En análisis matemático , la continuidad de Lipschitz , llamada así por Rudolf Lipschitz , es una forma fuerte de continuidad uniforme para funciones . Intuitivamente, una función continua de Lipschitz está limitada en la rapidez con la que puede cambiar: existe un número real tal que, por cada par de puntos en la gráfica de esta función, el valor absoluto de la pendiente de la línea que los conecta no es mayor que este número real; el límite más pequeño se denomina constante de Lipschitz de la función (o módulo de continuidad uniforme ). Por ejemplo, cada función que tiene primeras derivadas acotadas es Lipschitz continua.[1]
En la teoría de ecuaciones diferenciales , la continuidad de Lipschitz es la condición central del teorema de Picard-Lindelöf que garantiza la existencia y unicidad de la solución a un problema de valor inicial . En el teorema del punto fijo de Banach se utiliza un tipo especial de continuidad de Lipschitz, llamado contracción . [2]
Tenemos la siguiente cadena de inclusiones estrictas para funciones sobre un intervalo no trivial cerrado y acotado de la línea real
- Continuamente diferenciable ⊂ Lipschitz continuo ⊂ α- Hölder continuo
donde 0 <α ≤ 1. También tenemos
- Lipschitz continuo ⊂ absolutamente continuo .
Definiciones
Dados dos espacios métricos ( X , d X ) e ( Y , d Y ), donde d X denota la métrica en el conjunto X y d Y es la métrica en el conjunto Y , una función f : X → Y se llama Lipschitz continua si existe una constante real K ≥ 0 tal que, para todo x 1 y x 2 en X ,
Cualquier K se denomina constante de Lipschitz para la función f . La constante más pequeña a veces se llama la (mejor) constante de Lipschitz ; sin embargo, en la mayoría de los casos, la última noción es menos relevante. Si K = 1, la función se denomina mapa corto , y si 0 ≤ K <1 yf se asigna un espacio métrico a sí misma, la función se denomina contracción .
En particular, una función de valor real f : R → R se llama Lipschitz continua si existe una constante real positiva K tal que, para todo x 1 y x 2 reales ,
En este caso, Y es el conjunto de números reales R con la métrica estándar d Y ( y 1 , y 2 ) = | y 1 - y 2 |, y X es un subconjunto de R .
En general, la desigualdad se satisface (trivialmente) si x 1 = x 2 . De lo contrario, se puede definir de manera equivalente una función como Lipschitz continua si y solo si existe una constante K ≥ 0 tal que, para todo x 1 ≠ x 2 ,
Para funciones reales de varias variables reales, esto es si y sólo si el valor absoluto de las pendientes de todas las líneas secantes están limitado por K . El conjunto de líneas de pendiente K que pasan por un punto en la gráfica de la función forma un cono circular, y una función es Lipschitz si y solo si la gráfica de la función en todas partes se encuentra completamente fuera de este cono (ver figura).
Una función se llama localmente Lipschitz continua si para cada x en X existe una vecindad U de x tal que f restringida a U es Lipschitz continua. De manera equivalente, si X es una localidad compacto espacio métrico, entonces f es localmente Lipschitz si y sólo si es Lipschitz continua en cada subconjunto compacto de X . En espacios que no son localmente compactos, esta es una condición necesaria pero no suficiente.
De manera más general, se dice que una función f definida en X es continua de Hölder o que satisface una condición de Hölder de orden α> 0 en X si existe una constante M ≥ 0 tal que
para todos los x y y en X . A veces, una condición de Hölder de orden α también se denomina condición de Lipschitz uniforme de orden α> 0.
Si existe un K ≥ 1 con
entonces f se llama bilipschitz (también escrito bi-Lipschitz ). Un mapeo de bilipschitz es inyectivo y, de hecho, es un homeomorfismo sobre su imagen. Una función bilipschitz es lo mismo que una función inyectiva de Lipschitz cuya función inversa también es Lipschitz.
Ejemplos de
- Funciones continuas de Lipschitz
- La función definido para todos los números reales es Lipschitz continuo con la constante de Lipschitz K = 1, porque es diferenciable en todas partes y el valor absoluto de la derivada está acotado arriba por 1. Vea la primera propiedad listada debajo en " Propiedades ".
- Asimismo, la función seno es continua de Lipschitz porque su derivada, la función coseno, está acotada arriba por 1 en valor absoluto.
- La función f ( x ) = | x | definido en los reales es Lipschitz continuo con la constante de Lipschitz igual a 1, por la desigualdad del triángulo inverso . Este es un ejemplo de una función continua de Lipschitz que no es diferenciable. De manera más general, una norma en un espacio vectorial es Lipschitz continua con respecto a la métrica asociada, con la constante de Lipschitz igual a 1.
- Lipschitz continuous functions that are not everywhere differentiable
- The function
- Lipschitz continuous functions that are everywhere differentiable but not continuously differentiable
- The function , whose derivative exists but has an essential discontinuity at .
- Continuous functions that are not (globally) Lipschitz continuous
- The function f(x) = √x defined on [0, 1] is not Lipschitz continuous. This function becomes infinitely steep as x approaches 0 since its derivative becomes infinite. However, it is uniformly continuous,[4] and both Hölder continuous of class C0, α for α ≤ 1/2 and also absolutely continuous on [0, 1] (both of which imply the former).
- Differentiable functions that are not (locally) Lipschitz continuous
- The function f defined by f(0) = 0 and f(x) = x3/2sin(1/x) for 0<x≤1 gives an example of a function that is differentiable on a compact set while not locally Lipschitz because its derivative function is not bounded. See also the first property below.
