Función (matemáticas)

En matemáticas , una función ^{[nota 1]} de un conjunto $X$ a un conjunto $Y$ asigna a cada elemento de $X$ exactamente un elemento de $Y.$ El conjunto $X$ se llama dominio de la función y el conjunto $Y$ se llama codominio de la función.

Las funciones fueron originalmente la idealización de cómo una cantidad variable depende de otra cantidad. Por ejemplo, la posición de un planeta es una función del tiempo. Históricamente , el concepto se elaboró con el cálculo infinitesimal a finales del siglo XVII y, hasta el siglo XIX, las funciones que se consideraban eran diferenciables (es decir, tenían un alto grado de regularidad). El concepto de función se formalizó a finales del siglo XIX en términos de la teoría de conjuntos , y esto amplió enormemente los dominios de aplicación del concepto.

La mayoría de las veces, una función se denota con letras como $f$ , $g$ y $h$ , y el valor de una función $f$ en un elemento $x$ de su dominio se denota con $f(x)$ .

Una función está representada únicamente por el conjunto de todos los pares $(x, f (x))$ , llamado el gráfico de la función . ^{[nota 2]}^[1] Cuando el dominio y el codominio son conjuntos de números reales, cada par puede considerarse como las coordenadas cartesianas de un punto en el plano. El conjunto de estos puntos se llama la gráfica de la función; es un medio popular de ilustrar la función.

Las funciones se utilizan ampliamente en la ciencia y en la mayoría de los campos de las matemáticas. Se ha dicho que las funciones son "los objetos centrales de investigación" en la mayoría de los campos de las matemáticas. ^[2]

Una función de un conjunto $X$ a un conjunto $Y$ es una asignación de un elemento de $Y$ a cada elemento de $X.$ El conjunto $X$ se llama dominio de la función y el conjunto $Y$ se llama codominio de la función.

Representación esquemática de una función descrita metafóricamente como una "máquina" o " caja negra " que para cada entrada produce una salida correspondiente

La curva roja es la gráfica de una función , porque cualquier línea vertical tiene exactamente un punto de cruce con la curva.

Una función que asocia cualquiera de las cuatro formas coloreadas a su color.

Este diagrama, que representa el conjunto de pares

{(1,D), (2,B), (2,C)}

, no define una función. Una razón es que 2 es el primer elemento en más de un par ordenado,

(2, B)

(2, C)

, de este conjunto. Otras dos razones, también suficientes por sí mismas, es que ni 3 ni 4 son primeros elementos (entrada) de ningún par ordenado en ellos.