En matemáticas , una matriz de Bézout (o Bézoutian o Bezoutiant ) es una matriz cuadrada especial asociada con dos polinomios , introducida por James Joseph Sylvester ( 1853 ) y Arthur Cayley ( 1857 ) y que lleva el nombre de Étienne Bézout . Bézoutian también puede referirse al determinante de esta matriz, que es igual a la resultante de los dos polinomios. Las matrices de Bézout a veces se utilizan para probar la estabilidad de un polinomio dado.
Definición
Dejar y ser dos polinomios complejos de grado como máximo n ,
(Tenga en cuenta que cualquier coeficiente o podría ser cero). La matriz de Bézout de orden n asociados con los polinomios f y g de SI
donde las entradas resultado de la identidad
Es una matriz compleja n × n , y sus entradas son tales que si dejamos para cada , luego:
A cada matriz de Bézout, se le puede asociar la siguiente forma bilineal , llamada Bézoutian:
Ejemplos de
- Para n = 3, tenemos para cualquier polinomio f y g de grado (como máximo) 3:
- Dejar y sean los dos polinomios. Luego:
La última fila y columna son todas cero, ya que f y g tienen un grado estrictamente menor que n (que es 4). Las otras entradas cero se deben a que para cada, ya sea o es cero.
Propiedades
- es simétrico (como una matriz);
- ;
- ;
- es una función bilineal ;
- es una matriz real si f y g tienen coeficientes reales ;
- no es singular con si y solo si f y g no tienen raíces comunes .
- con tiene determinante que es la resultante de f y g .
Aplicaciones
Una aplicación importante de las matrices de Bézout se puede encontrar en la teoría de control . Para ver esto, sea f ( z ) un polinomio complejo de grado n y denote por q y p los polinomios reales tales que f (i y ) = q ( y ) + i p ( y ) (donde y es real). También denotamos r para el rango y σ para la firma de. Entonces, tenemos las siguientes declaraciones:
- f ( z ) tiene n - r raíces en común con su conjugado;
- las raíces r izquierdas de f ( z ) están ubicadas de tal manera que:
- ( r + σ ) / 2 de ellos se encuentran en el semiplano izquierdo abierto, y
- ( r - σ ) / 2 se encuentran en el semiplano derecho abierto;
- f es Hurwitz estable si y solo si es positivo definido .
La tercera afirmación da una condición necesaria y suficiente con respecto a la estabilidad. Además, el primer enunciado presenta algunas similitudes con un resultado relativo a las matrices de Sylvester, mientras que el segundo se puede relacionar con el teorema de Routh-Hurwitz .
Referencias
- Cayley, Arthur (1857), "Note sur la methode d'elimination de Bezout" , J. Reine Angew. Matemáticas. , 53 : 366–367, doi : 10.1515 / crll.1857.53.366
- Kreĭn, MG; Naĭmark, MA (1981) [1936], "El método de las formas simétricas y hermitianas en la teoría de la separación de las raíces de las ecuaciones algebraicas", Álgebra lineal y multilineal , 10 (4): 265-308, doi : 10.1080 / 03081088108817420 , ISSN 0308-1087 , MR 0638124
- Pan, Víctor; Bini, Darío (1994). Cálculos polinomiales y matriciales . Basilea, Suiza: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3786-9.
- Pritchard, Anthony J .; Hinrichsen, Diederich (2005). Teoría de sistemas matemáticos I: modelización, análisis del espacio de estados, estabilidad y robustez . Berlín: Springer. ISBN 3-540-44125-5.
- Sylvester, James Joseph (1853), "Sobre una teoría de las relaciones sicigéticas de dos funciones integrales racionales, que comprende una aplicación a la teoría de las funciones de Sturm y la de la medida común algebraica más grande" (PDF) , Transacciones filosóficas de la Royal Society of London , The Royal Society, 143 : 407–548, doi : 10.1098 / rstl.1853.0018 , ISSN 0080-4614 , JSTOR 108572