Espacio Berkovich

En matemáticas , un espacio de Berkovich , introducido por Berkovich  ( 1990 ), es una versión de un espacio analítico sobre un campo no arquimediano (por ejemplo, campo p -ádico ), refinando la noción de Tate de un espacio analítico rígido .

Motivación

En el complejo caso, la geometría algebraica comienza definiendo el espacio afín complejo para ser Para cada definimos el anillo de funciones analíticas en ser el anillo de funciones holomorfas , es decir, las funciones en que pueden escribirse como una serie de potencias convergente en un barrio de cada punto.${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$${\displaystyle U\subset \mathbb {C} ^{n},}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U},}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

Luego definimos un espacio modelo local para ser ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathcal {O}}_{U}}$

${\displaystyle X:=\{x\in U:f_{1}(x)=\cdots =f_{n}(x)=0\}}$

con un espacio analítico complejo es un anillado localmente -space que es localmente isomorfo a un espacio modelo local.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{U}/(f_{1},\ldots ,f_{n}).}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$

Cuando es un campo completo no arquimediano, tenemos que está totalmente desconectado . En tal caso, si continuamos con la misma definición que en el caso complejo, no obtendríamos una buena teoría analítica. Berkovich dio una definición que da bonitos espacios analíticos sobre tales , y también devuelve la definición habitual sobre${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Además de definir funciones analíticas sobre campos que no son de Arquímedes, los espacios de Berkovich también tienen un bonito espacio topológico subyacente .

Espectro de Berkovich

Una seminorma en un anillo es una función no constante tal que ${\displaystyle A}$${\displaystyle |\!-\!|:A\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|0|&=0\\|1|&=1\\|f+g|&\leqslant |f|+|g|\\|fg|&\leqslant |f||g|\end{aligned}}}$

para todos . Se llama multiplicativo si y se llama norma si implica .${\displaystyle f,g\in A}$${\displaystyle |fg|=|f||g|}$${\displaystyle |f|=0}$${\displaystyle f=0}$

Si es un anillo normalizado con norma, entonces el espectro de Berkovich de , denotado , es el conjunto de seminormas multiplicativos que están delimitados por la norma de . ${\displaystyle A}$${\displaystyle \|\!-\!\|}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

El espectro de Berkovich está equipado con la topología más débil, de modo que para cualquier mapa ${\displaystyle f\in A}$

${\displaystyle {\begin{cases}\varphi _{f}:{\mathcal {M}}(A)\to \mathbb {R} \\|\cdot |\mapsto |f|\end{cases}}}$

es continuo .

El espectro de Berkovich de un anillo normalizado no está vacío si no es cero y es compacto si está completo.${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Si es un punto del espectro de a continuación, los elementos con forma de un ideal primo de . El campo del cociente del cociente por este ideal primo es un campo normado, cuya terminación es un campo completo con una norma multiplicativa; este campo se indica con y la imagen de un elemento se indica con . El campo es generado por la imagen de . ${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |f|_{x}=0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {H}}(x)}$${\displaystyle f\in A}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle {\mathcal {H}}(x)}$${\displaystyle A}$

Por el contrario, un mapa acotado de un campo normado completo con una norma multiplicativa generada por la imagen de da un punto en el espectro de .${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

El radio espectral de ${\displaystyle f,}$

${\displaystyle \rho (f)=\lim _{n\to \infty }\left\|f^{n}\right\|^{\frac {1}{n}}}$

es igual a

${\displaystyle \sup _{x\in {\mathcal {M}}(A)}|f|_{x}.}$

Ejemplos de

• El espectro de un campo completo con respecto a una valoración es un único punto correspondiente a su valoración.

• Si es un álgebra C * conmutativa, entonces el espectro de Berkovich es el mismo que el espectro de Gelfand . Un punto del espectro de Gelfand es esencialmente un homomorfismo a , y su valor absoluto es la seminorma correspondiente en el espectro de Berkovich.${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

