En mecánica de fluidos y matemáticas , una superficie capilar es una superficie que representa la interfaz entre dos fluidos diferentes . Como consecuencia de ser una superficie, una superficie capilar no tiene grosor en ligero contraste con la mayoría de las interfaces de fluidos reales.
Las superficies capilares son de interés en matemáticas porque los problemas involucrados son muy no lineales y tienen propiedades interesantes, como la dependencia discontinua de los datos de los límites en puntos aislados. [1] En particular, las superficies capilares estáticas con ausencia de gravedad tienen una curvatura media constante , de modo que una superficie mínima es un caso especial de superficie capilar estática.
También son de interés práctico para la gestión de fluidos en el espacio (u otros entornos libres de fuerzas corporales ), donde tanto el flujo como la configuración estática suelen estar dominados por efectos capilares.
La ecuación del equilibrio del estrés
La ecuación definitoria para una superficie capilar se llama ecuación de equilibrio de esfuerzos, [2] que se puede derivar considerando las fuerzas y los esfuerzos que actúan sobre un volumen pequeño que está limitado en parte por una superficie capilar. Para un fluido que se encuentra con otro fluido (el "otro" fluido marcado con barras) en una superficie, la ecuación dice
dónde es la unidad normal que apunta hacia el "otro" fluido (aquel cuyas cantidades están marcadas con barras),es el tensor de tensiones (nota que la de la izquierda es un tensor-vector de producto ),es la tensión superficial asociada con la interfaz, yes el gradiente de la superficie . Tenga en cuenta que la cantidades el doble de la curvatura media de la superficie.
En mecánica de fluidos , esta ecuación sirve como una condición de frontera para los flujos interfaciales, típicamente complementando las ecuaciones de Navier-Stokes . Describe la discontinuidad en la tensión que se equilibra con las fuerzas en la superficie. Como condición de contorno, es algo inusual porque introduce una nueva variable: la superficieque define la interfaz. No es demasiado sorprendente entonces que la ecuación de equilibrio de tensiones normalmente imponga sus propias condiciones de contorno.
Para un mejor uso, esta ecuación vectorial normalmente se convierte en 3 ecuaciones escalares mediante el producto escalar con la unidad normal y dos unidades tangentes seleccionadas:
Tenga en cuenta que los productos que carecen de puntos son productos tensoriales de tensores con vectores (que dan como resultado vectores similares a un producto matriz-vector), los que tienen puntos son productos escalares . La primera ecuación se llama ecuación de tensión normal o condición de límite de tensión normal. Las dos segundas ecuaciones se denominan ecuaciones de tensión tangencial .
El tensor de estrés
El tensor de tensión está relacionado con la velocidad y la presión. Su forma real dependerá del fluido específico que se esté tratando, para el caso común de flujo newtoniano incompresible, el tensor de tensión viene dado por
dónde es la presión en el fluido, es la velocidad, y es la viscosidad .
Interfaces estáticas
En ausencia de movimiento, los tensores de tensión producen solo presión hidrostática de modo que, independientemente del tipo de fluido o la compresibilidad. Considerando las ecuaciones normal y tangencial,
La primera ecuación establece que las fuerzas de curvatura están equilibradas por las fuerzas de presión. La segunda ecuación implica que no puede existir una interfaz estática en presencia de un gradiente de tensión superficial distinto de cero.
Si la gravedad es la única fuerza corporal presente, las ecuaciones de Navier-Stokes se simplifican significativamente:
Si las coordenadas se eligen de modo que la gravedad sea distinta de cero solo en el dirección, esta ecuación se degrada a una forma particularmente simple:
dónde es una constante de integración que representa alguna presión de referencia en . Sustituyendo esto en la ecuación de tensión normal se obtiene lo que se conoce como la ecuación de Young-Laplace :
dónde es la diferencia de presión (constante) a través de la interfaz, y es la diferencia de densidad . Tenga en cuenta que, dado que esta ecuación define una superficie, es el coordenada de la superficie capilar. Esta ecuación diferencial parcial no lineal , cuando se suministra con las condiciones de contorno correctas, definirá la interfaz estática.
La diferencia de presión anterior es una constante, pero su valor cambiará si el se cambia la coordenada. La solución lineal de la presión implica que, a menos que el término de gravedad esté ausente , siempre es posible definir la coordinar para que . No dimensionalizado , la ecuación de Young-Laplace generalmente se estudia en la forma [1]
donde (si la gravedad es negativa dirección) es positivo si el fluido más denso está "dentro" de la interfaz, negativo si está "fuera" y cero si no hay gravedad o si no hay diferencia de densidad entre los fluidos.
