En matemáticas , el teorema de punto fijo de Banach-Caccioppoli (también conocido como teorema de mapeo de contracciones o teorema de mapeo de contracciones ) es una herramienta importante en la teoría de espacios métricos ; Garantiza la existencia y unicidad de puntos fijos de ciertos automapas de espacios métricos y proporciona un método constructivo para encontrar esos puntos fijos. Puede entenderse como una formulación abstracta del método de aproximaciones sucesivas de Picard . [1] El teorema lleva el nombre de Stefan Banach (1892-1945) y Renato Caccioppoli.(1904-1959), y fue declarado por primera vez por Banach en 1922. [2] [3] Caccioppoli demostró de forma independiente el teorema en 1931. [4]
Declaración
Definición. Sea ( X , d ) un espacio métrico completo . Entonces, un mapa T : X → X se llama un mapa de contracción en X si existe q ∈ [0, 1) tal que
para todas las x , y en X .
Teorema del punto fijo de Banach. Deje que (X, d) sea un no vacío espacio métrico completo con un mapeo contracción T : X → X . Entonces T admite un único punto fijo x * en X (es decir, T ( x * ) = x * ). Además, x * se puede encontrar de la siguiente manera: comience con un elemento arbitrario x 0 en X y defina una secuencia { x n } por x n = T ( x n −1 ) para n ≥ 1. Entonces x n → x * .
Observación 1. Las siguientes desigualdades son equivalentes y describen la velocidad de convergencia :
Cualquier valor de q se denomina constante de Lipschitz de T , y el más pequeño es llamado a veces "la mejor constante de Lipschitz" de T .
Observación 2. d ( T ( x ), T ( y )) < d ( x , y ) para todo x ≠ y en general no es suficiente para asegurar la existencia de un punto fijo, como se muestra en el mapa T : [ 1, ∞) → [1, ∞), T ( x ) = x + 1 / x , que carece de un punto fijo. Sin embargo, si X es compacto , entonces esta suposición más débil implica la existencia y unicidad de un punto fijo, que se puede encontrar fácilmente como minimizador de d ( x , T ( x )), de hecho, existe un minimizador por compacidad, y tiene que ser un punto de fijo T . De esto se deduce fácilmente que el punto fijo es el límite de cualquier secuencia de iteraciones de T .
Observación 3. Cuando se utiliza el teorema en la práctica, la parte más difícil es típicamente para definir X correctamente de modo que T ( X ) ⊆ X .
Prueba
Sea x 0 ∈ X arbitrario y defina una secuencia { x n } estableciendo x n = T ( x n −1 ). Primero notamos que para todo n ∈ N , tenemos la desigualdad
Esto sigue por inducción en n , usando el hecho de que T es un mapeo de contracciones. Entonces podemos demostrar que { x n } es una secuencia de Cauchy . En particular, sea m , n ∈ N tal que m > n :
Sea ε> 0 arbitrario, ya que q ∈ [0, 1), podemos encontrar un N ∈ N grande de modo que
Por lo tanto, por la elección de m y n mayor que N se puede escribir:
Esto prueba que la secuencia { x n } es Cauchy. Por integridad de ( X , d ), la secuencia tiene un límite x * ∈ X . Además, x * debe ser un punto fijo de T :
Como mapeo de contracción, T es continuo, por lo que se justificó llevar el límite dentro de T. Por último, T no puede tener más de un punto fijo en ( X , d ), ya que cualquier par de puntos fijos distintos p 1 y p 2 contradeciría la contracción de T :
Aplicaciones
- Una aplicación estándar es la prueba del teorema de Picard-Lindelöf sobre la existencia y unicidad de soluciones para ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias . La solución buscada de la ecuación diferencial se expresa como un punto fijo de un operador integral adecuado que transforma funciones continuas en funciones continuas. El teorema del punto fijo de Banach se utiliza luego para demostrar que este operador integral tiene un punto fijo único.
- Una consecuencia del teorema del punto fijo de Banach es que las pequeñas perturbaciones de Lipschitz de la identidad son homeomorfismos bi-lipschitz . Sea Ω un conjunto abierto de un espacio de Banach E ; sea I : Ω → E el mapa de identidad (inclusión) y sea g : Ω → E un mapa de Lipschitz de constante k <1. Entonces
- Ω ′: = ( I + g ) (Ω) es un subconjunto abierto de E : precisamente, para cualquier x en Ω tal que B ( x , r ) ⊂ Ω uno tiene B (( I + g ) ( x ), r (1− k )) ⊂ Ω ′;
- I + g : Ω → Ω ′ es un homeomorfismo bi-lipschitz;
- precisamente, ( I + g ) −1 sigue siendo de la forma I + h : Ω → Ω ′ con h un mapa de Lipschitz de constante k / (1− k ). Una consecuencia directa de este resultado produce la demostración del teorema de la función inversa .
- Puede usarse para dar condiciones suficientes bajo las cuales se garantiza que el método de Newton de aproximaciones sucesivas funciona, y de manera similar para el método de tercer orden de Chebyshev.
- Puede usarse para probar la existencia y unicidad de soluciones a ecuaciones integrales.
