En geometría , un mosaico pentagonal de El Cairo es un mosaico del plano euclidiano por pentágonos convexos congruentes , formado por la superposición de dos mosaicos del plano por hexágonos y llamado así por su uso como diseño de pavimento en El Cairo . También se llama red de MacMahon [1] en honor a Percy Alexander MacMahon , quien la describió en su publicación de 1921 New Mathematical Pasatiempos . [2] John Horton Conway lo llamó pentille cuádruple . [3]
Azulejos pentagonal de el Cairo | |
---|---|
![]() Forma equilátera del mosaico de El Cairo | |
Tipo | Baldosas pentagonales |
Caras | pentágonos irregulares |
Poliedro doble | Azulejos cuadrados chatos |
Propiedades | cara transitiva |
Infinidad de pentágonos diferentes pueden formar este patrón, perteneciendo a dos de las 15 familias de pentágonos convexos que pueden enlosar el plano . Sus teselaciones tienen diferentes simetrías; todos son simétricos de caras. Una forma particular de la baldosa, dual con la baldosa cuadrada chata , tiene baldosas con el perímetro mínimo posible entre todas las baldosas pentagonales. Otro, que superpone dos teselados aplanados por hexágonos regulares, es la forma utilizada en El Cairo y tiene la propiedad de que cada borde es colineal con infinitos otros bordes.
En arquitectura, más allá de El Cairo, el mosaico de El Cairo se ha utilizado en la arquitectura mogol en la India del siglo XVIII, en Laeiszhalle de principios del siglo XX en Alemania y en muchos edificios e instalaciones modernas. También se ha estudiado como estructura cristalina y aparece en el arte de MC Escher .
Estructura y clasificación
La unión de todos los bordes de un mosaico Cairo es igual que la unión de dos mosaicos del plano por hexágonos . Cada hexágono de un mosaico rodea dos vértices del otro mosaico y está dividido por los hexágonos del otro mosaico en cuatro de los pentágonos del mosaico de El Cairo. [4] Infinidad de pentágonos diferentes pueden formar mosaicos de El Cairo, todos con el mismo patrón de adyacencias entre mosaicos y con la misma descomposición en hexágonos, pero con diferentes longitudes de borde, ángulos y simetrías. Los pentágonos que forman estos mosaicos se pueden agrupar en dos familias infinitas diferentes, extraídas de las 15 familias de pentágonos convexos que pueden enlosar el plano , [5] y las cinco familias de pentágonos que Karl Reinhardt encontró en 1918 y que pueden enlosar el plano isoédricamente. (todos los mosaicos simétricos entre sí). [6]
Una de estas dos familias consta de pentágonos que tienen dos ángulos rectos no adyacentes , con un par de lados de igual longitud que se encuentran en cada uno de estos ángulos rectos. Cualquier pentágono que cumpla estos requisitos divide el plano en mosaicos mediante copias que, en las esquinas en ángulo recto elegidas, se rotan en ángulo recto entre sí. En los lados del pentágono que no son adyacentes a uno de estos dos ángulos rectos, dos baldosas se encuentran, giradas en un ángulo de 180 ° entre sí. El resultado es un mosaico isoédrico, lo que significa que cualquier pentágono en el mosaico se puede transformar en cualquier otro pentágono mediante una simetría del mosaico. Estos pentágonos y sus mosaicos a menudo se enumeran como "tipo 4" en la lista de tipos de pentágonos que pueden mosaicos. [4] Para cualquier mosaico Cairo tipo 4, doce de los mismos mosaicos también pueden cubrir la superficie de un cubo, con un mosaico doblado en cada borde del cubo y tres ángulos rectos de mosaicos que se encuentran en cada vértice del cubo, para formar la misma estructura combinatoria como un dodecaedro regular . [7] [8]
La otra familia de pentágonos que forman el mosaico de El Cairo son pentágonos que tienen dos ángulos complementarios en vértices no adyacentes, cada uno con las mismas longitudes de dos lados incidentes a él. En sus teselaciones, los vértices con ángulos complementarios se alternan alrededor de cada vértice de cuatro grados. Los pentágonos que cumplen con estas restricciones generalmente no se enumeran como una de las 15 familias de pentágonos que se encuentran en mosaico; más bien, son parte de una familia más grande de pentágonos (los pentágonos "tipo 2") que embaldosan el plano isoédricamente de una manera diferente. [4]
Los mosaicos de Cairo simétricos bilateralmente están formados por pentágonos que pertenecen tanto a las familias de tipo 2 como a las de tipo 4. [4] El patrón de pavimentación de ladrillos de tejido de cesto puede verse como un caso degenerado de los mosaicos de Cairo simétricos bilateralmente, con cada ladrillo (unrectángulo) interpretado como un pentágono con cuatro ángulos rectos y un ángulo de 180 °. [9]
Los azulejos tipo 2 de El Cairo tienen ángulos complementarios no adyacentes , con las mismas longitudes de dos lados adyacentes.