Esta ecuación no lineal tiene algunas propiedades ricas, especialmente en términos de existencia de soluciones únicas. Por ejemplo, la inexistencia de una solución a algún problema de valor límite implica que, físicamente, el problema no puede ser estático. Si existe una solución, normalmente existirá para valores muy específicos de, que es representativo del salto de presión a través de la interfaz. Esto es interesante porque no existe otra ecuación física para determinar la diferencia de presión. En un tubo capilar, por ejemplo, implementar la condición de límite del ángulo de contacto producirá una solución única para exactamente un valor de. Las soluciones a menudo no son únicas, esto implica que existen múltiples interfaces estáticas posibles; si bien todos pueden resolver el mismo problema de valor límite, la minimización de energía normalmente favorecerá a uno. Las diferentes soluciones se denominan configuraciones de la interfaz.
Consideración energética
Una propiedad profunda de las superficies capilares es la energía superficial impartida por la tensión superficial:
dónde es el área de la superficie que se está considerando y la energía total es la suma de todas las energías. Tenga en cuenta que cada interfaz imparte energía. Por ejemplo, si hay dos fluidos diferentes (digamos líquido y gas) dentro de un contenedor sólido con la gravedad y otros potenciales de energía ausentes, la energía del sistema es
donde los subíndices , , y indique respectivamente las interfaces líquido-gas, sólido-gas y sólido-líquido. Tenga en cuenta que la inclusión de la gravedad requeriría considerar el volumen encerrado por la superficie capilar y las paredes sólidas.
Por lo general, no se conocen los valores de tensión superficial entre las interfaces sólido-gas y sólido-líquido. Esto no plantea ningún problema; ya que solo los cambios en la energía son de interés principal. Si el área neta sólidaes una constante, y el ángulo de contacto es conocido, se puede demostrar que (nuevamente, para dos fluidos diferentes en un recipiente sólido)
así que eso
dónde es el ángulo de contacto y la delta mayúscula indica el cambio de una configuración a otra. Para obtener este resultado, es necesario sumar fuerzas (distribuidas) en la línea de contacto (donde se encuentran el sólido, el gas y el líquido) en una dirección tangente a la interfaz sólida y perpendicular a la línea de contacto:
donde la suma es cero debido al estado estático . Cuando las soluciones a la ecuación de Young-Laplace no son únicas, la solución más favorable físicamente es la de energía mínima, aunque los experimentos (especialmente la gravedad baja) muestran que las superficies metaestables pueden ser sorprendentemente persistentes y que la configuración más estable puede volverse metaestable. mediante sacudidas mecánicas sin demasiada dificultad. Por otro lado, una superficie metaestable a veces puede lograr espontáneamente una energía más baja sin ninguna entrada (aparentemente al menos) si se le da el tiempo suficiente.
Condiciones de borde
Las condiciones de contorno para el equilibrio de tensiones describen la superficie capilar en la línea de contacto : la línea donde un sólido se encuentra con la interfaz capilar; Además, las restricciones de volumen pueden servir como condiciones de contorno (una caída suspendida, por ejemplo, no tiene línea de contacto pero claramente debe admitir una solución única).
Para superficies estáticas, la condición de límite de la línea de contacto más común es la implementación del ángulo de contacto , que especifica el ángulo en el que uno de los fluidos se encuentra con la pared sólida. La condición del ángulo de contacto en la superficie. normalmente se escribe como:
dónde es el ángulo de contacto. Esta condición se impone en el límite (o límites) de la superficie. es la unidad exterior normal a la superficie sólida, y es una unidad normal a . Elección de depende del fluido para el que se especifica el ángulo de contacto.
Para interfaces dinámicas, la condición de límite mostrada arriba funciona bien si la velocidad de la línea de contacto es baja. Si la velocidad es alta, el ángulo de contacto cambiará ("ángulo de contacto dinámico"), y a partir de 2007 se desconoce la mecánica de la línea de contacto móvil (o incluso la validez del ángulo de contacto como parámetro) y se desconoce un área de investigación activa. [3]
Ver también
Referencias
- ↑ a b Robert Finn (1999). "Interfaces de superficie capilar" (PDF) . Sociedad Matemática Estadounidense . Cite journal requiere
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( ayuda ) - ^ Módulo de tensión superficial , por John WM Bush, en MIT OCW
- ^ EB Dussan V , Enrique Ramé y Stephen Garoff (2006). "Sobre la identificación de las condiciones de contorno adecuadas en una línea de contacto en movimiento: una investigación experimental". CJO. Cite journal requiere
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( ayuda )CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )