En geometría , un mosaico pentagonal es un mosaico del plano donde cada pieza individual tiene la forma de un pentágono .
A regulares pentagonal embaldosado en el plano euclidiano es imposible porque el ángulo interno de un pentágono regular , 108 °, no es un divisor de 360 °, la medida del ángulo de toda una vez . Sin embargo, los pentágonos regulares pueden enlosar el plano hiperbólico y la esfera ; este último produce un mosaico topológicamente equivalente al dodecaedro . [1]
Azulejos pentagonales convexos monoédricos
Se conocen quince tipos de pentágonos convexos para enlosar el plano de forma monoédrica (es decir, con un tipo de mosaico). [2] El más reciente se descubrió en 2015. Rao (2017) ha demostrado que esta lista está completa (resultado sujeto a revisión por pares). Bagina (2011) mostró que solo hay ocho tipos convexos de borde a borde , resultado obtenido de forma independiente por Sugimoto (2012) .
Michaël Rao, de la École normale supérieure de Lyon, afirmó en mayo de 2017 haber encontrado la prueba de que, de hecho, no hay pentágonos convexos que alicaten más allá de estos 15 tipos. [3] Hasta el 11 de julio de 2017, la primera mitad de la prueba de Rao había sido verificada de forma independiente (código de computadora disponible [4] ) por Thomas Hales, profesor de matemáticas en la Universidad de Pittsburgh. [5] En diciembre de 2017, la prueba aún no había sido revisada por pares.
Cada familia de mosaicos enumerada contiene pentágonos que no pertenecen a ningún otro tipo; sin embargo, algunos pentágonos individuales pueden pertenecer a varios tipos. Además, algunos de los pentágonos en los tipos de mosaico conocidos también permiten patrones de mosaico alternativos más allá del mosaico estándar que presentan todos los miembros de su tipo.
Los lados de longitud a , b , c , d , e son directamente en el sentido de las agujas del reloj desde los ángulos en los vértices A , B , C , D , E respectivamente. (Por lo tanto, A , B , C , D , E son opuestos ad , e , a , b , c respectivamente).
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|
B + C = 180 ° A + D + E = 360 ° | c = mi B + D = 180 ° | a = segundo, d = c + e A = C = D = 120 ° | b = c, d = e B = D = 90 ° | a = segundo, d = e A = 60 °, D = 120 ° |
6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
a = d = e, b = c B + D = 180 °, 2B = E | b = c = d = e B + 2E = 2C + D = 360 ° | b = c = d = e 2B + C = D + 2E = 360 ° | b = c = d = e 2A + C = D + 2E = 360 ° | a = b = c + e A = 90 °, B + E = 180 ° B + 2C = 360 ° |
11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
2a + c = d = e A = 90 °, C + E = 180 ° 2B + C = 360 ° | 2a = d = c + e A = 90 °, C + E = 180 ° 2B + C = 360 ° | d = 2a = 2e B = E = 90 ° 2A + D = 360 ° | 2a = 2c = d = e A = 90 °, B ≈ 145,34 °, C ≈ 69,32 ° D ≈ 124,66 °, E ≈ 110,68 ° (2B + C = 360 °, C + E = 180 °) | a = c = e, b = 2a A = 150 °, B = 60 °, C = 135 ° D = 105 °, E = 90 ° |
Muchos de estos tipos de baldosas monoédricas tienen grados de libertad. Estas libertades incluyen variaciones de ángulos internos y longitudes de borde. En el límite, los bordes pueden tener longitudes que se acercan a cero o ángulos que se acercan a 180 °. Los tipos 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 13 permiten posibilidades paramétricas con prototipos no convexos.
Los mosaicos periódicos se caracterizan por su simetría de grupo de papel tapiz , por ejemplo, p2 (2222) se define por cuatro puntos de giro de 2 veces. Esta nomenclatura se utiliza en los diagramas siguientes, donde las baldosas también están coloreadas por sus posiciones k -isoédricas dentro de la simetría.
