Esta es una lista de algunas de las teorías de homología y cohomología ordinarias y generalizadas (o extraordinarias) en topología algebraica que se definen en las categorías de espectros o complejos de CW . Para otros tipos de teorías de homología, consulte los enlaces al final de este artículo.
Notación
- S = π = S 0 es el espectro de esferas.
- S n es el espectro de la esfera n- dimensional
- S n Y = S n ∧ Y es el n º suspensión de un espectro Y .
- [ X , Y ] es el grupo abeliano de morfismos del espectro X al espectro Y , dado (aproximadamente) como clases de mapas de homotopía.
- [ X , Y ] n = [ S n X , Y ]
- [ X , Y ] * es el grupo abeliano graduado dado como la suma de los grupos [ X , Y ] n .
- π n ( X ) = [ S n , X ] = [ S , X ] n es el n -ésimo grupo homotopy estable de X .
- π * ( X ) es la suma de los grupos π n ( X ), y se denomina anillo de coeficientes de X cuando X es un espectro de anillos.
- X ∧ Y es el producto de rotura de dos espectros.
Si X es un espectro, entonces define las teorías de homología y cohomología generalizadas en la categoría de espectros de la siguiente manera.
- X n ( Y ) = [ S , X ∧ Y ] n = [ S n , X ∧ Y ] es la homología generalizada de Y ,
- X n ( Y ) = [ Y , X ] - n = [ S - n Y , X ] es la cohomología generalizada de Y
Teorías de homología ordinaria
Estas son las teorías que satisfacen el "axioma de dimensión" de los axiomas de Eilenberg-Steenrod de que la homología de un punto desaparece en una dimensión distinta de 0. Están determinadas por un grupo de coeficientes abelianos G , y se denotan por H ( X , G ) (donde A veces se omite G , especialmente si es Z ). Por lo general, G son los números enteros, los racionales, los reales, los números complejos o los números enteros mod un primo p .
Los functores de cohomología de las teorías de cohomología ordinarias están representados por espacios de Eilenberg-MacLane .
En los complejos simpliciales, estas teorías coinciden con la homología y cohomología singulares .
Homología y cohomología con coeficientes enteros.
Espectro: H ( espectro de Eilenberg-MacLane de los enteros).
Anillo de coeficiente: π n (H) = Z si n = 0, 0 en caso contrario.
La teoría de la homología original.
Homología y cohomología con coeficientes racionales (o reales o complejos).
Espectro: HQ (espectro de Eilenberg-Mac Lane de los racionales).
Anillo de coeficiente: π n (HQ) = Q si n = 0, 0 en caso contrario.
Éstas son las más fáciles de todas las teorías de homología. Los grupos de homología HQ n ( X ) a menudo se indican con H n ( X , Q ). Los grupos de homología H ( X , Q ), H ( X , R ), H ( X , C ) con coeficientes racionales , reales y complejos son todos similares y se utilizan principalmente cuando la torsión no es de interés (o demasiado complicada para elaborar). La descomposición de Hodge escribe la cohomología compleja de una variedad proyectiva compleja como una suma de grupos de cohomología de gavilla .
Homología y cohomología con coeficientes mod p .
Espectro: HZ p (espectro de Eilenberg-Maclane del mod de enteros p .)
Anillo de coeficiente: π n (HZ p ) = Z p (Enteros mod p ) si n = 0, 0 en caso contrario.
K-teorías
Las teorías K más simples de un espacio a menudo se relacionan con paquetes de vectores sobre el espacio, y diferentes tipos de teorías K corresponden a diferentes estructuras que se pueden poner en un paquete de vectores.
Teoría K real
Espectro: KO
Anillo de coeficientes: Los grupos de coeficientes π i (KO) tienen un período 8 en i , dado por la secuencia Z , Z 2 , Z 2 , 0, Z , 0, 0, 0, repetida. Como anillo, es generado por una clase η en el grado 1, una clase x 4 en el grado 4 y una clase invertible v 1 4 en el grado 8, sujeto a las relaciones que 2 η = η 3 = ηx 4 = 0, y x 4 2 = 4 v 1 4 .
KO 0 ( X ) es el anillo de clases de equivalencia estables de paquetes del vector reales sobre X . La periodicidad de Bott implica que los grupos K tienen un período 8.
Teoría K compleja
Espectro: KU (términos pares BU o Z × BU, términos impares U ).
Anillo de coeficiente: El anillo de coeficiente K * (punto) es el anillo de polinomios de Laurent en un generador de grado 2.
K 0 ( X ) es el anillo de clases de equivalencia estables de paquetes del vector complejos más de X . La periodicidad de Bott implica que los grupos K tienen un período 2.
Teoría K cuaterniónica
Espectro: KSp
Anillo de coeficientes: Los grupos de coeficientes π i (KSp) tienen un período 8 en i , dado por la secuencia Z , 0, 0, 0, Z , Z 2 , Z 2 , 0, repetida.
KSP 0 ( X ) es el anillo de clases de equivalencia estables de paquetes del vector cuaterniónicos más de X . La periodicidad de Bott implica que los grupos K tienen un período 8.
Teoría K con coeficientes
Espectro: KG
G es un grupo abeliano; por ejemplo, la localización Z ( p ) en el primer p . A otras teorías K también se les pueden dar coeficientes.
Teoría K auto conjugada
Espectro: KSC
Anillo de coeficiente: por escribir ...
