Cálculo funcional

En las matemáticas , un cálculo funcional es una teoría que permite una para aplicar funciones matemáticas a los operadores matemáticos . Ahora es una rama (más exactamente, varias áreas relacionadas) del campo del análisis funcional , conectado con la teoría espectral . (Históricamente, el término también se usó como sinónimo de cálculo de variaciones ; este uso es obsoleto, excepto para derivada funcional . A veces se usa en relación con tipos de ecuaciones funcionales , o en lógica para sistemas de cálculo de predicados ).

Si es una función, digamos una función numérica de un número real , y es un operador, no hay ninguna razón en particular por la que la expresión deba tener sentido. Si lo hace, entonces ya no lo usaremos en su dominio de función original . En la tradición del cálculo operacional , las expresiones algebraicas en los operadores se manejan independientemente de su significado. Sin embargo, esto pasa casi desapercibido si hablamos de 'cuadrar una matriz', que es el caso de y una matriz . La idea de un cálculo funcional es crear un enfoque basado en principios para este tipo de sobrecarga de la notación. ${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f(M)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)=x^{2}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n\times n}$

El caso más inmediato es aplicar funciones polinomiales a una matriz cuadrada , ampliando lo que se acaba de comentar. En el caso de dimensión finita, el cálculo funcional polinomial proporciona bastante información sobre el operador. Por ejemplo, considere la familia de polinomios que aniquila a un operador . Esta familia es un ideal en el anillo de polinomios. Además, es un ideal no trivial: sea ​​la dimensión finita del álgebra de matrices, entonces es linealmente dependiente. Entonces, para algunos escalares , no todos son iguales a 0. Esto implica que el polinomio se encuentra en el ideal. Dado que el anillo de polinomios es un dominio ideal principal${\displaystyle T}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{I,T,T^{2},\ldots ,T^{n}\}}$${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}T^{i}=0}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}x^{i}}$, este ideal es generado por algún polinomio . Multiplicando por una unidad si es necesario, podemos optar por ser monicos. Cuando se hace esto, el polinomio es precisamente el polinomio mínimo de . Este polinomio proporciona información detallada sobre . Por ejemplo, un escalar es un valor propio de si y solo si es una raíz de . Además, a veces se puede utilizar para calcular el exponencial de manera eficiente. ${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle T}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle T}$

El cálculo de polinomios no es tan informativo en el caso de dimensión infinita. Considere el desplazamiento unilateral con el cálculo de polinomios; el ideal definido anteriormente es ahora trivial. Por tanto, nos interesan los cálculos funcionales más generales que los polinomios. El tema está estrechamente relacionado con la teoría espectral , ya que para una matriz diagonal o un operador de multiplicación , está bastante claro cuáles deberían ser las definiciones.

Ver también

• Cálculo funcional holomórfico
• Cálculo funcional continuo
• Cálculo funcional Borel

Referencias

• "Cálculo funcional" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

Enlaces externos

• Medios relacionados con el cálculo funcional en Wikimedia Commons

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