Una unidad primitiva es una sección del mosaico que genera todo el mosaico utilizando solo traducciones, y es lo más pequeña posible.
Reinhardt (1918)
Reinhardt (1918) encontró los primeros cinco tipos de teja pentagonal. Los cinco pueden crear mosaicos isoédricos , lo que significa que las simetrías del mosaico pueden llevar cualquier mosaico a cualquier otro mosaico (más formalmente, el grupo de automorfismo actúa transitivamente sobre los mosaicos).
B. Grünbaum y GC Shephard han demostrado que hay exactamente veinticuatro "tipos" distintos de teselados isoédricos del plano por pentágonos de acuerdo con su esquema de clasificación. [6] Todos usan baldosas de Reinhardt, generalmente con condiciones adicionales necesarias para el revestimiento. Hay dos mosaicos por todos los mosaicos de tipo 2, y uno por cada uno de los otros cuatro tipos. Quince de los otros dieciocho revestimientos son de casos especiales de azulejos tipo 1. Nueve de los veinticuatro mosaicos son de borde a borde. [7]
También existen tejas 2-isoédricas por casos especiales de tejas tipo 1, tipo 2 y tipo 4, y tejas 3-isoédricas, todas de borde a borde, por casos especiales de tejas tipo 1. No hay límite superior en k para los mosaicos k-isoédricos de ciertos mosaicos que son tanto de tipo 1 como de tipo 2, y por lo tanto tampoco en el número de mosaicos en una unidad primitiva.
Se proporciona la simetría del grupo de papel tapiz para cada mosaico, con notación orbifold entre paréntesis. Se proporciona un segundo grupo de simetría inferior si existe quiralidad de mosaico , donde las imágenes de espejo se consideran distintas. Estos se muestran como mosaicos amarillos y verdes en esos casos.
Tipo 1
Hay muchas topologías de ordenamiento en teselas que contienen pentágonos de tipo 1. A continuación se proporcionan cinco topologías de ejemplo.
p2 (2222) | cmm (2 * 22) | cm (* ×) | pmg (22 *) | pgg (22 ×) | p2 (2222) | cmm (2 * 22) |
---|---|---|---|---|---|---|
p1 (°) | p2 (2222) | p2 (2222) | ||||
Unidad primitiva de 2 baldosas | Unidad primitiva de 4 tejas | |||||
B + C = 180 ° A + D + E = 360 ° | a = c, d = e A + B = 180 ° C + D + E = 360 ° | a = c A + B = 180 ° C + D + E = 360 ° | a = e B + C = 180 ° A + D + E = 360 ° | d = c + e A = 90 °, 2B + C = 360 ° C + D = 180 °, B + E = 270 ° |
Tipo 2
Estos ejemplos de tipo 2 son isoédricos. El segundo es una variación de borde a borde. Ambos tienen simetría pgg (22 ×). Si los mosaicos de protile de imagen especular (amarillo y verde) se consideran distintos, la simetría es p2 (2222).
pgg (22 ×) | |
---|---|
p2 (2222) | |
Unidad primitiva de 4 tejas | |
c = mi B + D = 180 ° | c = e, d = b B + D = 180 ° |
Tipos 3, 4 y 5
Tipo 3 | Tipo 4 | Tipo 5 | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
p3 (333) | p31m (3 * 3) | p4 (442) | p4g (4 * 2) | p6 (632) | ||
Unidad primitiva de 3 baldosas | Unidad primitiva de 4 tejas | Unidad primitiva de 6 baldosas | Unidad primitiva de 18 baldosas | |||
a = segundo, d = c + e A = C = D = 120 ° | b = c, d = e B = D = 90 ° | a = segundo, d = e A = 60 °, D = 120 ° | a = b = c, d = e A = 60 °, B = 120 °, C = 90 ° D = 120 °, E = 150 ° |
Kershner (1968) Tipos 6, 7, 8
Kershner (1968) encontró tres tipos más de baldosas pentagonales, lo que eleva el total a ocho. Afirmó incorrectamente que esta era la lista completa de pentágonos que pueden enlosar el avión.
