En matemáticas , el teorema de Chevalley-Shephard-Todd en la teoría invariante de grupos finitos establece que el anillo de invariantes de un grupo finito que actúa sobre un espacio vectorial complejo es un anillo polinomial si y sólo si el grupo es generado por pseudorreflexiones . En el caso de los subgrupos del grupo lineal general complejo, el teorema fue probado por primera vez por GC Shephard y JA Todd ( 1954 ), quienes dieron una prueba caso por caso. Claude Chevalley ( 1955 ) poco después dio una prueba uniforme. Se ha extendido a grupos lineales finitos sobre un campo arbitrario en el caso no modular porJean-Pierre Serre .
Declaración del teorema
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo K y sea G un subgrupo finito del grupo lineal general GL ( V ). Un elemento s de GL ( V ) se llama un pseudoreflection si se soluciona un subespacio codimensión 1 de V y no es la transformación de identidad I , o de manera equivalente, si el kernel Ker ( s - I ) tiene codimensión uno en V . Suponga que el orden de G es relativamente primo para la característica de K (el llamado caso no modular). Entonces las siguientes propiedades son equivalentes: [1]
- (A) El grupo G se genera por pseudorreflexiones.
- (B) El álgebra de invariantes K [ V ] G es un álgebra polinomial (libre) .
- (B ′) El álgebra de invariantes K [ V ] G es un anillo regular .
- (C) El álgebra K [ V ] es un módulo libre sobre K [ V ] G .
- (C ') El álgebra K [ V ] es un módulo proyectivo sobre K [ V ] G .
En el caso de que el campo K sea el campo C de números complejos , la primera condición generalmente se establece como " G es un grupo de reflexión complejo ". Shephard y Todd obtuvieron una clasificación completa de tales grupos.
Ejemplos de
- Sea V unidimensional. Entonces, cualquier grupo finito que actúe fielmente sobre V es un subgrupo del grupo multiplicativo del campo K y, por tanto, un grupo cíclico . De ello se deduce que G consta de raíces de unidad de orden que dividen n , donde n es su orden, por lo que G se genera mediante pseudorreflexiones. En este caso, K [ V ] = K [ x ] es el anillo polinomial en una variable y el álgebra de invariantes de G es la subálgebra generada por x n , por lo tanto, es un álgebra polinomial.
- Sea V = K n el espacio vectorial estándar n- dimensional y G el grupo simétrico S n que actúa mediante permutaciones de los elementos de la base estándar. El grupo simétrico es generado por transposiciones ( ij ), que actúan por reflexiones sobre V . Por otro lado, por el teorema principal de funciones simétricas , el álgebra de invariantes es el álgebra polinomial generada por las funciones simétricas elementales e 1 , ... e n .
- Deje que V = K 2 y G ser el grupo cíclico de orden 2 que actúa en ± I . En este caso, G no se genera por pseudorreflexiones, ya que el elemento de no identidad s de G actúa sin puntos fijos, por lo que dim Ker ( s - I ) = 0. Por otro lado, el álgebra de invariantes es la subálgebra de K [ V ] = K [ x , y ] generado por los elementos homogéneos x 2 , xy e y 2 de grado 2. Esta subálgebra no es un álgebra polinomial debido a la relación x 2 y 2 = ( xy ) 2 .
Generalizaciones
Broer (2007) dio una extensión del teorema de Chevalley-Shephard-Todd a la característica positiva.
Se ha trabajado mucho sobre la cuestión de cuándo un grupo algebraico reductivo que actúa sobre un espacio vectorial tiene un anillo polinomial de invariantes. En el caso en que el grupo algebraico es simple, todos los casos en los que el anillo invariante es polinomio han sido clasificados por Schwarz (1978)
En general, el anillo de invariantes de un grupo finito que actúa linealmente en un espacio vectorial complejo es Cohen-Macaulay , por lo que es un módulo libre de rango finito sobre un subanillo polinomial.
Notas
Referencias
- Bourbaki, Nicolas, Éléments de mathématiques: Groupes et algèbres de Lie (Traducción en inglés: Bourbaki, Nicolas, Elementos de las matemáticas: grupos de mentira y álgebras de mentira)
- Broer, Abraham (2007), Sobre el teorema de Chevalley-Shephard-Todd en característica positiva , [], arXiv : 0709.0715 , Bibcode : 2007arXiv0709.0715B
- Chevalley, Claude (1955), "Invariantes de grupos finitos generados por reflejos", Amer. J. Math. , 77 (4): 778–782, doi : 10.2307 / 2372597 , JSTOR 2372597 , S2CID 14952813
- Neusel, Mara D .; Smith, Larry (2002), Teoría invariable de grupos finitos , Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 978-0-8218-2916-5
- Shephard, GC; Todd, JA (1954), "Grupos de reflexión unitarios finitos", Can. J. Math. , 6 : 274–304, doi : 10.4153 / CJM-1954-028-3
- Schwarz, G. (1978), "Representaciones de grupos de Lie simples con anillos regulares de invariantes", Invent. Matemáticas. , 49 (2): 167-191, Bibcode : 1978InMat..49..167S , doi : 10.1007 / BF01403085
- Smith, Larry (1997), "Polinomios invariantes de grupos finitos. Un estudio de los desarrollos recientes" , Bull. Amer. Matemáticas. Soc. , 34 (3): 211–250, doi : 10.1090 / S0273-0979-97-00724-6 , MR 1433171
- Springer, TA (1977), Teoría invariable , Springer, ISBN 978-0-387-08242-4