Formalismo tetrad
El formalismo de la tétrada es un enfoque de la relatividad general que generaliza la elección de la base para el conjunto tangente desde una base de coordenadas a la elección menos restrictiva de una base local, es decir, un conjunto definido localmente de cuatro [a] campos vectoriales linealmente independientes llamados tétrada o vierbein . [1] Es un caso especial de la idea más general de un formalismo vielbein , que se establece en la geometría (pseudo) riemanniana. Este artículo, tal como está escrito actualmente, hace mención frecuente de la relatividad general; sin embargo, casi todo lo que dice es igualmente aplicable a las variedades (pseudo) riemannianas en general, e incluso a las variedades de espín . La mayoría de las declaraciones se mantienen simplemente sustituyendo arbitrariamente por . En alemán, "vier" se traduce como "cuatro" y "viel" como "muchos".
La idea general es escribir el tensor métrico como el producto de dos vielbeins , uno a la izquierda y otro a la derecha. El efecto de los vielbeins es cambiar el sistema de coordenadas utilizado en la variedad tangente a uno que sea más simple o más adecuado para los cálculos. Con frecuencia ocurre que el sistema de coordenadas de vielbein es ortonormal, ya que generalmente es el más fácil de usar. La mayoría de los tensores se vuelven simples o incluso triviales en este sistema de coordenadas; así, la complejidad de la mayoría de las expresiones se revela como un artefacto de la elección de coordenadas, más que una propiedad innata o un efecto físico. Es decir, como formalismo , no altera las predicciones; es más bien una técnica de cálculo.
La ventaja del formalismo de la tétrada sobre el enfoque estándar basado en coordenadas de la relatividad general radica en la capacidad de elegir la base de la tétrada para reflejar aspectos físicos importantes del espacio-tiempo. La notación de índice abstracto denota tensores como si estuvieran representados por sus coeficientes con respecto a una tétrada local fija. En comparación con una notación libre completamente coordinada , que a menudo es conceptualmente más clara, permite una forma fácil y computacionalmente explícita de denotar contracciones.
La importancia del formalismo tetrádico aparece en la formulación de Einstein-Cartan de la relatividad general. El formalismo tetrádico de la teoría es más fundamental que su formulación métrica ya que no se puede convertir entre las formulaciones tetrádica y métrica de las acciones fermiónicas a pesar de que esto es posible para las acciones bosónicas. Esto se debe efectivamente a que los espinores de Weyl pueden definirse de forma muy natural en una variedad de Riemann [2] y su entorno natural conduce a la conexión de espín . Estos espinores toman forma en el sistema de coordenadas vielbein y no en el sistema de coordenadas múltiple.
El formalismo tetrádico privilegiado también aparece en la deconstrucción de las teorías de la gravedad de Kaluza-Klein de dimensiones superiores [3] y las teorías de la gravedad masiva , en las que la (s) extra-dimensión (es) es / son reemplazadas por una serie de N sitios de celosía de modo que la métrica de dimensión superior se reemplaza por un conjunto de métricas interactivas que dependen únicamente de los componentes 4D. [4] Los vielbeins aparecen comúnmente en otros entornos generales en física y matemáticas. Los vielbeins pueden entenderse como formas de soldadura .
En el formalismo de la tétrada, [5] se elige una base de tétrada: un conjunto de campos vectoriales independientes