Estos ejemplos son 2-isoédricos y de borde a borde. Los tipos 7 y 8 tienen pares de fichas quirales, que están coloreadas como pares en amarillo-verde y el otro en dos tonos de azul. La simetría pgg se reduce a p2 cuando los pares quirales se consideran distintos.
Tipo 6 | Tipo 6 (también tipo 5) | Tipo 7 | Tipo 8 | |
---|---|---|---|---|
p2 (2222) | pgg (22 ×) | pgg (22 ×) | ||
p2 (2222) | p2 (2222) | |||
a = d = e, b = c B + D = 180 °, 2B = E | a = d = e, b = c, B = 60 ° A = C = D = E = 120 ° | b = c = d = e B + 2E = 2C + D = 360 ° | b = c = d = e 2B + C = D + 2E = 360 ° | |
Unidad primitiva de 4 tejas | Unidad primitiva de 4 tejas | Unidad primitiva de 8 baldosas | Unidad primitiva de 8 baldosas |
James (1975) Tipo 10
En 1975, Richard E. James III encontró un noveno tipo, después de leer acerca de los resultados de Kershner en la columna " Mathematical Games " de Martin Gardner en la revista Scientific American de julio de 1975 (reimpresa en Gardner (1988) ). [8] Está indexado como tipo 10. El mosaico es 3-isoédrico y no de borde a borde.
p2 (2222) | cmm (2 * 22) |
---|---|
a = b = c + e A = 90, B + E = 180 ° B + 2C = 360 ° | a = b = 2c = 2e A = B = E = 90 ° C = D = 135 ° |
Unidad primitiva de 6 baldosas |
Arroz (1977) Tipos 9,11,12,13
Marjorie Rice , una matemática aficionada, descubrió cuatro nuevos tipos de pentágonos teselados en 1976 y 1977. [7] [9]
Los cuatro mosaicos son 2-isoédricos. Los pares de mosaicos quirales están coloreados en amarillo y verde para un conjunto isoédrico y dos tonos de azul para el otro conjunto. La simetría pgg se reduce a p2 cuando los pares quirales se consideran distintos.
El mosaico de los mosaicos de tipo 9 es de borde a borde, pero los demás no lo son.
Cada unidad primitiva contiene ocho fichas.
Tipo 9 | Tipo 11 | Tipo 12 | Tipo 13 |
---|---|---|---|
pgg (22 ×) | |||
p2 (2222) | |||
b = c = d = e 2A + C = D + 2E = 360 ° | 2a + c = d = e A = 90 °, 2B + C = 360 ° C + E = 180 ° | 2a = d = c + e A = 90 °, 2B + C = 360 ° C + E = 180 ° | d = 2a = 2e B = E = 90 °, 2A + D = 360 ° |
Unidad primitiva de 8 baldosas | Unidad primitiva de 8 baldosas | Unidad primitiva de 8 baldosas | Unidad primitiva de 8 baldosas |
Stein (1985) Tipo 14
En 1985, Rolf Stein encontró un decimocuarto tipo de pentágono convexo [10].
El mosaico es 3-isoédrico y sin borde a borde. Tiene baldosas completamente determinadas, sin grados de libertad. Las proporciones exactas están especificadas pory ángulo B obtuso con. Se pueden deducir fácilmente otras relaciones.
Las unidades primitivas contienen seis fichas respectivamente. Tiene simetría p2 (2222).
