 235–249, doi : 10.2307 / 1969540 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969540 , MR 0042067
- Kaplansky, I. (1968), Rings of Operators , Nueva York: WA Benjamin, Inc.
- Rickart, CE (1946), "Álgebras de Banach con una operación adjunta", Annals of Mathematics , Second Series, 47 (3): 528–550, doi : 10.2307 / 1969091 , JSTOR 1969091 , MR 0017474
- LA Skornyakov (2001) [1994], "Anillo regular (en el sentido de von Neumann)" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- LA Skornyakov (2001) [1994], "Anillo de Rickart" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- JDM Wright (2001) [1994], "AW * álgebra" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press