En matemáticas , un espacio ultramétrico es un espacio métrico en el que la desigualdad del triángulo se fortalece para. A veces, la métrica asociada también se denomina métrica no arquimediana o supermétrica . Aunque algunos de los teoremas de los espacios ultramétricos pueden parecer extraños a primera vista, aparecen de forma natural en muchas aplicaciones.
Definicion formal
Un ultramétrico en un conjunto M es una función de valor real
(donde ℝ denota los números reales ), tal que para todo x , y , z ∈ M :
- d ( x , y ) ≥ 0 ;
- d ( x , y ) = d ( y , x ) ( simetría )
- d ( x , x ) = 0 ;
- si d ( x , y ) = 0 entonces x = y ;
- d ( x , z ) ≤ max { d ( x , y ), d ( y , z ) } ( desigualdad triangular fuerte o desigualdad ultramétrica ).
Un espacio ultramétrico es un par ( M , d ) que consta de un conjunto M junto con una d ultramétrica en M , que se denomina función de distancia asociada al espacio (también llamada métrica ).
Si d satisface todas las condiciones excepto posiblemente condición 4 a continuación, d se denomina una ultrapseudometric en M . Un espacio ultrapseudometric es un par ( M , d ) que consiste en un conjunto M y un ultrapseudometric d en M . [1]
En el caso en que M es un grupo (escrito de forma aditiva) y d es generado por una función de longitud (así que eso ), la última propiedad se puede reforzar utilizando el afilado Krull [2] para:
- con igualdad si .
Queremos demostrar que si , entonces la igualdad ocurre si . Sin pérdida de generalidad , supongamos que. Esto implica que. Pero también podemos calcular. Ahora, el valor de no puede ser , porque si ese es el caso, tenemos contrariamente a la suposición inicial. Por lo tanto,, y . Usando la desigualdad inicial, tenemos y por lo tanto .
Propiedades
De la definición anterior, se pueden concluir varias propiedades típicas de la ultramétrica. Por ejemplo, para todos, al menos una de las tres igualdades o o sostiene. Es decir, cada triple de puntos en el espacio forma un triángulo isósceles , por lo que todo el espacio es un conjunto isósceles .
Definición de la bola (abierta) de radio centrado en como , tenemos las siguientes propiedades:
- Cada punto dentro de una bola es su centro, es decir, si luego .
- Las bolas que se cruzan están contenidas entre sí, es decir, si no está vacío, entonces tampoco o .
- Todas las bolas de radio estrictamente positivo son conjuntos abiertos y cerrados en la topología inducida . Es decir, las bolas abiertas también están cerradas y las bolas cerradas (reemplace con ) también están abiertos.
- El conjunto de todas las bolas abiertas con radio. y centrar en una bola cerrada de radio forma una partición de este último, y la distancia mutua de dos bolas abiertas distintas es (mayor o) igual a.
Probar estas afirmaciones es un ejercicio instructivo. [3] Todos se derivan directamente de la desigualdad del triángulo ultramétrico. Tenga en cuenta que, según la segunda afirmación, una bola puede tener varios puntos centrales que tienen una distancia distinta de cero. La intuición detrás de estos efectos aparentemente extraños es que, debido a la fuerte desigualdad del triángulo, las distancias en ultrametría no cuadran.
Ejemplos de
- La métrica discreta es ultramétrica.
- Los números p -ádicos forman un espacio ultramétrico completo.
- Considere el conjunto de palabras de longitud arbitraria (finita o infinita), Σ * , sobre algún alfabeto Σ. Defina la distancia entre dos palabras diferentes como 2 - n , donde n es el primer lugar en el que difieren las palabras. La métrica resultante es ultramétrica.
- El conjunto de palabras con extremos pegados de longitud n sobre algún alfabeto Σ es un espacio ultramétrico con respecto a la p -distancia cercana. Dos palabras x y y son p -cerca si cualquier subcadena de p cartas consecutivas ( p < n ) aparece el mismo número de veces (que también podría ser cero) tanto en x y y . [4]
- Si r = ( r n ) es una secuencia de números reales decrecientes a cero, entonces | x | r : = lim sup n → ∞ | x n | r n induce una ultramétrica en el espacio de todas las secuencias complejas para las que es finito. (Tenga en cuenta que esta no es una seminorma ya que carece de homogeneidad : si se permite que r n sea cero, se debe usar aquí la convención bastante inusual de que 0 0 = 0 ).