- Puede usarse para demostrar el teorema de incrustación de Nash . [5]
- Se puede utilizar para demostrar la existencia y singularidad de soluciones para valorar la iteración, la iteración de políticas y la evaluación de políticas del aprendizaje reforzado . [6]
- Se puede utilizar para probar la existencia y unicidad de un equilibrio en la competencia de Cournot , [7] y otros modelos económicos dinámicos. [8]
Conversa
Existen varias conversiones del principio de contracción de Banach. Lo siguiente se debe a Czesław Bessaga , de 1959:
Sea f : X → X un mapa de un conjunto abstracto tal que cada iteración f n tenga un punto fijo único. Sea q ∈ (0, 1), entonces existe una métrica completa en X tal que f es contractiva y q es la constante de contracción.
De hecho, suposiciones muy débiles son suficientes para obtener tal tipo de conversación. Por ejemplo, si f : X → X es un mapa en un espacio topológico T 1 con un punto fijo único a , tal que para cada x en X tenemos f n ( x ) → a , entonces ya existe una métrica en X con respecto al cual f satisface las condiciones del principio de contracción de Banach con constante de contracción 1/2. [9] En este caso, la métrica es de hecho una ultramétrica .
Generalizaciones
Hay una serie de generalizaciones (algunas de las cuales son corolarios inmediatos ). [10]
Sea T : X → X un mapa en un espacio métrico completo no vacío. Entonces, por ejemplo, algunas generalizaciones del teorema del punto fijo de Banach son:
- Suponga que alguna T n iterada de T es una contracción. Entonces T tiene un punto fijo único.
- Suponga que para cada n , existe c n tal que d (T n (x), T n (y)) ≤ c n d (x, y) para todo x e y , y que
- Entonces T tiene un punto fijo único.
En las aplicaciones, la existencia y unicidad de un punto fijo a menudo se puede mostrar directamente con el teorema estándar del punto fijo de Banach, mediante una elección adecuada de la métrica que convierte al mapa T en una contracción. De hecho, el resultado anterior de Bessaga sugiere encarecidamente buscar dicha métrica. Consulte también el artículo sobre teoremas de punto fijo en espacios de dimensión infinita para generalizaciones.
Una clase diferente de generalizaciones surge de generalizaciones adecuadas de la noción de espacio métrico , por ejemplo, al debilitar los axiomas que definen la noción de métrica. [11] Algunos de estos tienen aplicaciones, por ejemplo, en la teoría de la semántica de programación en la informática teórica. [12]
Ver también
- Teorema del punto fijo de Brouwer
- Teorema del punto fijo de Caristi
- Mapeo de contracciones
- Principio de existencia de Fichera
- Iteración de punto fijo
- Teoremas del punto fijo
- Composiciones infinitas de funciones analíticas
- Teorema de kantorovich
Notas
- ^ Kinderlehrer, David ; Stampacchia, Guido (1980). "Desigualdades Variacionales en R N " . Introducción a las desigualdades variacionales y sus aplicaciones . Nueva York: Academic Press. págs. 7-22. ISBN 0-12-407350-6.
- ^ Banach, Stefan (1922). "Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales" (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 3 : 133-181. doi : 10.4064 / fm-3-1-133-181 .
- ^ Ciesielski, Krzysztof (2007). "Sobre Stefan Banach y algunos de sus resultados" (PDF) . Banach J. Math. Anal . 1 (1): 1–10. doi : 10.15352 / bjma / 1240321550 .
- ^ "Bibliografía de Renato Caccioppoli" . Consultado el 23 de mayo de 2020 .
- ^ Günther, Matthias (1989). "Zum Einbettungssatz von J. Nash" [Sobre el teorema de incrustación de J. Nash]. Mathematische Nachrichten (en alemán). 144 : 165-187. doi : 10.1002 / mana.19891440113 . Señor 1037168 .
- ^ Lewis, Frank L .; Vrabie, Draguna; Syrmos, Vassilis L. (2012). "Aprendizaje por refuerzo y control adaptativo óptimo" . Control óptimo . Nueva York: John Wiley & Sons. págs. 461–517 [pág. 474]. ISBN 978-1-118-12272-3.
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- ^ Hitzler, Pascal ; Seda, Anthony (2010). Aspectos matemáticos de la semántica de programación lógica . Chapman y Hall / CRC. ISBN 978-1-4398-2961-5.
- ^ Seda, Anthony K .; Hitzler, Pascal (2010). "Funciones de distancia generalizadas en la teoría de la computación". The Computer Journal . 53 (4): 443–464. doi : 10.1093 / comjnl / bxm108 .
Referencias
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- Granas, Andrzej; Dugundji, James (2003). Teoría del punto fijo . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-00173-5.
- Istrăţescu, Vasile I. (1981). Teoría del punto fijo: una introducción . Holanda: D. Reidel. ISBN 90-277-1224-7. Ver capítulo 7.
- Kirk, William A .; Khamsi, Mohamed A. (2001). Introducción a los espacios métricos y la teoría del punto fijo . Nueva York: John Wiley. ISBN 0-471-41825-0.
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