En matemáticas, las singularidades canónicas aparecen como singularidades del modelo canónico de una variedad proyectiva , y las singularidades terminales son casos especiales que aparecen como singularidades de modelos mínimos . Fueron introducidos por Reid (1980) . Las singularidades terminales son importantes en el programa de modelo mínimo porque los modelos mínimos suaves no siempre existen y, por lo tanto, se deben permitir ciertas singularidades, a saber, las singularidades terminales.
Definición
Supongamos que Y es una variedad normal de tal manera que su clase canónica K Y es Q -Cartier, y dejar que f : X → Y sea una resolución de las singularidades de Y . Luego
donde la suma está sobre los divisores excepcionales irreducibles, y los a i son números racionales, llamados discrepancias .
Entonces las singularidades de Y se llaman:
- terminal si a i > 0 para todo i
- canónico si a i ≥ 0 para todo i
- log terminal si a i > −1 para todo i
- log canónico si a i ≥ −1 para todo i .
Propiedades
Las singularidades de una variedad proyectiva V son canónicas si la variedad es normal , alguna potencia del haz de líneas canónicas de la parte no singular de V se extiende a un haz de líneas en V , y V tiene la misma plurigenera que cualquier resolución de sus singularidades. . V tiene singularidades canónicas si y solo si es un modelo canónico relativo .
Las singularidades de una variedad proyectiva V son terminales si la variedad es normal , alguna potencia del paquete lineal canónico de la parte no singular de V se extiende a un paquete lineal en V , y V el retroceso de cualquier sección de V m desaparece a lo largo de cualquier componente de codimensión 1 del locus excepcional de una resolución de sus singularidades.
Clasificación en pequeñas dimensiones
Las singularidades terminales bidimensionales son suaves. Si una variedad tiene singularidades terminales, entonces sus puntos singulares tienen codimensión al menos 3, y en particular en las dimensiones 1 y 2 todas las singularidades terminales son suaves. En 3 dimensiones están aisladas y fueron clasificadas por Mori (1985) .
Las singularidades canónicas bidimensionales son las mismas que las singularidades du Val , y son analíticamente isomórficas a cocientes de C 2 por subgrupos finitos de SL 2 ( C ).
Las singularidades logarítmicas terminales bidimensionales son analíticamente isomórficas a cocientes de C 2 por subgrupos finitos de GL 2 ( C ).
Las singularidades canónicas logarítmicas bidimensionales han sido clasificadas por Kawamata (1988) .
Pares
De manera más general, se pueden definir estos conceptos para un par dónde es una combinación lineal formal de divisores primos con coeficientes racionales tales que es -Cartier. La pareja se llama
- terminal si Discrep
- canónico si discreto
- klt (terminal de registro de Kawamata) si es discreto y
- plt (terminal de registro puramente) si Discrep
- lc (log canónico) si Discrep.
Referencias
- Kollár, János (1989), "Modelos mínimos de triple algebraico: programa de Mori" , Astérisque (177): 303–326, ISSN 0303-1179 , MR 1040578
- Kawamata, Yujiro (1988), "Explosión crepante de singularidades canónicas tridimensionales y su aplicación a degeneraciones de superficies", Ann. de Matemáticas. , 2, 127 (1): 93–163, doi : 10.2307 / 1971417 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1971417 , MR 0924674
- Mori, Shigefumi (1985), "Sobre singularidades terminales tridimensionales" , Nagoya Mathematical Journal , 98 : 43–66, doi : 10.1017 / s0027763000021358 , ISSN 0027-7630 , MR 0792770
- Reid, Miles (1980), "Canonical 3-folds", Journées de Géometrie Algébrique d'Angers, Juillet 1979 / Algebraic Geometry, Angers, 1979 , Alphen aan den Rijn: Sijthoff & Noordhoff, págs. 273–310, MR 0605348
- Reid, Miles (1987), "Guía del joven para las singularidades canónicas", Geometría algebraica, Bowdoin, 1985 (Brunswick, Maine, 1985) , Proc. Simpos. Pure Math., 46 , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 345–414, MR 0927963