- Analytic functions that are not (globally) Lipschitz continuous
- The exponential function becomes arbitrarily steep as x → ∞, and therefore is not globally Lipschitz continuous, despite being an analytic function.
- The function f(x) = x2 with domain all real numbers is not Lipschitz continuous. This function becomes arbitrarily steep as x approaches infinity. It is however locally Lipschitz continuous.
Propiedades
- An everywhere differentiable function g : R → R is Lipschitz continuous (with K = sup |g′(x)|) if and only if it has bounded first derivative; one direction follows from the mean value theorem. In particular, any continuously differentiable function is locally Lipschitz, as continuous functions are locally bounded so its gradient is locally bounded as well.
- A Lipschitz function g : R → R is absolutely continuous and therefore is differentiable almost everywhere, that is, differentiable at every point outside a set of Lebesgue measure zero. Its derivative is essentially bounded in magnitude by the Lipschitz constant, and for a < b, the difference g(b) − g(a) is equal to the integral of the derivative g′ on the interval [a, b].
- Conversely, if f : I → R is absolutely continuous and thus differentiable almost everywhere, and satisfies |f′(x)| ≤ K for almost all x in I, then f is Lipschitz continuous with Lipschitz constant at most K.
- More generally, Rademacher's theorem extends the differentiability result to Lipschitz mappings between Euclidean spaces: a Lipschitz map f : U → Rm, where U is an open set in Rn, is almost everywhere differentiable. Moreover, if K is the best Lipschitz constant of f, then whenever the total derivative Df exists.
- For a differentiable Lipschitz map f : U → Rm the inequality holds for the best Lipschitz constant of f, and it turns out to be an equality if the domain U is convex.[further explanation needed]
- Suppose that {fn} is a sequence of Lipschitz continuous mappings between two metric spaces, and that all fn have Lipschitz constant bounded by some K. If fn converges to a mapping f uniformly, then f is also Lipschitz, with Lipschitz constant bounded by the same K. In particular, this implies that the set of real-valued functions on a compact metric space with a particular bound for the Lipschitz constant is a closed and convex subset of the Banach space of continuous functions. This result does not hold for sequences in which the functions may have unbounded Lipschitz constants, however. In fact, the space of all Lipschitz functions on a compact metric space is a subalgebra of the Banach space of continuous functions, and thus dense in it, an elementary consequence of the Stone–Weierstrass theorem (or as a consequence of Weierstrass approximation theorem, because every polynomial is locally Lipschitz continuous).
- Every Lipschitz continuous map is uniformly continuous, and hence a fortiori continuous. More generally, a set of functions with bounded Lipschitz constant forms an equicontinuous set. The Arzelà–Ascoli theorem implies that if {fn} is a uniformly bounded sequence of functions with bounded Lipschitz constant, then it has a convergent subsequence. By the result of the previous paragraph, the limit function is also Lipschitz, with the same bound for the Lipschitz constant. In particular the set of all real-valued Lipschitz functions on a compact metric space X having Lipschitz constant ≤ K is a locally compact convex subset of the Banach space C(X).
- For a family of Lipschitz continuous functions fα with common constant, the function (and ) is Lipschitz continuous as well, with the same Lipschitz constant, provided it assumes a finite value at least at a point.
- If U is a subset of the metric space M and f : U → R is a Lipschitz continuous function, there always exist Lipschitz continuous maps M → R which extend f and have the same Lipschitz constant as f (see also Kirszbraun theorem). An extension is provided by
- where k is a Lipschitz constant for f on U.
Colectores de Lipschitz
Let U and V be two open sets in Rn. A function T : U → V is called bi-Lipschitz if it is a Lipschitz homeomorphism onto its image, and its inverse is also Lipschitz.
Using bi-Lipschitz mappings, it is possible to define a Lipschitz structure on a topological manifold, since there is a pseudogroup structure on bi-Lipschitz homeomorphisms. This structure is intermediate between that of a piecewise-linear manifold and a smooth manifold. In fact a PL structure gives rise to a unique Lipschitz structure;[5] it can in that sense 'nearly' be smoothed.
Lipschitz unilateral
Let F(x) be an upper semi-continuous function of x, and that F(x) is a closed, convex set for all x. Then F is one-sided Lipschitz[6] if
for some C and for all x1 and x2.
It is possible that the function F could have a very large Lipschitz constant but a moderately sized, or even negative, one-sided Lipschitz constant. For example, the function
has Lipschitz constant K = 50 and a one-sided Lipschitz constant C = 0. An example which is one-sided Lipschitz but not Lipschitz continuous is F(x) = e−x, with C = 0.
Ver también
- Dini continuity
- Modulus of continuity
- Quasi-isometry
Referencias
- ^ Sohrab, H. H. (2003). Basic Real Analysis. Vol. 231. Birkhäuser. p. 142. ISBN 0-8176-4211-0.
|volume=
has extra text (help) - ^ Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B.; Bruckner, Andrew M. (2001). Elementary Real Analysis. Prentice-Hall. p. 623.
- ^ Searcóid, Mícheál Ó (2006), "Lipschitz Functions", Metric Spaces, Springer undergraduate mathematics series, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-1-84628-369-7
- ^ Robbin, Joel W., Continuity and Uniform Continuity (PDF)
- ^ "Topology of manifolds", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- ^ Donchev, Tzanko; Farkhi, Elza (1998). "Stability and Euler Approximation of One-sided Lipschitz Differential Inclusions". SIAM Journal on Control and Optimization. 36 (2): 780–796. doi:10.1137/S0363012995293694.