En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , el teorema de la monadicidad de Beck da un criterio que caracteriza a los functores monádicos , introducido por Jonathan Mock Beck ( 2003 ) alrededor de 1964. A menudo se expresa en forma dual para las comónadas . A veces se le llama teorema de tripleabilidad de Beck debido al antiguo término triple para una mónada.
El teorema de la monadicidad de Beck afirma que un funtor
es monádico si y solo si [1]
- U tiene un adjunto izquierdo ;
- U refleja isomorfismos (si U ( f ) es un isomorfismo, entonces también lo es f ); y
- C tiene coequalizadores de pares paralelos divididos en U (esos pares paralelos de morfismos en C , que U envía a pares que tienen un coecualizador dividido en D ), y U conserva esos coequalizadores.
Hay varias variaciones del teorema de Beck: si U tiene un adjunto izquierdo, cualquiera de las siguientes condiciones asegura que U sea monádico:
- U refleja isomorfismos y C tiene coequalizadores de pares reflexivos (aquellos con un inverso derecho común) y U conserva esos coequalizadores. (Esto da el teorema de la monadicidad burdo).
- Cada diagrama de la C , que es por U envió a una secuencia coequalizer división en D es en sí misma una secuencia coequalizer en C . En otras palabras, U crea (conservas y refleja) T secuencias -split coequalizer.
Otra variación del teorema de Beck caracteriza a los functores estrictamente monádicos: aquellos para los que el functor de comparación es un isomorfismo en lugar de una mera equivalencia de categorías . Para esta versión, las definiciones de lo que significa crear coequalizadores se modifican ligeramente: el coequalizador tiene que ser único en lugar de solo único hasta el isomorfismo.
El teorema de Beck es particularmente importante en su relación con la teoría de la descendencia , que juega un papel en la teoría de gavillas y pilas , así como en el enfoque de Alexander Grothendieck a la geometría algebraica . La mayoría de los casos de descendencia fielmente plana de estructuras algebraicas (por ejemplo, las de FGA y SGA1 ) son casos especiales del teorema de Beck. El teorema da una descripción categórica exacta del proceso de "descenso", en este nivel. En 1970, Jean Bénabou y Jacques Roubaud demostraron que el enfoque de Grothendieck a través de categorías de fibras y datos de descendencia era equivalente (en algunas condiciones) al enfoque de comonad. En un trabajo posterior, Pierre Deligne aplicó el teorema de Beck a la teoría de categorías de Tannak , simplificando enormemente los desarrollos básicos.
Ejemplos de
- Se deduce del teorema de Beck que el functor olvidadizo de los espacios compactos de Hausdorff a los conjuntos es monádico. El adjunto izquierdo es la compactación Stone-Čech , el functor olvidadizo conserva todos los colímites y refleja isomorfismos porque cualquier biyección continua desde un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es un homeomorfismo. Leinster (2013) muestra que esta adjunción es de hecho la adjunción monádica inicial que extiende el funtor de inclusión (no monádico) de la categoría de conjuntos finitos a uno de todos los conjuntos.
- El functor olvidadizo de los espacios topológicos a los conjuntos no es monádico ya que no refleja isomorfismos: las biyecciones continuas entre espacios topológicos (no compactos o no de Hausdorff) no tienen por qué ser homeomorfismos.
- Negrepontis (1971 , §1) muestra que el funtor de C * -álgebras conmutativas a conjuntos que envían tal álgebra A a la bola unitaria , es decir, el conjunto, es monádico. Negrepontis también deduce la dualidad Gelfand , es decir, la equivalencia de categorías entre la categoría opuesta de espacios compactos de Hausdorff y álgebras C * conmutativas se puede deducir de esto.
- El functor powerset de Set op a Set es monádico, donde Set es la categoría de conjuntos. De manera más general, el teorema de Beck puede usarse para demostrar que el functor de conjunto de potencias de T op a T es monádico para cualquier topos T, que a su vez se usa para mostrar que el topos T tiene colímites finitos.
