Teorema de Borel-Weil-Bott
En matemáticas , el teorema de Borel-Weil-Bott es un resultado básico en la teoría de la representación de los grupos de Lie , que muestra cómo se puede obtener una familia de representaciones a partir de secciones holomorfas de ciertos haces de vectores complejos y, de manera más general, de grupos de cohomología de haces superiores. asociado a dichos paquetes. Se basa en el anterior teorema de Borel-Weil de Armand Borel y André Weil , que se ocupa solo del espacio de las secciones (el grupo de cohomología cero), y Raoul Bott proporciona la extensión a grupos de cohomología superiores . Uno puede equivalentemente, a través de GAGA de Serre, vea esto como resultado de una geometría algebraica compleja en la topología de Zariski .
Sea G un grupo de Lie semisimple o un grupo algebraico sobre , y fijemos un toro maximal T junto con un subgrupo B de Borel que contiene a T . Sea λ un peso integral de T ; λ define de forma natural una representación unidimensional C λ de B , retirando la representación en T = B / U , donde U es el radical unipotente de B . Dado que podemos pensar en el mapa de proyección G → G / B como un haz de B principal , para cada C λ obtenemos un haz de fibras asociado L −λ en G / B (nótese el signo), que obviamente es un haz de líneas . Identificando L λ con su haz de secciones holomorfas, consideramos los grupos de cohomología de los haces . Dado que G actúa sobre el espacio total del paquete por automorfismos de paquete, esta acción naturalmente da un G-estructura de módulos en estos grupos; y el teorema de Borel-Weil-Bott da una descripción explícita de estos grupos como módulos G.
Primero necesitamos describir la acción del grupo de Weyl centrada en . Para cualquier peso integral λ y w en el grupo de Weyl W , establecemos , donde ρ denota la mitad de la suma de las raíces positivas de G . Es sencillo comprobar que esto define una acción de grupo, aunque esta acción no es lineal, a diferencia de la acción de grupo habitual de Weyl. Además, se dice que un peso μ es dominante si para todas las raíces simples α . Sea ℓ la función de longitud en W .
Vale la pena señalar que el caso (1) anterior ocurre si y solo si para alguna raíz β positiva . Además, obtenemos el teorema clásico de Borel-Weil como un caso especial de este teorema al tomar λ como dominante y w como elemento de identidad .
