En teoría de la probabilidad , una distribución binomial beta negativa es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X igual al número de fracasos necesarios para obtener r éxitos en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes donde la probabilidad p de éxito en cada ensayo, mientras cualquier experimento dado, es en sí mismo una variable aleatoria que sigue una distribución beta , que varía entre los diferentes experimentos. Por tanto, la distribución es una distribución de probabilidad compuesta .
Binomio Beta Negativo Parámetros | forma ( real ) forma ( real ) - número de éxitos hasta que se detiene el experimento ( número entero pero puede extenderse a real ) |
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Apoyo | k ∈ {0, 1, 2, 3, ...} |
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PMF | |
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Significar | |
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Diferencia | |
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Oblicuidad | |
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MGF | no existe |
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CF | dónde es la función gamma yes la función hipergeométrica . |
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Esta distribución también se ha denominado distribución inversa de Markov-Pólya y distribución de Waring generalizada . [1] Una forma desplazada de la distribución se ha denominado distribución beta-Pascal . [1]
Si los parámetros de la distribución beta son α y β , y si
dónde
entonces la distribución marginal de X es una distribución binomial beta negativa:
En lo anterior, NB ( r , p ) es la distribución binomial negativa y B ( α , β ) es la distribución beta .
Si es un entero, entonces el PMF se puede escribir en términos de la función beta ,:
- .
De manera más general, el PMF se puede escribir
o
- .
PMF expresado con Gamma
Usando las propiedades de la función Beta , el PMF con integer se puede reescribir como:
- .
De manera más general, el PMF se puede escribir como
- .
PMF expresado con el símbolo ascendente de Pochammer
El PMF a menudo también se presenta en términos del símbolo de Pochammer para números enteros.
No identificable
El binomio beta negativo no es identificable, lo que se puede ver fácilmente simplemente intercambiando y en la densidad o función característica anterior y observando que no se modifica. Por tanto, la estimación exige que se imponga una restricción a, o ambos.
Relación con otras distribuciones
La distribución binomial beta negativa contiene la distribución geométrica beta como un caso especial cuando . Por lo tanto, puede aproximarse arbitrariamente bien a la distribución geométrica . También se aproxima a la distribución binomial negativa bien arbitraria para grandes y . Por lo tanto, puede aproximarse arbitrariamente bien a la distribución de Poisson para grandes, y .
Cola pesada
Mediante la aproximación de Stirling a la función beta, se puede demostrar fácilmente que
lo que implica que la distribución binomial beta negativa tiene una cola pesada y que momentos menores o iguales a no existe.
La distribución geométrica beta es un caso especial importante de la distribución binomial beta negativa que ocurre para . En este caso, el pmf se simplifica a
- .
Esta distribución se utiliza en los modelos Buy Till you Die (BTYD).
Además, cuando la beta geométrica se reduce a la distribución Yule-Simon . Sin embargo, es más común definir la distribución Yule-Simon en términos de una versión modificada de la geometría beta. En particular, si luego .