Un número octaédrico centrado o número octaédrico de Haüy es un número figurado que cuenta el número de puntos de una red de enteros tridimensionales que se encuentran dentro de un octaedro centrado en el origen. [1] Los mismos números son casos especiales de los números de Delannoy , que cuentan ciertas rutas de celosía bidimensionales. [2] Los números octaédricos de Haüy llevan el nombre de René Just Haüy .
Lleva el nombre de | René Just Haüy |
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Año de publicación | 1801 |
Total no. de términos | infinito |
Subsecuencia de | Números poliédricos , números de Delannoy |
Fórmula | |
Primeros términos | 1 , 7 , 25 , 63 , 129 , 231 , 377 |
Índice OEIS |
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Historia
El nombre "número octaédrico de Haüy" proviene del trabajo de René Just Haüy , un mineralogista francés activo a finales del siglo XVIII y principios del XIX. Su "construcción Haüy" se aproxima a un octaedro como un policubo , formado por la acumulación de capas concéntricas de cubos en un cubo central. Los números octaédricos centrados cuentan el número de cubos usados por esta construcción. [3] Haüy propuso esta construcción, y varias construcciones relacionadas de otros poliedros, como modelo para la estructura de minerales cristalinos . [4] [5]
Fórmula
El número de puntos de celosía tridimensionales dentro de n pasos del origen viene dado por la fórmula
Los primeros números (para n = 0, 1, 2, ...) son
- 1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159, ... [6]
La función generadora de los números octaédricos centrados es [6] [7]
Los números octaédricos centrados obedecen a la relación de recurrencia [1]
También se pueden calcular como sumas de pares de números octaédricos consecutivos .
Interpretaciones alternativas
El octaedro en la celosía de enteros tridimensionales, cuyo número de puntos de celosía se cuenta por el número octaédrico centrado, es una bola métrica para la geometría de taxi tridimensional , una geometría en la que la distancia se mide por la suma de las distancias de coordenadas en lugar de por distancia euclidiana . Por esta razón, Luther & Mertens (2011) llaman a los números octaédricos centrados "el volumen de la bola de cristal". [7]
Los mismos números pueden verse como números figurados de una manera diferente, como los números figurados centrados generados por una pirámide pentagonal . Es decir, si uno forma una secuencia de conchas concéntricas en tres dimensiones, donde la primera concha consiste en un solo punto, la segunda concha consiste en los seis vértices de una pirámide pentagonal, y cada capa sucesiva forma una pirámide pentagonal más grande con una triangular. número de puntos en cada cara triangular y un número pentagonal de puntos en la cara pentagonal, entonces el número total de puntos en esta configuración es un número octaédrico centrado. [1]
Los números octaédricos centrados son también los números de Delannoy de la forma D (3, n ). En cuanto a los números de Delannoy de manera más general, estos números cuentan el número de caminos desde la esquina suroeste de una cuadrícula de 3 × n hasta la esquina noreste, usando pasos que van una unidad hacia el este, norte o noreste. [2]
Referencias
- ^ a b c Deza, Elena; Deza, Michel (2012), Números figurados , World Scientific, págs. 107-109, 132, ISBN 9789814355483.
- ^ a b Sulanke, Robert A. (2003), "Objetos contados por los números centrales de Delannoy" (PDF) , Journal of Integer Sequences , 6 (1), Artículo 03.1.5, MR 1971435 , archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo , 2016 , consultado el 8 de septiembre de 2014.
- ^ Fathauer, Robert W. (2013), "Arreglos iterativos de poliedros - Relaciones con fractales clásicos y construcciones Haüy", Proceedings of Bridges 2013: Matemáticas, Música, Arte, Arquitectura, Cultura (PDF)
- ^ Maitte, Bernard (2013), "La construcción de la teoría de grupos en cristalografía", en Barbin, Evelyne; Pisano, Raffaele (eds.), The Diallectic Relation Between Physics and Mathematics in the XIXth Century , History of Mechanism and Machine Science, 16 , Springer, pp. 1-30, doi : 10.1007 / 978-94-007-5380-8_1 , ISBN 9789400753808. Ver en particular la p. 10 .
- ^ Haüy, René-Just (1784), Essai d'une théorie sur la structure des crystaux (en francés). Véanse en particular las págs. 13-14 . Citado porWeisstein, Eric W. "Haűy [sic] Construction" . MathWorld .
- ^ a b Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A001845 (Números octaédricos centrados (secuencia de bola de cristal para celosía cúbica))" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- ^ a b Lutero, Sebastián; Mertens, Stephan (2011), "Contando animales de celosía en grandes dimensiones" , Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment , 2011 (9): P09026, arXiv : 1106.1078 , Bibcode : 2011JSMTE..09..026L , doi : 10.1088 / 1742-5468 / 2011/09 / P09026