En matemáticas , una función de identidad , también llamada relación de identidad o mapa de identidad o transformación de identidad , es una función que siempre devuelve el mismo valor que se utilizó como argumento. Es decir, para que f sea identidad, la igualdad f ( x ) = x se cumple para todo x .
Definición
Formalmente, si M es un conjunto , la función de identidad f en M se define como aquella función con dominio y codominio M que satisface
- f ( x ) = x para todos los elementos x en M . [1]
En otras palabras, el valor de la función f ( x ) en M (es decir, el codominio) es siempre el mismo elemento de entrada x de M (ahora considerado como el dominio). La función de identidad en M es claramente una función inyectiva , así como una función sobreyectiva , por lo que también es biyectiva . [2]
La función identidad f en M a menudo se denota por ID M .
En la teoría de conjuntos , donde una función se define como un tipo particular de relación binaria , la función identidad está dada por la relación de identidad , o diagonal de M . [3]
Propiedades algebraicas
Si f : M → N es cualquier función, entonces tenemos f ∘ id M = f = id N ∘ f (donde "∘" denota la composición de la función ). En particular, ID M es el elemento de identidad de la monoid de todas las funciones de M a M .
Dado que el elemento de identidad de un monoide es único , [4] se puede definir alternativamente la función de identidad en M para que sea este elemento de identidad. Tal definición se generaliza al concepto de un morfismo de identidad en la teoría de categorías , donde los endomorfismos de M no necesitan ser funciones.
Propiedades
- La función de identidad es un operador lineal , cuando se aplica a espacios vectoriales . [5]
- La función de identidad en los enteros positivos es una función completamente multiplicativa (esencialmente multiplicación por 1), considerada en la teoría de números . [6]
- En un espacio vectorial n- dimensional , la función identidad está representada por la matriz identidad I n , independientemente de la base . [7]
- En un espacio métrico, la identidad es trivialmente una isometría . Un objeto sin ninguna simetría tiene como grupo de simetría el grupo trivial que solo contiene esta isometría (tipo de simetría C 1 ). [8]
- En un espacio topológico , la función de identidad es siempre continua. [9]
- La función de identidad es idempotente . [10]
Ver también
Referencias
- ^ Knapp, Anthony W. (2006), Álgebra básica , Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
- ^ Mapa, Sadhan Kumar (7 de abril de 2014). Álgebra superior abstracta y lineal (11ª ed.). Casa del Libro Sarat. pag. 36. ISBN 978-93-80663-24-1.
- ^ Actas de simposios en matemáticas puras . Sociedad Matemática Estadounidense. 1974. p. 92. ISBN 978-0-8218-1425-3.
... entonces el conjunto diagonal determinado por M es la relación de identidad ...
- ^ Rosales, JC; García-Sánchez, PA (1999). Monoides conmutativos finamente generados . Editores Nova. pag. 1. ISBN 978-1-56072-670-8.
El elemento 0 se suele denominar elemento de identidad y, si existe, es único.
- ^ Anton, Howard (2005), Álgebra lineal elemental (versión de aplicaciones) (9a ed.), Wiley International
- ^ D. Marshall; E. Odell; M. Starbird (2007). Teoría de números a través de la investigación . Libros de texto de la Asociación Matemática de América. Asociación Matemática de Amer. ISBN 978-0883857519.
- ^ TS Shores (2007). Álgebra lineal aplicada y análisis matricial . Textos de Licenciatura en Matemáticas. Saltador. ISBN 978-038-733-195-9.
- ^ James W. Anderson , Geometría hiperbólica , Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9
- ^ Conover, Robert A. (21 de mayo de 2014). Un primer curso de topología: una introducción al pensamiento matemático . Corporación de mensajería. pag. 65. ISBN 978-0-486-78001-6.
- ^ Conferencias, Verano de Ingeniería de la Universidad de Michigan (1968). Fundamentos de la Ingeniería de Sistemas de Información .
vemos que un elemento de identidad de un semigrupo es idempotente.