En matemáticas , un semigrupo ortodoxo es un semigrupo regular cuyo conjunto de idempotentes forma un subgrupo . En terminología más reciente, un semigrupo ortodoxo es un E -semigroup regular . [1] El término semigrupo ortodoxo fue acuñado por TE Hall y presentado en un artículo publicado en 1969. [2] [3] Ciertas clases especiales de semigrupos ortodoxos se habían estudiado antes. Por ejemplo, los semigrupos que también son uniones de grupos, en los que los conjuntos de idempotentes forman subsemigrupos fueron estudiados por PHH Fantham en 1960. [4]
Ejemplos de
- Considere la operación binaria en el conjunto S = { a , b , c , x } definido por la siguiente tabla de Cayley :
a | B | C | X | |
a | a | B | C | X |
B | B | B | B | B |
C | C | C | C | C |
X | X | C | B | a |
- Entonces S es un semigrupo ortodoxo bajo esta operación, siendo el subsemigrupo de idempotentes { a , b , c }. [5]
- Los semigrupos y bandas inversos son ejemplos de semigrupos ortodoxos. [6]
Algunas propiedades elementales
El conjunto de idempotentes en un semigrupo ortodoxo tiene varias propiedades interesantes. Sea S un semigrupo regular y para cualquier a en S sea V ( a ) el conjunto de inversas de a . Entonces los siguientes son equivalentes: [5]
- S es ortodoxo.
- Si un y b son en S y si x está en V ( una ) y Y es en V ( b ) a continuación, yx es en V ( ab ).
- Si e es un idempotente en S, entonces todo inverso de e también es un idempotente.
- Para todo a , b en S , si V ( a ) ∩ V ( b ) ≠ ∅ entonces V ( a ) = V ( b ).
Estructura
La estructura de los semigrupos ortodoxos se ha determinado en términos de bandas y semigrupos inversos. El teorema de retroceso de Hall-Yamada describe esta construcción. La construcción requiere los conceptos de pullbacks (en la categoría de semigrupos) y la representación de Nambooripad de un semigrupo regular fundamental. [6]
Ver también
Referencias
- ^ J. Almeida, J.-É. Pin y P. Weil Semigroups cuyos idempotentes forman una versión actualizada de subsemigroup de Almeida, J .; Pin, J.-É .; Weil, P. (2008). "Semigrrupos cuyos idempotentes forman un subsemigrupo" . Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 111 (2): 241. doi : 10.1017 / S0305004100075332 .
- ^ Hall, TE (1969). "Sobre semigrupos regulares cuyos idempotentes forman un subgrupo" . Boletín de la Sociedad Matemática Australiana . 1 : 195-208. doi : 10.1017 / s0004972700041447 .
- ^ AH Clifford, KH Hofmann, MW Mislove (editores) (1996). Teoría del semigrupo y sus aplicaciones: Actas de la conferencia de 1994 que conmemora el trabajo de Alfred H. Clifford . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 70. ISBN 9780521576697.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace ) CS1 maint: texto adicional: lista de autores ( enlace )
- ^ PHH Fantham (1960). "Sobre la clasificación de un cierto tipo de semigrupo". Actas de la London Mathematical Society . 1 : 409–427. doi : 10.1112 / plms / s3-10.1.409 .
- ^ a b JM Howie (1976). Introducción a la teoría de semigrupos . Londres: Academic Press. págs. 186–211.
- ^ a b PA Grillet. Semigroups: Introducción a la teoría de estructuras . Nueva York: Marcel Dekker, Inc. p. 341.