Las baldosas de tipo 4 tienen ángulos rectos no adyacentes entre pares de lados de igual longitud
Los mosaicos bilateralmente simétricos (que pertenecen a ambos tipos) usan mosaicos con ángulos rectos no adyacentes y cuatro bordes iguales
Azulejos tipo 2 Cairo, con colores que muestran azulejos reflejados y no reflejados
En un mosaico quiral de tipo 4 , los pentágonos pueden ser bilateralmente simétricos incluso cuando el mosaico no lo es.
El basketweave, una baldosa simétrica bilateralmente degenerada, con baldosas no degeneradas superpuestas
Casos especiales
Azulejo catalán
El mosaico cuadrado chato , hecho de dos cuadrados y tres triángulos equiláteros alrededor de cada vértice, tiene un mosaico Cairo simétrico bilateralmente como su mosaico dual . [10] El mosaico Cairo se puede formar a partir del mosaico cuadrado chapado colocando un vértice del mosaico Cairo en el centro de cada cuadrado o triángulo del mosaico cuadrado chapado, y conectando estos vértices por bordes cuando proceden de mosaicos adyacentes. [11] Sus pentágonos se pueden circunscribir alrededor de un círculo . Tienen cuatro bordes largos y uno corto con longitudes en la proporción. Los ángulos de estos pentágonos forman la secuencia 120 °, 120 °, 90 °, 120 °, 90 °. [12]
El mosaico cuadrado chato es un mosaico de Arquímedes , y como el doble de un mosaico de Arquímedes, esta forma de mosaico pentagonal de El Cairo es un mosaico catalán o de Laves. [11] Es uno de los dos mosaicos pentagonales monoédricos que, cuando las tejas tienen un área unitaria, minimizan el perímetro de las tejas. El otro es también un mosaico por pentágonos circunscritos con dos ángulos rectos y tres ángulos de 120 °, pero con los dos ángulos rectos adyacentes; también hay una infinidad de teselaciones formadas combinando ambos tipos de pentágono. [12]
Azulejos con cantos colineales
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/c/c6/Collinear_Cairo_tiling.svg/170px-Collinear_Cairo_tiling.svg.png)
Pentágonos con coordenadas de vértice enteras , , y , con cuatro lados iguales más cortos que el lado restante, forman un mosaico Cairo cuyas dos mosaicos hexagonales se pueden formar aplanando dos mosaicos perpendiculares por hexágonos regulares en direcciones perpendiculares, en una proporción de. Esta forma del mosaico de El Cairo hereda la propiedad de los mosaicos por hexágonos regulares (sin cambios por el aplanamiento), que cada borde es colineal con infinitos otros bordes. [9] [13]
Azulejos con lados iguales
El pentágono regular no puede formar mosaicos de El Cairo, ya que no enlosa el plano sin espacios. Hay un pentágono equilátero único que puede formar un mosaico tipo 4 de El Cairo; tiene cinco lados iguales pero sus ángulos son desiguales y su mosaico es simétrico bilateralmente. [4] [10] Infinitamente muchos otros pentágonos equiláteros pueden formar mosaicos tipo 2 de El Cairo. [4]
Aplicaciones
