espacio hadamard
En geometría , un espacio de Hadamard , llamado así por Jacques Hadamard , es una generalización no lineal de un espacio de Hilbert . En la literatura también se definen de manera equivalente como espacios CAT(0) completos .
Un espacio de Hadamard se define como un espacio métrico completo no vacío [1] tal que, dados los puntos x , y , existe un punto m tal que para cada punto z ,
El punto m es entonces el punto medio de xey : .
En un espacio de Hilbert, la desigualdad anterior es igualdad (con ), y en general se dice que un espacio de Hadamard es plano si la desigualdad anterior es igualdad. Un espacio de Hadamard plano es isomorfo a un subconjunto convexo cerrado de un espacio de Hilbert. En particular, un espacio normado es un espacio de Hadamard si y solo si es un espacio de Hilbert.
La geometría de los espacios de Hadamard se parece a la de los espacios de Hilbert, lo que los convierte en un escenario natural para el estudio de los teoremas de rigidez . En un espacio de Hadamard, dos puntos cualesquiera pueden estar unidos por una geodésica única entre ellos; en particular, es contráctil . Generalmente, si B es un subconjunto acotado de un espacio métrico, entonces el centro de la bola cerrada de radio mínimo que la contiene se llama circuncentro de B. [2] Cada subconjunto acotado de un espacio de Hadamard está contenido en la bola cerrada más pequeña (que es lo mismo que el cierre de su casco convexo). Si es el grupo de isometríasde un espacio de Hadamard que deja invariante B , luego fija el circuncentro de B . ( Teorema del punto fijo de Bruhat-Tits )
El resultado básico para una variedad curva no positiva es el teorema de Cartan-Hadamard . El análogo es válido para un espacio de Hadamard: un espacio métrico completo y conectado que es localmente isométrico a un espacio de Hadamard tiene un espacio de Hadamard como su cubierta universal . Su variante aplica para orbifolds no positivamente curvados . (cf. Lurie.)