2a = 2c = d = e A = 90 °, B≈145,34 °, C≈69,32 °, D≈124,66 °, E≈110,68 ° (2B + C = 360 °, C + E = 180 °). | Unidad primitiva de 6 baldosas |
Mann / McLoud / Von Derau (2015) Tipo 15
Los matemáticos de la Universidad de Washington Bothell Casey Mann , Jennifer McLoud-Mann y David Von Derau descubrieron un pentágono convexo de mosaico monoédrico número 15 en 2015 utilizando un algoritmo informático . [11] [12] Es 3-isoédrico y sin borde a borde, dibujado con 6 colores, 2 tonos de 3 colores, que representan pares quirales de las tres posiciones isoédricas. La simetría pgg se reduce a p2 cuando los pares quirales se consideran distintos. Tiene baldosas completamente determinadas, sin grados de libertad. Las unidades primitivas contienen doce fichas respectivamente. Tiene simetría pgg (22 ×) y p2 (2222) si los pares quirales se consideran distintos.
En julio de 2017, Michaël Rao completó una prueba asistida por computadora que muestra que no hay otros tipos de pentágonos convexos que puedan enlosar el plano. La lista completa de polígonos convexos que pueden enlosar el plano incluye los 15 pentágonos anteriores, tres tipos de hexágonos y todos los cuadriláteros y triángulos. [5] Una consecuencia de esta prueba es que no existe ningún polígono convexo que cubra el plano sólo de forma aperiódica, ya que todos los tipos anteriores permiten un mosaico periódico.
(Imagen más grande) | a = c = e, b = 2a, d = a+√ 2/√ 3 -1 A = 150 °, B = 60 °, C = 135 ° D = 105 °, E = 90 ° | Unidad primitiva de 12 tejas |
Mosaicos de pentágonos monoédricos no periódicos
También se pueden construir mosaicos pentagonales monoédricos no periódicos, como el ejemplo siguiente con simetría rotacional de 6 veces de Michael Hirschhorn. Los ángulos son A = 140 °, B = 60 °, C = 160 °, D = 80 °, E = 100 °. [13] [14]
En 2016, Bernhard Klaassen pudo demostrar que cada tipo de simetría rotacional discreta se puede representar mediante un mosaico pentagonal monoédrico de la misma clase de pentágonos. [15] A continuación se muestran ejemplos de simetría de 5 y 7 veces. Tales teselaciones son posibles para cualquier tipo de simetría rotacional n veces con n > 2.
Simetría rotacional de 5 veces en un mosaico pentagonal monoédrico | Mosaico pentagonal monoédrico de simetría rotacional de 6 pliegues de Hirschhorn | Simetría rotacional de 7 veces en un mosaico pentagonal monoédrico |
Azulejos uniformes dobles
Hay tres teselaciones pentagonales isoédricas generadas como duales de las teselaciones uniformes , aquellas con vértices de 5 valencia. Representan casos especiales de simetría superior de los 15 mosaicos monoédricos anteriores. Los mosaicos uniformes y sus dobles son todos de borde a borde. Estos revestimientos duales también se denominan revestimientos de Laves . La simetría de los mosaicos duales uniformes es la misma que la de los mosaicos uniformes. Debido a que los mosaicos uniformes son isogonales , los duales son isoédricos .
cmm (2 * 22) | p4g (4 * 2) | p6 (632) |
---|---|---|
Baldosas pentagonales prismáticas Instancia de tipo 1 [16] | Azulejos pentagonal de el Cairo Instancia de tipo 4 [16] [17] | Azulejo pentagonal Floret Instancia de los tipos 1, 5 y 6 [16] |
120 °, 120 °, 120 °, 90 °, 90 ° V3.3.3.4.4 | 120 °, 120 °, 90 °, 120 °, 90 ° V3.3.4.3.4 | 120 °, 120 °, 120 °, 120 °, 60 ° V3.3.3.3.6 |
Azulejos uniformes k duales
Los mosaicos k -uniformes con vértices de valencia-5 también tienen mosaicos duales pentagonales, que contienen los mismos pentágonos de tres formas que los duales semirregulares anteriores, pero contienen una mezcla de tipos pentagonales. Un k Uniform mosaico tiene una k -isohedral doble suelo de baldosas y están representados por diferentes colores y matices de colores abajo.