Varias calles de El Cairo se han pavimentado con la forma colineal del mosaico de El Cairo; [9] [14] esta aplicación es el origen del nombre del mosaico. [15] [16] A partir de 2019, este patrón todavía se puede ver como una decoración de superficie para azulejos cuadrados cerca del puente Qasr El Nil y la estación de metro El Behoos ; otras versiones del mosaico son visibles en otras partes de la ciudad. [17] Algunos autores, incluido Martin Gardner, han escrito que este patrón se usa más ampliamente en la arquitectura islámica , y aunque esta afirmación parece haberse basado en un malentendido, los patrones que se asemejan al mosaico de El Cairo son visibles en la Tumba de I 'del siglo XVII. timād-ud-Daulah en India, y el propio mosaico de El Cairo se ha encontrado en un jali mogol del siglo XVII . [13]
Tumba de I'timād-ud-Daulah , con paneles laterales rectangulares que se asemejan al mosaico de El Cairo
Centar Zamet , con el mosaico de El Cairo visible en sus paredes
Azulejos de El Cairo en Hørsholm , Dinamarca
Una de las primeras publicaciones sobre las baldosas de El Cairo como patrón decorativo se encuentra en un libro sobre diseño textil de 1906. [18] El inventor HC Moore presentó una patente estadounidense sobre baldosas que forman este patrón en 1908. [19] Aproximadamente al mismo tiempo, Villeroy & Boch creó una línea de baldosas cerámicas con el patrón de mosaico Cairo, que se utiliza en el vestíbulo del Laeiszhalle en Hamburgo , Alemania. El mosaico de El Cairo se ha utilizado como patrón decorativo en muchos diseños arquitectónicos recientes; por ejemplo, el centro de la ciudad de Hørsholm , Dinamarca, está pavimentado con este patrón, y el Centar Zamet , un pabellón deportivo en Croacia, lo usa tanto para sus paredes exteriores como para sus baldosas. [13]
En cristalografía , este mosaico se ha estudiado al menos desde 1911. [20] Se ha propuesto como estructura para cristales de hidrato en capas , [21] para ciertos compuestos de bismuto y hierro , [22] y para pentagrafeno , una hipotética compuesto de carbono puro . En la estructura de penta-grafeno, los bordes del mosaico que inciden en vértices de grado cuatro forman enlaces simples , mientras que los bordes restantes forman enlaces dobles . En su forma hidrogenada , pentagrafano, todos los enlaces son enlaces simples y los átomos de carbono en los vértices de grado tres de la estructura tienen un cuarto enlace que los conecta con los átomos de hidrógeno. [23]
El mosaico Cairo ha sido descrito como uno de los "patrones geométricos favoritos" de MC Escher . [7] Lo usó como base para su impresión Conchas y estrellas de mar (1941), en el segmento de abejas sobre flores de su Metamorfosis III (1967-1968), y en varios otros dibujos de 1967-1968. Una imagen de esta teselación también se ha utilizado como la portada de la primera edición de 1974 del libro Regular Complex Polytopes de HSM Coxeter . [4] [13]
Referencias
- ^ O'Keeffe, M .; Hyde, BG (1980), "Redes planas en química cristalina", Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A, Ciencias Físicas y Matemáticas , 295 (1417): 553–618, doi : 10.1098 / rsta.1980.0150 , JSTOR 36648.
- ^ Macmahon, Major PA (1921), Nuevos pasatiempos matemáticos , University Press, p. 101
- ^ Conway, John H .; Burgiel, Heidi; Goodman-Strass, Chaim (2008), Las simetrías de las cosas , AK Peters, p. 288, ISBN 978-1-56881-220-5
- ^ a b c d e f g Schattschneider, Doris (1978), "Tiling the plane with congruent pentgons" , Mathematics Magazine , 51 (1): 29–44, doi : 10.1080 / 0025570X.1978.11976672 , JSTOR 2689644 , MR 0493766
- ^ Rao, Michaël (2017), Búsqueda exhaustiva de pentágonos convexos que embaldosan el plano (PDF) , arXiv : 1708.00274
- ^ Reinhardt, Karl (1918), Über die Zerlegung der Ebene in Polygone (tesis doctoral) (en alemán), Borna-Leipzig: Druck von Robert Noske, "Vierter Typus", p. 78 y Figura 24, pág. 81
- ^ a b Schattschneider, Doris ; Walker, Wallace (1977), "Dodecaedro", MC Escher Kaleidocycles , Ballantine Books, p. 22; reimpreso por Taschen, 2015
- ^ Thomas, BG; Hann, MA (2008), "Modelado por proyección: Mosaico del dodecaedro y otros sólidos" , en Sarhangi, Reza; Séquin, Carlo H. (eds.), Bridges Leeuwarden: Matemáticas, Música, Arte, Arquitectura, Cultura , Londres: Publicaciones Tarquin, págs. 101–108, ISBN 9780966520194
- ^ a b c Macmillan, RH (diciembre de 1979), "Pirámides y aceras: algunos pensamientos de El Cairo", The Mathematical Gazette , 63 (426): 251-255, doi : 10.2307 / 3618038 , JSTOR 3618038
- ^ a b Rollett, AP (septiembre de 1955), "2530. A pentagonal tessellation", Mathematical Notes, The Mathematical Gazette , 39 (329): 209, doi : 10.2307 / 3608750 , JSTOR 3608750
- ^ a b Steurer, Walter; Dshemuchadse, Julia (2016), Intermetallics: Structures, Properties, and Statistics , Unión Internacional de Monografías de Cristalografía sobre Cristalografía, 26 , Oxford University Press, p. 42, ISBN 9780191023927
- ^ a b Chung, Ping Ngai; Fernández, Miguel A .; Li, Yifei; Mara, Michael; Morgan, Frank ; Plata, Isamar Rosa; Shah, Niralee; Vieira, Luis Sordo; Wikner, Elena (2012), "Mosaicos pentagonales isoperimétricos", Notices of the American Mathematical Society , 59 (5): 632–640, doi : 10.1090 / noti838 , MR 2954290
- ^ a b c d Bailey, David, "Cairo Tiling" , El mundo de teselaciones similares a Escher de David Bailey , consultado el 6 de diciembre de 2020.
- ^ Dunn, JA (diciembre de 1971), "Teselaciones con pentágonos", The Mathematical Gazette , 55 (394): 366–369, doi : 10.2307 / 3612359 , JSTOR 3612359. Aunque Dunn escribe que la forma equilátera del mosaico se utilizó en El Cairo, esto parece ser un error.
- ^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2010), Demostraciones encantadoras: un viaje hacia las matemáticas elegantes , Exposiciones matemáticas Dolciani, 42 , Asociación Matemática de América, p. 164, ISBN 978-0-88385-348-1.
- ^ Martin, George Edward (1982), Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry , Textos de pregrado en matemáticas , Springer, p. 119, ISBN 978-0-387-90636-2.
- ^ Morgan, Frank (2019), "Mi misión encubierta para encontrar tesoros de El Cairo", The Mathematical Intelligencer , 41 (3): 19-22, doi : 10.1007 / s00283-019-09906-7 , MR 3995312
- ^ Nisbet, Harry (1906), Gramática del diseño textil , Londres: Scott, Greenwood & Son, p. 101
- ^ Moore, HC (20 de julio de 1909), Tile (Patente de EE. UU. 928,320)
- ^ Haag, F. (1911), "Die regelmäßigen Planteilungen", Zeitschrift für Kristallographie, Kristallgeometrie, Kristallphysik, Kristallchemie , 49 : 360–369, hdl : 2027 / uc1.b3327994Véanse en particular las Figuras 2b, pág. 361 y 4a, pág. 363.
- ^ Banaru, AM; Banaru, GA (agosto de 2011), "Mosaico de El Cairo y topología de hidratos en capas", Boletín de química de la Universidad de Moscú , 66 (3), artículo 159, doi : 10.3103 / S0027131411030023
- ^ Ressouche, E .; Simonet, V .; Canals, B .; Gospodinov, M .; Skumryev, V. (diciembre de 2009), "Frustración magnética en una celosía pentagonal de El Cairo a base de hierro" , Physical Review Letters , 103 (26), doi : 10.1103 / physrevlett.103.267204
- ^ Zhang, Shunhong; Zhou, Jian; Wang, Qian; Chen, Xiaoshuang; Kawazoe, Yoshiyuki; Jena, Puru (febrero de 2015), "Penta-graphene: A new carbon allotrope", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 112 (8): 2372-2377, Bibcode : 2015PNAS..112.2372Z , doi : 10.1073 / pnas.1416591112 , PMC 4345574 , PMID 25646451
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. , "Cairo Tessellation" , MathWorld