En física , el límite de Bekenstein (llamado así por Jacob Bekenstein ) es un límite superior de la entropía S , o información I , que puede estar contenida dentro de una región finita dada del espacio que tiene una cantidad finita de energía, o por el contrario, la cantidad máxima de información requerida para describir perfectamente un sistema físico dado hasta el nivel cuántico. [1] Implica que la información de un sistema físico, o la información necesaria para describir perfectamente ese sistema, debe ser finita si la región del espacio y la energía son finitas. En informática , esto implica que existe una tasa máxima de procesamiento de información (Límite de Bremermann ) para un sistema físico que tiene un tamaño y energía finitos, y que una máquina de Turing con dimensiones físicas finitas y memoria ilimitada no es físicamente posible.
Ecuaciones
La forma universal del límite fue encontrada originalmente por Jacob Bekenstein en 1981 como la desigualdad [1] [2] [3]
donde S es la entropía , k es la constante de Boltzmann , R es el radio de una esfera que puede encerrar el sistema dado, E es la masa-energía total incluyendo cualquier masa en reposo , ħ es la constante de Planck reducida y c es la velocidad de luz . Tenga en cuenta que mientras que la gravedad juega un papel importante en su aplicación, la expresión de la cota no contiene la constante gravitacional G .
En términos informativos, con S = k · I · ln 2, el límite está dado por
donde I es la información expresada en número de bits contenidos en los estados cuánticos de la esfera. El factor ln 2 proviene de definir la información como el logaritmo en la base 2 del número de estados cuánticos. [4] Utilizando la equivalencia masa-energía , el límite informativo puede reformularse como
dónde es la masa (en kg), y es el radio (en metros) del sistema.
Orígenes
Bekenstein derivó el límite de argumentos heurísticos que involucran agujeros negros . Si existe un sistema que viola el límite, es decir, por tener demasiada entropía, Bekenstein argumentó que sería posible violar la segunda ley de la termodinámica bajándola a un agujero negro. En 1995, Ted Jacobson demostró que las ecuaciones de campo de Einstein (es decir, la relatividad general ) se pueden derivar asumiendo que el límite de Bekenstein y las leyes de la termodinámica son verdaderas. [5] [6] Sin embargo, aunque se idearon varios argumentos que muestran que debe existir alguna forma de límite para que las leyes de la termodinámica y la relatividad general sean mutuamente consistentes, la formulación precisa del límite era una cuestión de debate hasta la obra de Casini en 2008. [2] [3] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15]
Prueba en la teoría cuántica de campos
Casini dio en 2008 una prueba del límite de Bekenstein en el marco de la teoría cuántica de campos . [16] Una de las ideas cruciales de la prueba fue encontrar una interpretación adecuada de las cantidades que aparecen en ambos lados del límite.
Las definiciones ingenuas de entropía y densidad de energía en la teoría cuántica de campos adolecen de divergencias ultravioleta . En el caso del límite de Bekenstein, las divergencias ultravioleta pueden evitarse tomando diferencias entre las cantidades calculadas en un estado excitado y las mismas cantidades calculadas en el estado de vacío. Por ejemplo, dada una región espacial, Casini define la entropía en el lado izquierdo del límite de Bekenstein como
dónde es la entropía de Von Neumann de la matriz de densidad reducida asociado con en el estado excitado , y es la entropía de Von Neumann correspondiente para el estado de vacío .
En el lado derecho del límite de Bekenstein, un punto difícil es dar una interpretación rigurosa de la cantidad , dónde es una escala de longitud característica del sistema y es una energía característica. Este producto tiene las mismas unidades que el generador de un impulso de Lorentz , y el análogo natural de un impulso en esta situación es el Hamiltoniano modular del estado de vacío.. Casini define el lado derecho del límite de Bekenstein como la diferencia entre el valor esperado del hamiltoniano modular en el estado excitado y el estado de vacío,
Con estas definiciones, el límite se lee
que se puede reorganizar para dar
Esta es simplemente la afirmación de positividad de la entropía relativa , que prueba el límite de Bekenstein.
Ejemplos de
Agujeros negros
Sucede que la entropía del límite de Bekenstein-Hawking de los agujeros negros tridimensionales satura exactamente el límite
dónde es la constante de Boltzmann , A es el área bidimensional del horizonte de eventos del agujero negro en unidades del área de Planck ,.
El límite está estrechamente asociado con la termodinámica del agujero negro , el principio holográfico y el límite de entropía covariante de la gravedad cuántica, y puede derivarse de una forma fuerte conjeturada de este último.
Cerebro humano
Un cerebro humano promedio tiene una masa de 1,5 kg y un volumen de 1260 cm 3 . Si el cerebro se aproxima a una esfera, entonces el radio será de 6,7 cm.
El límite informativo de Bekenstein será de aproximadamente 2.6 × 10 42 bits y representa la información máxima necesaria para recrear perfectamente un cerebro humano promedio hasta el nivel cuántico. Esto significa que el númerode estados del cerebro humano debe ser menor que.
Ver también
- Teorema de Margolus-Levitin
- Principio de Landauer
- Complejidad de Kolmogorov
- Más allá de los agujeros negros
- Cerebro de Boltzmann
- Física digital
- Límites al cálculo
- Límite de Chandrasekhar
Referencias
- ↑ a b Bekenstein, Jacob D. (1981). "Límite superior universal en la relación de entropía-energía para sistemas delimitados" (PDF) . Physical Review D . 23 (2): 287-298. Código Bibliográfico : 1981PhRvD..23..287B . doi : 10.1103 / PhysRevD.23.287 .
- ^ a b Bekenstein, Jacob D. (2005). "¿Cómo funciona la Entropía / Información enlazada?". Fundamentos de la Física . 35 (11): 1805–1823. arXiv : quant-ph / 0404042 . Código Bibliográfico : 2005FoPh ... 35.1805B . doi : 10.1007 / s10701-005-7350-7 .
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- ^ Casini, Horacio (2008). "La entropía relativa y el límite de Bekenstein". Gravedad clásica y cuántica . 25 (20): 205021. arXiv : 0804.2182 . Código bibliográfico : 2008CQGra..25t5021C . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 25/20/205021 .
enlaces externos
- Jacob D. Bekenstein, "Bekenstein obligado" , Scholarpedia , vol. 3, núm. 10 (2008), pág. 7374, doi : 10.4249 / scholarpedia.7374 .
- Jacob D. Bekenstein, "Entropía de Bekenstein-Hawking" , Scholarpedia , vol. 3, núm. 10 (2008), pág. 7375, doi : 10.4249 / scholarpedia.7375 .
- La página web de Jacob D. Bekenstein en el Instituto de Física Racah , Universidad Hebrea de Jerusalén , que contiene una serie de artículos sobre la cota de Bekenstein.
- O'Dowd, Matt (12 de septiembre de 2018). "¿Cuánta información hay en el universo?" . PBS Space Time - a través de YouTube . CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )