En álgebra abstracta , un magma medial o grupoide medial es un magma o grupoide (es decir, un conjunto con una operación binaria ) que satisface la identidad
- , o más simplemente
para todas las x , y , u y v , utilizando la convención de que la yuxtaposición denota la misma operación pero tiene mayor precedencia. Esta identidad ha sido denominada de diversas formas medial , abeliana , alternancia , transposición , intercambio , bi-conmutativa , bisimétrica , surconmutativa , entrópica , etc. [1]
Cualquier semigrupo conmutativo es un magma medial, y un magma medial tiene un elemento de identidad si y solo si es un monoide conmutativo . Otra clase de semigrupos que forman magmas mediales son las bandas normales . [2] Los magmas mediales no necesitan ser asociativos: para cualquier grupo abeliano no trivial con operación + y enteros m ≠ n , la nueva operación binaria definida por produce un magma medial que en general no es asociativo ni conmutativo.
Usando la definición categórica de producto , para un magma M , se puede definir el magma cuadrado cartesiano M × M con la operación
- ( x , y ) ∙ ( u , v ) = ( x ∙ u , y ∙ v ) .
La operación binaria ∙ de M , considerado como un mapeo de M × M a M , mapas ( x , Y ) a x ∙ y , ( u , v ) a u ∙ v , y ( x ∙ u , y ∙ v ) a ( x ∙ u ) ∙ ( y ∙ v ) . Por lo tanto, un magma M es medial si y sólo si su operación binaria es un magma homomorfismo de M × M a M . Esto se puede expresar fácilmente en términos de un diagrama conmutativo y, por lo tanto, conduce a la noción de un objeto de magma medial en una categoría con un producto cartesiano . (Vea la discusión en el objeto auto magma ).
Si f y g son endomorfismos de un magma medial, entonces el mapeo f ∙ g definido por multiplicación puntual
es en sí mismo un endomorfismo. De ello se deduce que el conjunto Fin ( M ) de todos los endomorfismos de un magma medial M es en sí mismo un magma medial.
Teorema de Bruck-Murdoch-Toyoda
El teorema de Bruck-Murdoch-Toyoda proporciona la siguiente caracterización de los cuasigrupos mediales . Dado un grupo abeliano A y dos automorfismos de conmutación φ y ψ de A , defina una operación ∗ en A mediante
- x ∗ y = φ ( x ) + ψ ( y ) + c,
donde c algún elemento fijo de A . No es difícil probar que A forma un cuasigrupo medial en esta operación. El teorema de Bruck-Toyoda establece que cada cuasigrupo medio tiene esta forma, es decir, es isomorfo a un cuasigrupo definido de este modo a partir de un grupo abeliano. [3] En particular, cada cuasigrupo medial es isotópico para un grupo abeliano.
El resultado fue obtenido de forma independiente en 1941 por DC Murdoch y K. Toyoda. Luego fue redescubierto por Bruck en 1944.
Generalizaciones
El término medial o (más comúnmente) entrópico también se usa para una generalización a múltiples operaciones. Una estructura algebraica es un álgebra entrópica [4] si cada dos operaciones satisfacen una generalización de la identidad medial. Deje que f y g sea operaciones de aridad m y n , respectivamente. Entonces f y g son necesarios para satisfacer
Ver también
Referencias
- ^ Comentarios históricos Archivado el18 de julio de 2011en la Wayback Machine. J.Jezek y T.Kepka: Groupoids medial Rozpravy CSAV, Rada mat. un prir. ved 93/2 (1983), 93 págs.
- ↑ Yamada, Miyuki (1971), "Note on exclusive semigroups", Semigroup Forum , 3 (1): 160-167, doi : 10.1007 / BF02572956.
- ^ Kuzʹmin, EN y Shestakov, IP (1995). "Estructuras no asociativas". Álgebra VI . Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. 6 . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . págs. 197–280. ISBN 978-3-540-54699-3.
- ^ Davey, BA; Davis, G. (1985). "Productos tensores y variedades entrópicas". Álgebra Universalis . 21 : 68–88. doi : 10.1007 / BF01187558 .
- Murdoch, DC (mayo de 1941), "Estructura de cuasigrupos abelianos", Trans. Amer. Matemáticas. Soc. , 49 (3): 392–409, doi : 10.1090 / s0002-9947-1941-0003427-2 , JSTOR 1989940
- Toyoda, K. (1941), "Sobre axiomas de funciones lineales" , Proc. Diablillo. Acad. Tokio , 17 (7): 221–7, doi : 10.3792 / pia / 1195578751
- Bruck, RH (enero de 1944), "Algunos resultados en la teoría de los cuasigrupos", Trans. Amer. Matemáticas. Soc. , 55 (1): 19–52, doi : 10.1090 / s0002-9947-1944-0009963-x , JSTOR 1990138
- Ježek, J .; Kepka, T. (1983), "Groupoids medial", Rozpravy Československé Akad. Věd Řada Mat. Přírod. Věd , 93 (2): 93pp