En matemáticas, el álgebra Birman-Murakami-Wenzl (BMW) , introducido por Joan Birman y Hans Wenzl ( 1989 ) y Jun Murakami ( 1987 ), es una familia de álgebras de dos parámetros. de dimensión teniendo el álgebra de Hecke del grupo simétrico como cociente. Está relacionado con el polinomio de Kauffman de un enlace . Es una deformación del álgebra de Brauer de la misma manera que las álgebras de Hecke son deformaciones del álgebra de grupo del grupo simétrico.
Definición
Para cada número natural n , el álgebra de BMW es generado por y relaciones:
Estas relaciones implican relaciones posteriores:
Ésta es la definición original dada por Birman y Wenzl. Sin embargo, a veces se realiza un ligero cambio mediante la introducción de algunos signos negativos, de acuerdo con la versión "Dubrovnik" de Kauffman de su invariante de enlace. De esa manera, la cuarta relación en la versión original de Birman & Wenzl se cambia a
- (Relación de madeja de Kauffman)
Dada la invertibilidad de m , el resto de las relaciones en la versión original de Birman & Wenzl se pueden reducir a
- (Relación idempotente)
- (Relaciones trenzadas)
- (Relaciones enredadas)
- (Delooping relaciones)
Propiedades
- La dimensión de es .
- El álgebra de Iwahori-Hecke asociada con el grupo simétrico es un cociente del álgebra Birman – Murakami – Wenzl .
- El grupo de trenzas Artin se integra en el álgebra de BMW,.
Isomorfismo entre las álgebras de BMW y las álgebras de enredo de Kauffman
Morton y Wassermann (1989) demuestran que el álgebra de BMW es isomorfo al álgebra de enredos de Kauffman , el isomorfismo es definido por
y
Baxterización del álgebra Birman-Murakami-Wenzl
Defina el operador facial como
- ,
dónde y están determinados por
y
- .
Entonces, el operador facial satisface la ecuación de Yang-Baxter .
Ahora con
- .
En los limites , las trenzas se puede recuperar hasta un factor de escala .
Historia
En 1984, Vaughan Jones introdujo un nuevo polinomio invariante de tipos de isotopías de enlace que se llama polinomio de Jones . Los invariantes están relacionados con los rastros de representaciones irreductibles de álgebras de Hecke asociadas con los grupos simétricos . Murakami (1987) mostró que el polinomio de Kauffman también se puede interpretar como una funciónen cierta álgebra asociativa. En 1989, Birman y Wenzl (1989) construyeron una familia de álgebras de dos parámetros con el polinomio de Kauffman como traza después de la renormalización adecuada.
Referencias
- Birman, Joan S .; Wenzl, Hans (1989), "Trenzas, polinomios de enlace y una nueva álgebra", Transactions of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 313 (1): 249-273, doi : 10.1090 / S0002-9947-1989-0992598- X , ISSN 0002-9947 , JSTOR 2001074 , MR 0992598
- Murakami, Jun (1987), "El polinomio de vínculos y la teoría de la representación de Kauffman" , Osaka Journal of Mathematics , 24 (4): 745–758, ISSN 0030-6126 , MR 0927059
- Morton, Hugh R .; Wassermann, Antony J. (1989). "Una base para el álgebra Birman-Wenzl". arXiv : 1012.3116 [ math.QA ].