En matemáticas , el teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro es un teorema básico de análisis funcional que establece una correspondencia uno a uno entre operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert. y familias de un parámetro
de operadores unitarios que son fuertemente continuos , es decir,
y son homomorfismos, es decir,
Estas familias de un parámetro se denominan normalmente grupos unitarios de un parámetro fuertemente continuos .
Marshall Stone ( 1930 , 1932 ) demostró el teorema y Neumann (1932) demostró que el requisito de que ser fuertemente continuo se puede relajar para decir que es meramente débilmente mensurable, al menos cuando el espacio de Hilbert es separable.
Este es un resultado impresionante, ya que permite definir la derivada del mapeo que solo se supone que es continuo. También se relaciona con la teoría de los grupos de Lie y las álgebras de Lie .
Declaración formal
El enunciado del teorema es el siguiente. [1]
- Teorema. Dejar ser un grupo unitario de un parámetro fuertemente continuo . Entonces existe un operador único (posiblemente ilimitado) , que es autoadjunta en y tal que
- El dominio de es definido por
- Por el contrario, deja ser un operador autoadjunto (posiblemente ilimitado) en Entonces la familia de un parámetro de operadores unitarios definidos por
- es un grupo de un parámetro fuertemente continuo.
En ambas partes del teorema, la expresión se define mediante el teorema espectral para operadores autoadjuntos ilimitados .
El operador se llama el generador infinitesimal de Además, será un operador acotado si y solo si el mapeo valorado por el operador es norma continua .
El generador infinitesimal de un grupo unitario fuertemente continuo puede calcularse como
con el dominio de que consta de esos vectores para lo cual existe el límite en la topología de la norma. Es decir, es igual a veces la derivada de con respecto a a . Parte del enunciado del teorema es que esta derivada existe, es decir, quees un operador autoadjunto densamente definido. El resultado no es obvio incluso en el caso de dimensión finita, ya que solo se supone (de antemano) que es continuo y no diferenciable.
Ejemplo
La familia de operadores de traducción
es un grupo unitario de un solo parámetro de operadores unitarios; el generador infinitesimal de esta familia es una extensión del operador diferencial
definido en el espacio de funciones de valor complejo continuamente diferenciables con soporte compacto en Por lo tanto
En otras palabras, el movimiento en la línea lo genera el operador de impulso .
Aplicaciones
El teorema de Stone tiene numerosas aplicaciones en mecánica cuántica . Por ejemplo, dado un sistema mecánico cuántico aislado, con el espacio de Hilbert de estados H , la evolución del tiempo es un grupo unitario de un parámetro fuertemente continuo en. El generador infinitesimal de este grupo es el sistema hamiltoniano .
Usando la transformada de Fourier
El teorema de Stone se puede reformular utilizando el lenguaje de la transformada de Fourier . La linea reales un grupo abeliano localmente compacto. Representaciones no degeneradas * del grupo C * -álgebra están en correspondencia uno a uno con representaciones unitarias fuertemente continuas de es decir, grupos unitarios de un parámetro fuertemente continuos. Por otro lado, la transformada de Fourier es un * -isomorfismo de a la -álgebra de funciones continuas de valores complejos en la línea real que se desvanecen en el infinito. Por tanto, existe una correspondencia biunívoca entre grupos unitarios de un parámetro fuertemente continuos y representaciones * de Como cada * -representación de corresponde únicamente a un operador autoadjunto, sostiene el teorema de Stone.
Por lo tanto, el procedimiento para obtener el generador infinitesimal de un grupo unitario de un parámetro fuertemente continuo es el siguiente:
- Dejar ser una representación unitaria fuertemente continua de en un espacio de Hilbert .
- Integre esta representación unitaria para producir una representación no degenerada * de en definiendo primero
- y luego extendiendo a todos por continuidad.
- Utilice la transformada de Fourier para obtener una representación no degenerada * de en .
- Según el teorema de Riesz-Markov ,da lugar a una medida con valor de proyección enque es la resolución de la identidad de un operador autoadjunto único , que puede ser ilimitado.
- Luego es el generador infinitesimal de
La definición precisa de es como sigue. Considere el * -álgebra las funciones continuas de valores complejos en con soporte compacto, donde la multiplicación se da por convolución . La finalización de este * -álgebra con respecto a la-norm es un álgebra de Banach *, denotado por Luego se define como el envolvente-álgebra de, es decir, su finalización con respecto a la mayor -norma. No es un hecho trivial que, a través de la transformada de Fourier, es isomorfo a Un resultado en esta dirección es el Lema de Riemann-Lebesgue , que dice que la transformada de Fourier mapea a
Generalizaciones
El teorema de Stone-von Neumann generaliza el teorema de Stone a un par de operadores autoadjuntos,, satisfaciendo la relación de conmutación canónica , y muestra que todos estos son unitariamente equivalentes al operador de posición y al operador de momento en
El teorema de Hille-Yosida generaliza el teorema de Stone a semigrupos de contracciones de un parámetro fuertemente continuos en espacios de Banach .
Referencias
Bibliografía
- Hall, BC (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
- Neumann, J. von (1932), "Über einen Satz von Herrn MH Stone", Annals of Mathematics , Segunda serie (en alemán), Annals of Mathematics, 33 (3): 567–573, doi : 10.2307 / 1968535 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1968535
- Stone, MH (1930), "Linear Transformations in Hilbert Space. III. Operational Methods and Group Theory", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , Academia Nacional de Ciencias, 16 (2): 172-175 , doi : 10.1073 / pnas.16.2.172 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 85485 , PMC 1075964 , PMID 16587545
- Stone, MH (1932), "Sobre grupos unitarios de un parámetro en el espacio de Hilbert", Annals of Mathematics , 33 (3): 643–648, doi : 10.2307 / 1968538 , JSTOR 1968538
- K. Yosida, Análisis funcional , Springer-Verlag, (1968)