• El teorema de Ostrowski muestra que el espectro de Berkovich de los enteros (con la norma habitual) consta de las potencias de la valoración habitual, para un primo o . Si es primo entonces y si entonces Cuando todos estos coinciden con la valoración trivial que se encuentra en todos los elementos distintos de cero. Para cada uno (primo o infinito) obtenemos una rama que es homeomorfa a un intervalo real , las ramas se encuentran en el punto correspondiente a la valoración trivial. Los vecindarios abiertos de las valoraciones triviales son tales que contienen todas las ramas, excepto un número finito, y su intersección con cada rama es abierta.${\displaystyle |f|_{p}^{\varepsilon }}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle p}$${\displaystyle 0\leqslant \varepsilon \leqslant \infty ,}$${\displaystyle p=\infty }$${\displaystyle 0\leqslant \varepsilon \leqslant 1.}$${\displaystyle \varepsilon =0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle p}$

Espacio afín de Berkovich

Si es un campo con una valoración , entonces el espacio afín de Berkovich n- dimensional sobre , denotado , es el conjunto de seminormas multiplicativas al extender la norma . ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle k}$

El espacio afín Berkovich está equipado con la topología más débil tal que para cualquier el mapa toma a es continua. Este no es un espectro de Berkovich, sino una unión creciente de los espectros de Berkovich de anillos de series de potencia que convergen en alguna bola (por lo que es localmente compacto).${\displaystyle f\in k}$${\displaystyle \varphi _{f}:\mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle |\cdot |\in \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle |f|}$

Definimos una función analítica en un subconjunto abierto es un mapa ${\displaystyle U\subset \mathbb {A} ^{n}}$

${\displaystyle f:U\to \prod _{x\in U}{\mathcal {H}}(x)}$

con lo cual es un límite local de funciones racionales, es decir, tal que cada punto tiene una vecindad abierta con la siguiente propiedad:${\displaystyle f(x)\in {\mathcal {H}}(x)}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle U'\subset U}$

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\,\exists g,h\in {\mathcal {k}}[x_{1},\ldots ,x_{n}]:\qquad \forall x'\in U'\left(h(x')\neq 0\ \,\land \ \left|f(x')-{\frac {g(x')}{h(x')}}\right|<\varepsilon \right).}$

Continuando con las mismas definiciones que en el caso complejo, se puede definir el anillo de funciones analíticas, espacio modelo local y espacios analíticos sobre cualquier campo con una valoración (también se pueden definir objetos similares sobre anillos normativos). Esto proporciona objetos razonables para campos completos con respecto a una valoración no trivial y el anillo de números enteros.${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

En el caso de que esto le dará los mismos objetos que se describen en la sección de motivación.${\displaystyle k=\mathbb {C} ,}$

Estos espacios analíticos no son todos espacios analíticos sobre campos no arquimedianos.

Línea afín de Berkovich

El espacio afín de Berkovich unidimensional se denomina línea afín de Berkovich . Cuando un campo no arquimediano cerrado algebraicamente , completo con respecto a su valoración, se pueden describir todos los puntos de la línea afín.${\displaystyle k}$

Hay una incrustación canónica .${\displaystyle k\hookrightarrow \mathbb {A} _{k}^{1}}$

El espacio es un espacio topológico localmente compacto, de Hausdorff y con una trayectoria única conectada que contiene un subespacio denso .${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle k}$

También se puede definir la línea proyectiva de Berkovich colindando , de manera adecuada, con un punto en el infinito. El espacio resultante es un espacio topológico compacto, de Hausdorff y con una trayectoria única conectada que contiene un subespacio denso.${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(k)}$

Referencias

• Baker, Matthew; Conrad, Brian; Dasgupta, Samit; Kedlaya, Kiran S .; Teitelbaum, Jeremy (2008), Thakur, Dinesh S .; Savitt, David (eds.), Geometría p-ádica , Serie de conferencias universitarias, 45 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4468-7, MR  2482343
• Baker, Matthew; Rumely, Robert (2010), Teoría y dinámica del potencial en la línea proyectiva de Berkovich , Encuestas y monografías matemáticas, 159 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4924-8, MR  2599526
• Berkovich, Vladimir G. (1990), Teoría espectral y geometría analítica sobre campos no arquimedianos , Encuestas y monografías matemáticas, 33 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1534-2, MR  1070709
• Berkovich, Vladimir G. (1993), "Cohomology Étale para espacios analíticos no arquimedianos" , Publications Mathématiques de l'IHÉS (78): 5–161, ISSN  1618-1913 , MR  1259429

enlaces externos

• Espacio Berkovich en nLab
• Escuela de verano Institut de Mathématiques de Jussieu «Espacios de Berkovich» 2010