En matemáticas, el teorema de Cartan-Hadamard es un enunciado de la geometría riemanniana sobre la estructura de las variedades riemannianas completas de curvatura seccional no positiva . El teorema establece que la cobertura universal de tal variedad es difeomórfica a un espacio euclidiano a través del mapa exponencial en cualquier punto. Fue probado por primera vez por Hans Carl Friedrich von Mangoldt para superficies en 1881, e independientemente por Jacques Hadamard en 1898. Élie Cartan generalizó el teorema a las variedades de Riemann en 1928 (Helgason 1978 ; do Carmo 1992 ; Kobayashi y Nomizu 1969 ). El teorema fue generalizado aún más a una amplia clase de espacios métricos por Mikhail Gromov en 1987; Ballmann (1990) publicó pruebas detalladas para espacios métricos de curvatura no positiva y Alexander y Bishop (1990) para espacios métricos localmente convexos generales.
Geometría riemanniana
El teorema de Cartan-Hadamard en la geometría Riemanniana convencional afirma que el espacio de cobertura universal de una variedad Riemanniana completa conectada de curvatura seccional no positiva es difeomórfica a R n . De hecho, para variedades completas en curvatura no positiva, el mapa exponencial basado en cualquier punto de la variedad es un mapa de cobertura.
El teorema también es válido para las variedades de Hilbert en el sentido de que el mapa exponencial de una variedad conectada geodésicamente completa curvada no positivamente es un mapa de cobertura ( McAlpin 1965 ; Lang 1991 , IX, §3 ). La completitud se entiende aquí en el sentido de que el mapa exponencial se define en todo el espacio tangente de un punto.
Geometría métrica
En geometría métrica , el teorema de Cartan-Hadamard es la afirmación de que la cobertura universal de un espacio métrico completo X conectado no curvado positivamente es un espacio de Hadamard . En particular, si X está simplemente conectado, entonces es un espacio geodésico en el sentido de que dos puntos cualesquiera están conectados por una geodésica minimizadora única y, por lo tanto, son contractibles .
Se dice que un espacio métrico X no tiene una curva positiva si cada punto p tiene una vecindad U en la que dos puntos cualesquiera están unidos por una geodésica , y para cualquier punto z en U y una geodésica de velocidad constante γ en U , uno tiene
Esta desigualdad puede pensarse útilmente en términos de un triángulo geodésico Δ = z γ (0) γ (1). El lado izquierdo es la distancia al cuadrado desde el vértice z hasta el punto medio del lado opuesto. El lado derecho representa la distancia cuadrada desde el vértice hasta el punto medio del lado opuesto en un triángulo euclidiano que tiene las mismas longitudes de lado que Δ. Esta condición, llamada condición CAT (0) es una forma abstracta del teorema de comparación de triángulos de Toponogov .
Generalización a espacios localmente convexos
El supuesto de curvatura no positiva puede debilitarse ( Alexander y Bishop 1990 ), aunque con una conclusión correspondientemente más débil. Llame a un espacio métrico X convexo si, para dos geodésicas que minimizan la velocidad constante a ( t ) yb ( t ), la función
es una función convexa de t . Un espacio métrico es entonces localmente convexo si cada punto tiene una vecindad que es convexa en este sentido. El teorema de Cartan-Hadamard para espacios localmente convexos establece:
- Si X es un espacio métrico conectado completo localmente convexo, entonces la cobertura universal de X es un espacio geodésico convexo con respecto a la métrica de longitud inducida d .
En particular, la cobertura universal de dicho espacio es contraíble. La convexidad de la función de distancia a lo largo de un par de geodésicas es una consecuencia bien conocida de la curvatura no positiva de un espacio métrico, pero no es equivalente ( Ballmann 1990 )
.Significado
El teorema de Cartan-Hadamard proporciona un ejemplo de una correspondencia local a global en geometría riemanniana y métrica: a saber, una condición local (curvatura no positiva) y una condición global (conectividad simple) juntas implican una propiedad global fuerte (contractibilidad ); o en el caso de Riemann, difeomorfismo con R n .
La forma métrica del teorema demuestra que un complejo celular poliédrico curvado no positivamente es asférico . Este hecho es de crucial importancia para la teoría de grupos geométricos moderna .
Ver también
- Glosario de geometría riemanniana y métrica
- Colector Cartan – Hadamard
- Conjetura de Cartan-Hadamard
Referencias
- McAlpin, John (1965), "Variedades dimensionales infinitas y teoría Morse", Tesis , Universidad de Columbia.
- Alexander, Stephanie B .; Bishop, Richard L. (1990), "El teorema de Hadamard-Cartan en espacios métricos localmente convexos", Enseign. Matemáticas. , Serie 2, 36 (3–4): 309–320.
- Ballmann, Werner (1995), Conferencias sobre espacios de curvatura no positiva , Seminario 25 del DMV, Basilea: Birkhäuser Verlag, págs. Viii + 112, ISBN 3-7643-5242-6, MR 1377265.
- Bridson, Martin R .; Haefliger, André (1999), espacios métricos de curvatura no positiva , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 319, Berlín: Springer-Verlag, pp. Xxii + 643, ISBN 3-540-64324-9, MR 1744486.
- do Carmo, Manfredo Perdigão (1992), geometría riemanniana , Matemáticas: teoría y aplicaciones, Boston: Birkhäuser, pp. xvi + 300, ISBN 0-8176-3490-8.
- Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1969), Fundamentos de la geometría diferencial , vol. II , Tracts in Mathematics 15, Nueva York: Wiley Interscience, págs. Xvi + 470, ISBN 0-470-49648-7.
- Helgason, Sigurdur (1978), Geometría diferencial, Grupos de Lie y espacios simétricos , Matemáticas puras y aplicadas 80, Nueva York: Academic Press, págs. Xvi + 628, ISBN 0-12-338460-5.
- Lang, Serge (1999), Fundamentos de geometría diferencial , Textos de posgrado en matemáticas, 191 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98593-0, MR 1666820.