- Si G es un grafo no dirigido ponderado por aristas , todos los pesos de aristas son positivos y d ( u , v ) es el peso de la ruta minimax entre u y v (es decir, el mayor peso de una arista, en una ruta elegida para minimizar este mayor peso), entonces los vértices del gráfico, con la distancia medida por d , forman un espacio ultramétrico, y todos los espacios ultramétricos finitos pueden representarse de esta manera. [5]
Aplicaciones
- Un mapeo de contracción puede entonces ser pensado como una manera de aproximar el resultado final de un cálculo (que puede ser garantizado de existir por el Teorema del punto fijo de Banach ). Se pueden encontrar ideas similares en la teoría de dominios . El análisis p -ádico hace un uso intensivo de la naturaleza ultramétrica de la métrica p -ádica .
- En la física de la materia condensada , la superposición de autopromedio entre espines en el modelo SK de vidrios de espín exhibe una estructura ultramétrica, con la solución dada por el procedimiento de ruptura de simetría de réplica completa descrito por primera vez por Giorgio Parisi y sus colaboradores. [6] La ultrametricidad también aparece en la teoría de los sólidos aperiódicos. [7]
- En taxonomía y construcción de árboles filogenéticos , los métodos UPGMA y WPGMA también utilizan distancias ultramétricas . [8] Estos algoritmos requieren una suposición de tasa constante y producen árboles en los que las distancias desde la raíz hasta la punta de cada rama son iguales. Cuando se analizan datos de ADN , ARN y proteínas , el supuesto de ultrametricidad se denomina reloj molecular .
- Los modelos de intermitencia en turbulencias tridimensionales de fluidos hacen uso de las llamadas cascadas, y en modelos discretos de cascadas diádicas, que tienen una estructura ultramétrica. [9]
- En geografía y ecología del paisaje , se han aplicado distancias ultramétricas para medir la complejidad del paisaje y evaluar hasta qué punto una función del paisaje es más importante que otra. [10]
Referencias
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 1-18.
- ^ Planet Math: Desigualdad de triángulo ultramétrico
- ^ "Desigualdad del triángulo ultramétrico" . Stack Exchange .
- ^ Osipov, Gutkin (2013), "Agrupación de órbitas periódicas en sistemas caóticos", No linealidad , 26 (26): 177–200, Bibcode : 2013Nonli..26..177G , doi : 10.1088 / 0951-7715 / 26/1 / 177.
- ^ Leclerc, Bruno (1981), "Descripción combinatoire des ultramétriques", Centre de Mathématique Sociale. École Pratique des Hautes Études. Mathématiques et Sciences Humaines (en francés) (73): 5–37, 127, MR 0623034.
- ^ Mezard, M; Parisi, G; y Virasoro, M: LA TEORÍA DEL VIDRIO GIRATORIO Y MÁS ALLÁ , World Scientific, 1986. ISBN 978-9971-5-0116-7
- ^ Rammal, R .; Toulouse, G .; Virasoro, M. (1986). "Ultrametricidad para físicos" . Reseñas de Física Moderna . 58 (3): 765–788. Código Bibliográfico : 1986RvMP ... 58..765R . doi : 10.1103 / RevModPhys.58.765 . Consultado el 20 de junio de 2011 .
- ^ Legendre, P. y Legendre, L. 1998. Ecología numérica. Segunda edición en inglés. Desarrollos en el modelado ambiental 20. Elsevier, Amsterdam.
- ^ Benzi, R .; Biferale, L .; Trovatore, E. (1997). "Estructura ultramétrica de correlaciones energéticas multiescala en modelos turbulentos". Cartas de revisión física . 79 (9): 1670–1674. arXiv : chao-dyn / 9705018 . Código Bibliográfico : 1997PhRvL..79.1670B . doi : 10.1103 / PhysRevLett.79.1670 .
- ^ Papadimitriou, Fivos (2013). "Modelización matemática del uso del suelo y la complejidad del paisaje con topología ultramétrica". Revista de ciencia del uso de la tierra . 8 (2): 234-254. doi : 10.1080 / 1747423x.2011.637136 . ISSN 1747-423X .
Bibliografía
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Otras lecturas
- Kaplansky, I. (1977), Teoría de conjuntos y espacios métricos , AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2694-2.