En matemáticas , la categoría de espacios vectoriales topológicos es la categoría cuyos objetos son espacios vectoriales topológicos y cuyos morfismos son mapas lineales continuos entre ellos. Esta es una categoría porque la composición de dos mapas lineales continuos es nuevamente un mapa lineal continuo. La categoría suele denominarse TVect o TVS .
Al fijar un campo topológico K , también se puede considerar la subcategoría TVecto K de espacios vectoriales topológicos sobre K con mapas lineales K continuos como morfismos.
TVect es una categoría concreta
Como muchas categorías, la categoría TVect es una categoría concreta , lo que significa que sus objetos son conjuntos con estructura adicional (es decir, una estructura de espacio vectorial y una topología ) y sus morfismos son funciones que preservan esta estructura. Hay obvios functores olvidadizos en la categoría de espacios topológicos , la categoría de espacios vectoriales y la categoría de conjuntos .
TVect es una categoría topológica
La categoría es topológica, lo que significa en términos generales que se relaciona con su "categoría subyacente", la categoría de espacios vectoriales, de la misma manera que Top se relaciona con Set . Formalmente, para cada espacio de K -vector y cada familia de espacios topológicos de K -vectory K -mapas lineales existe una topología de espacio vectorial en para que se cumpla la siguiente propiedad:
Cuando sea es un mapa lineal K de un espacio de vector K topológico sostiene eso
- es continuo es continuo.
El espacio vectorial topológico se llama "objeto inicial" o "estructura inicial" con respecto a los datos dados.
Si se reemplaza "espacio vectorial" por "conjunto" y "mapa lineal" por "mapa", se obtiene una caracterización de las topologías iniciales habituales en Top . Esta es la razón por la que las categorías con esta propiedad se denominan "topológicas".
Existen numerosas consecuencias de esta propiedad. Por ejemplo:
- Existen objetos "discretos" e "indiscretos". Un espacio vectorial topológico es indiscreto si es la estructura inicial con respecto a la familia vacía. Un espacio vectorial topológico es discreto si es la estructura inicial con respecto a la familia de todos los mapas lineales posibles en todos los espacios vectoriales topológicos. (Esta familia es una clase adecuada, pero eso no importa: las estructuras iniciales con respecto a todas las clases existen si existen con respecto a todos los conjuntos)
- Existen estructuras finales (el análogo definido similar a las topologías finales). Pero hay una trampa: si bien la estructura inicial de la propiedad anterior es, de hecho, la topología inicial habitual en con respecto a , las estructuras finales no necesitan ser definitivas con respecto a mapas dados en el sentido de Top . Por ejemplo: Los objetos discretos (= final con respecto a la familia vacía) en no llevan la topología discreta.
- Dado que el siguiente diagrama de functors olvidadizos conmuta
- y el functor olvidadizo de to Set es adjunto a la derecha, el functor olvidadizo de to Top también está adjunto a la derecha (y los adjuntos izquierdos correspondientes encajan en un diagrama conmutativo analógico). Este adjunto izquierdo define "espacios vectoriales topológicos libres". Explícitamente se trata de espacios libres de vectores K equipados con una determinada topología inicial.
- Dado que [se necesita aclaración ] es (co) completo, es (co) completo también.
Ver también
- Categoría de grupos
- Categoría de espacios métricos
- Categoría de conjuntos
- Categoría de espacios topológicos
- Categoría de espacios topológicos con punto base
Referencias
- Lang, Serge (1972). Colectores diferenciales . Reading, Mass. – Londres – Don Mills, Ontario: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.