Por ejemplo, estos duales uniformes 2, 3, 4 y 5 son todos pentagonales: [18] [19]
2-isoédrico | 3-isoédrico | |||
---|---|---|---|---|
p4g (4 * 2) | pgg (22 ×) | p2 (2222) | p6 (* 632) | |
4-isoédrico | 5-isoédrico | |||
pgg (22 ×) | p2 (2222) | p6m (* 632) | ||
5-isoédrico | ||||
pgg (22 ×) | p2 (2222) | |||
Teselado pentagonal / hexagonal
Los pentágonos tienen una relación peculiar con los hexágonos. Como se muestra gráficamente a continuación, algunos tipos de hexágonos se pueden subdividir en pentágonos. Por ejemplo, un hexágono regular se biseca en dos pentágonos de tipo 1. La subdivisión de hexágonos convexos también es posible con tres (tipo 3), cuatro (tipo 4) y nueve (tipo 3) pentágonos.
Por extensión de esta relación, un plano puede ser teselado por una única forma de prototipo pentagonal en formas que generan superposiciones hexagonales. Por ejemplo:
Teselado plano mediante un único prototipo pentagonal (tipo 1) con superposiciones de hexágonos regulares (cada uno con 2 pentágonos). | Teselado plano mediante un único prototipo pentagonal (tipo 3) con superposiciones de hexágonos regulares (cada uno de los cuales comprende 3 pentágonos). | Teselado plano mediante un único prototipo pentagonal (tipo 4) con superposiciones de hexágonos semirregulares (cada uno con 4 pentágonos). | Teselado plano por un único prototipo pentagonal (tipo 3) con superposiciones de dos tamaños de hexágonos regulares (que comprenden 3 y 9 pentágonos respectivamente). |
Pentágonos no convexos
Con pentágonos que no requieren ser convexos , son posibles tipos adicionales de mosaico. Un ejemplo es el mosaico de esfinge , un mosaico aperiódico formado por un mosaico de representación pentagonal . [20] La esfinge también puede enlosar el plano periódicamente, colocando dos losetas de esfinge juntas para formar un paralelogramo y luego colocando en mosaico el plano mediante traslaciones de este paralelogramo, [20] un patrón que puede extenderse a cualquier pentágono no convexo que tenga dos ángulos consecutivos que suman 2 π , satisfaciendo así la (s) condición (es) del Tipo 1 convexo anterior.
Es posible dividir un triángulo equilátero en tres pentágonos no convexos congruentes, que se encuentran en el centro del triángulo, y enlosar el plano con la unidad de tres pentágonos resultante. [21] Se puede usar un método similar para subdividir cuadrados en cuatro pentágonos no convexos congruentes, o hexágonos regulares en seis pentágonos no convexos congruentes, y luego enlosar el plano con la unidad resultante.
Azulejos pentagonales regulares en geometría no euclidiana
Un dodecaedro puede considerarse un mosaico regular de 12 pentágonos en la superficie de una esfera , con el símbolo de Schläfli {5,3}, que tiene tres pentágonos alrededor de cada vértice.
En el plano hiperbólico , hay mosaicos de pentágonos regulares, por ejemplo, mosaicos pentagonales de orden 4 , {5,4}, que tienen cuatro pentágonos alrededor de cada vértice. Se pueden construir teselaciones regulares de orden superior {5, n} en el plano hiperbólico, terminando en {5, ∞}.
Esfera | Plano hiperbólico | |||||
---|---|---|---|---|---|---|
{5,3} | {5,4} | {5,5} | {5,6} | {5,7} | {5,8} | ... {5, ∞} |
Azulejos pentagonales de plano hiperbólico irregular
Hay un número infinito de teselaciones uniformes duales en el plano hiperbólico con caras pentagonales irregulares isogonales. Tienen configuraciones de caras como V3.3. pág . 3. q .
7-3 | 8-3 | 9-3 | ... | 5-4 | 6-4 | 7-4 | ... | 5-5 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
V3.3.3.3.7 | V3.3.3.3.8 | V3.3.3.3.9 | ... | V3.3.4.3.5 | V3.3.4.3.6 | V3.3.4.3.7 | ... | V3.3.5.3.5 |
El mosaico binario se puede convertir en un mosaico pentagonal si se reemplazan los bordes horocíclicos por segmentos de línea.
Referencias
- ^ Chung, Ping Ngai; Fernández, Miguel A .; Li, Yifei; Mara, Michael; Morgan, Frank; Plata, Isamar Rosa; Shah, Nirlee; Vieira, Luis Sordo; Wikner, Elena (1 de mayo de 2012). "Azulejos pentagonales isoperimétricos" . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 59 (05): 632. doi : 10.1090 / noti838 . ISSN 0002-9920 .
- ^ Grünbaum y Shephard 1987 , Sec. 9.3 Otros mosaicos monoédricos por polígonos convexos.
- ^ Rao 2017 .
- ^ "Código de Mathematica que verifica la clasificación Rao-convex-pentágono-mosaico" , GitHub
- ↑ a b Wolchover, 2017 .
- ^ Grünbaum y Shephard 1978 .
- ↑ a b Schattschneider, 1978 .
- ^ Revista Quanta de Pentágonos secretos de Marjorie Rice
- ^ Marjorie Rice, "Tessellations" , Intriguing Tessellations , consultado el 22 de agosto de 2015 a través de Google Sites.
- ^ Schattschneider 1985 .
- ^ Bellos 2015 .
- ^ Mann, McLoud-Mann y Von Derau 2018 .
- ^ Schattschneider 1978 , figura 12.
- ^ Hirschhorn y Hunt 1985 .
- ^ Klaassen, 2016 .
- ^ a b c Reinhardt 1918 , págs. 77-81 (precaución: hay al menos un error obvio en este documento, es decir, la suma de los ángulos γ + δ debe ser igual a π, no a 2π para los dos primeros tipos de mosaicos definidos en la página 77)
- ^ Cairo pentagonal embaldosado generada por un pentágono tipo 4 consulta y por un pentágono tipo 2 embaldosado consulta en wolframalpha.com (precaución: la definición de wolframio de tipo pentágono 2 suelo de baldosas no se corresponde con el tipo 2 definida por Reinhardt en 1918)
- ^ Chavey, 1989 .
- ^ Brian Galebach, "¡Bienvenido a mi colección de objetos de n-uniform!" , probabilidadsports.com
- ↑ a b Godrèche, 1989 .
- ^ Gerver 2003 .
Bibliografía
- Bagina, Olga (2004), "Mosaico del plano con pentágonos convexos equiláteros congruentes", Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 105 (2): 221-232, doi : 10.1016 / j.jcta.2003.11.002 , ISSN 1096- 0899 , MR 2046081
- Bagina, Olga (2011), Мозаики из выпуклых пятиугольников[Tilings of the plane with convex pentágonos], Vestnik (en ruso), 4 (48): 63–73, ISSN 2078-1768 , consultado el 29 de enero de 2013
- Bellos, Alex (11 de agosto de 2015), "El ataque al pentágono da como resultado el descubrimiento de un nuevo mosaico matemático" , The Guardian
- Chavey, D. (1989), "Tilings by Regular Polygons — II: A Catalog of Tilings" , Computers & Mathematics with Applications , 17 (1-3): 147-165, doi : 10.1016 / 0898-1221 (89) 90156 -9
- Gardner, Martin (1988), "Tiling with Convex Polygons", Viaje en el tiempo y otros desconciertos matemáticos , Nueva York: WH Freeman, Bibcode : 1988ttom.book ..... G , ISBN 978-0-7167-1925-0, MR 0905872
- Gerver, ML (2003), "Teoremas sobre teselaciones por polígonos", Sbornik: Mathematics , 194 (6): 879–895, Bibcode : 2003SbMat.194..879G , doi : 10.1070 / sm2003v194n06abeh000743