- El functor olvidadizo de los semigrupos a los conjuntos es monádico. Este funtor no preserva los coequalizadores arbitrarios, lo que muestra que es necesaria alguna restricción sobre los coequalizadores en el teorema de Beck si uno quiere tener condiciones que son necesarias y suficientes.
- Si B es un anillo conmutativo fielmente plano sobre el anillo conmutativo A , entonces el funtor T de los módulos A a los módulos B que llevan de M a B ⊗ A M es una comónada. Esto se sigue del teorema dual de Becks, ya que la condición de que B es plano implica que T conserva los límites, mientras que la condición de que B es fielmente plano implica que T refleja isomorfismos. Una coalgebra sobre T resulta ser esencialmente un módulo B con datos de descenso, por lo que el hecho de que T sea un comonado es equivalente al teorema principal del descenso fielmente plano, que dice que los módulos B con descenso son equivalentes a los módulos A. [2]
enlaces externos
- teorema de la monadicidad en nLab
- ascendencia monádica en nLab
Referencias
- ^ Pedicchio y Tholen 2004 , p. 228
- ^ Deligne 1990 , §4.2
- Balmer, Paul (2012), "Descenso en categorías trianguladas", Mathematische Annalen , 353 (1): 109-125, doi : 10.1007 / s00208-011-0674-z , MR 2910783 , S2CID 121964355
- Barr, M .; Wells, C. (2013) [1985], Triples, toposes y teorías , Grundlehren der mathischen Wissenschaften, 278 , Springer, ISBN 9781489900234 pdf
- Beck, Jonathan Mock (2003) [1967], "Triples, álgebras y cohomología" (PDF) , Reimpresiones en teoría y aplicaciones de categorías , Tesis de doctorado de la Universidad de Columbia, 2 : 1–59, MR 1987896
- Bénabou, Jean ; Roubaud, Jacques (12 de enero de 1970), "Monades et descente", CR Acad. Sci. París , 270 (A): 96–98
- Leinster, Tom (2013), "Codensity and the ultrafilter mónada", Teoría y aplicaciones de categorías , 28 : 332–370, arXiv : 1209.3606 , Bibcode : 2012arXiv1209.3606L
- Negrepontis, Joan W. (1971), "La dualidad en el análisis desde el punto de vista de los triples", Journal of Algebra , 19 (2): 228–253, doi : 10.1016 / 0021-8693 (71) 90105-0 , ISSN 0021-8693 , MR 0280571
- Pavlović, Duško (1991), "Interpolación categórica: descenso y la condición de Beck-Chevalley sin imágenes directas", en Carboni, A .; Pedicchio, MC; Rosolini, G. (eds.), Teoría de categorías , Lecture Notes in Mathematics, 1488 , Springer, págs. 306–325, doi : 10.1007 / BFb0084229 , ISBN 978-3-540-54706-8
- Deligne, Pierre (1990), Catégories Tannakiennes, Grothendieck Festschrift, vol. II , Progreso en matemáticas, 87 , Birkhäuser, págs. 111–195
- Grothendieck, A. (1962), "Fondements de la géométrie algébrique", [Extraits du Séminaire Bourbaki, 1957-1962] , París: Secrétariat Math., MR 0146040
- Grothendieck, A .; Raynaud, M. (1971), Revêtements étales et groupe fondamental (SGA I) , Lecture Notes in Mathematics, 224 , Springer, arXiv : math.AG/0206203 , doi : 10.1007 / BFb0058656 , ISBN 978-3-540-36910-3
- Borceux, Francis (1994), Teoría básica de categorías , Manual de álgebra categórica, 1 , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44178-0 (3 volúmenes).
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- Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004), Fundamentos categóricos. Temas especiales en orden, topología, álgebra y teoría de gavillas , Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 97 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-83414-7, Zbl 1034.18001