- Godrèche, C. (1989), "La esfinge: un mosaico periódico-límite del plano", Journal of Physics A: Mathematical and General , 22 (24): L1163 – L1166, Bibcode : 1989JPhA ... 22L1163G , doi : 10,1088 / 0305-4470 / 22/24/ 006 , MR 1030678
- Grünbaum, Branko ; Shephard, Geoffrey C. (1978), "Mosaicos isoédricos del plano por polígonos", Commentarii Mathematici Helvetici , 53 : 542–571, doi : 10.1007 / bf02566098 , ISSN 0010-2571
- Grünbaum, Branko ; Shephard, Geoffrey C. (1987), "Tilings by polygons", Tilings and Patterns , Nueva York: WH Freeman and Company, ISBN 978-0-7167-1193-3, MR 0857454
- Hirschhorn, MD; Hunt, DC (1985), "Pentágonos convexos equiláteros que embaldosan el plano" (PDF) , Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 39 (1): 1–18, doi : 10.1016 / 0097-3165 (85) 90078-0 , ISSN 1096-0899 , MR 0787713 , consultado el 30 de octubre de 2020
- Kershner, Richard (1968), "On paving the plane", American Mathematical Monthly , 75 (8): 839–844, doi : 10.2307 / 2314332 , ISSN 0002-9890 , JSTOR 2314332 , MR 0236822
- Klaassen, Bernhard (2016), "Mosaicos rotacionalmente simétricos con pentágonos y hexágonos convexos", Elemente der Mathematik , 71 (4): 137-144, arXiv : 1509.06297 , doi : 10.4171 / em / 310 , ISSN 0013-6018
- Mann, Casey; McLoud-Mann, Jennifer; Von Derau, David (2018), "Pentágonos convexos que admiten-block de mosaicos transitivos ", Geometriae Dedicata , 194 (1): 141–167, arXiv : 1510.01186 , doi : 10.1007 / s10711-017-0270-9
- Rao, Michaël (2017), Búsqueda exhaustiva de pentágonos convexos que embaldosan el plano (PDF) , arXiv : 1708.00274
- Reinhardt, Karl (1918), Über die Zerlegung der Ebene en Polygone (disertación) (en alemán), Borna-Leipzig: Druck von Robert Noske
- Schattschneider, Doris (1978), "Tiling the plane with congruent pentágons" , Mathematics Magazine , 51 (1): 29–44, doi : 10.2307 / 2689644 , ISSN 0025-570X , JSTOR 2689644 , MR 0493766
- Schattschneider, Doris (1985), "A new pentágono tiler", Mathematics Magazine , 58 (5): 308, La portada tiene una imagen del nuevo mosaico.
- Sugimoto, Teruhisa; Ogawa, Tohru (2005), "Estudio sistemático de teselaciones pentagonales convexas. I. Caso de pentágonos convexos con cuatro bordes de igual longitud" , Forma , 20 : 1–18, MR 2240616
- Sugimoto, Teruhisa; Ogawa, Tohru (2009), "Estudio sistemático de teselaciones pentagonales convexas, II: teselaciones por pentágonos convexos con cuatro bordes de igual longitud" , Forma , 24 (3): 93-109, MR 2868775; Fe de erratas , Forma 25 (1): 49, 2010, MR2868824
- Sugimoto, Teruhisa (2012), "Pentágonos convexos para baldosas de borde a borde, I" , Forma , 27 (1): 93–103, MR 3030316
- Wolchover, Natalie (11 de julio de 2017), "La prueba de mosaico del Pentágono resuelve un problema matemático centenario" , Revista Quanta
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. , "Pentágono Tiling" , MathWorld
- Azulejos del Pentágono
- Los 14 pentágonos que embaldosan el avión
- 15 (monoédrico) Azulejos con teja pentagonal convexa con coloraciones k-isoédricas
- Código para mostrar el mosaico tipo 14o pentágono
- Código para mostrar el mosaico de tipo pentágono 15