Los grupos de coeficientes (KSC) tienen el período 4 en i , dado por la secuencia Z , Z 2 , 0, Z , repetida. Presentado por Donald W. Anderson en su inédito 1964 University of California, Berkeley Ph.D. disertación, "Una nueva teoría de la cohomología".
Teorías K conectivas
Espectro: ku para la teoría K conectiva, ko para la teoría K conectiva real.
Anillo de coeficiente: Para ku, el anillo de coeficiente es el anillo de polinomios sobre Z en una sola clase v 1 en dimensión 2. Para ko, el anillo de coeficiente es el cociente de un anillo polinomial en tres generadores, η en dimensión 1, x 4 en la dimensión 4, y v 1 4 en la dimensión 8, el generador de periodicidad, módulo las relaciones que 2 η = 0, x 4 2 = 4 v 1 4 , η 3 = 0 y ηx = 0.
En términos generales, esta es la teoría K con las partes dimensionales negativas eliminadas.
Teoría de KR
Esta es una teoría de cohomología definida para espacios con involución, de la cual se pueden derivar muchas de las otras teorías K.
Teorías del bordismo y el cobordismo
Cobordism estudia variedades , donde una variedad se considera "trivial" si es el límite de otra variedad compacta. Las clases de variedades de cobordismo forman un anillo que suele ser el anillo de coeficientes de alguna teoría de cohomología generalizada. Hay muchas teorías de este tipo, que corresponden aproximadamente a las diferentes estructuras que se pueden colocar en una variedad.
Los functores de las teorías del cobordismo a menudo están representados por espacios de Thom de ciertos grupos.
Homotopía estable y cohomotopy
Espectro: S ( espectro de esfera ).
Anillo Coeficiente: Los grupos de coeficientes pi n ( S ) son los grupos de homotopía estable de esferas , que son notoriamente difíciles de calcular o entender para n > 0. (Para n <0 se desvanecen, y para n = 0 el grupo es Z . )
La homotopía estable está estrechamente relacionada con el cobordismo de las variedades enmarcadas (variedades con una trivialización del paquete normal).
Cobordismo desorientado
Espectro: MO ( espectro de Thom del grupo ortogonal )
Anillo de coeficiente: π * (MO) es el anillo de clases de cobordismo de variedades no orientadas, y es un anillo polinomial sobre el campo con 2 elementos en generadores de grado i para todo i no de la forma 2 n −1. Es decir: dónde puede ser representado por las clases de mientras que para índices impares se pueden utilizar variedades de Dold apropiadas .
El bordismo no orientado es 2-torsión, ya que 2M es el límite de.
MO es una teoría de cobordismo bastante débil, ya que el espectro MO es isomorfo a H (π * (MO)) ("homología con coeficientes en π * (MO)") - MO es un producto de los espectros de Eilenberg-MacLane . En otras palabras, las correspondientes teorías de homología y cohomología no son más potente que la homología y cohomología con coeficientes en Z / 2 Z . Esta fue la primera teoría del cobordismo que se describió por completo.
Cobordismo complejo
Espectro: MU (espectro de Thom del grupo unitario )
Anillo de coeficiente: π * ( MU ) es el anillo polinomial en generadores de grado 2, 4, 6, 8, ... y es naturalmente isomorfo al anillo universal de Lazard , y es el anillo de cobordismo de variedades estables casi complejas .
Cobordismo orientado
Espectro: MSO (espectro de Thom de grupo ortogonal especial )
Anillo de coeficiente: La clase de cobordismo orientado de una variedad está completamente determinada por sus números característicos: sus números de Stiefel-Whitney y los números de Pontryagin , pero el anillo de coeficiente general, denotadoes bastante complicado. Racionalmente, y en 2 (correspondientes a las clases Pontryagin y Stiefel-Whitney, respectivamente), MSO es un producto de los espectros de Eilenberg-MacLane - y - pero en números primos impares no lo es, y la estructura es complicada de describir. El anillo ha sido completamente descrito de manera integral, debido al trabajo de John Milnor , Boris Averbuch, Vladimir Rokhlin y CTC Wall .
Cobordismo unitario especial
Espectro: MSU (espectro Thom de grupo unitario especial )
Anillo de coeficiente:
Spin cobordismo (y variantes)
Espectro: MSpin (espectro Thom del grupo de espín )
Anillo de coeficiente: Ver (DW Anderson, EH Brown & FP Peterson 1967 ).
Cobordismo simpléctico
Espectro: MSp (espectro de Thom del grupo simpléctico )
Anillo de coeficiente:
Cobordismo de álgebra de Clifford
PL cobordismo y cobordismo topológico
Espectro: MPL, MSPL, MTop, MSTop
Anillo de coeficiente:
La definición es similar a la del cobordismo, excepto que se utilizan variedades lineales o topológicas por partes en lugar de variedades suaves , orientadas o no orientadas. Los anillos de coeficientes son complicados.
Cohomología de Brown-Peterson
Espectro: BP
Anillo de coeficiente: π * (BP) es un álgebra polinomial sobre Z ( p ) en generadores v n de dimensión 2 ( p n - 1) para n ≥ 1.
La cohomología de Brown-Peterson BP es un sumando de MU p , que es un cobordismo complejo MU localizado en un primo p . De hecho, MU ( p ) es una suma de suspensiones de BP.
Teoría K de Morava
Espectro: K ( n ) (También dependen de un primo p .)
Anillo de coeficiente: F p [ v n , v n −1 ], donde v n tiene grado 2 ( p n -1).
Estas teorías tienen un período 2 ( p n - 1). Llevan el nombre de Jack Morava .
Teoría de Johnson-Wilson
Espectro E ( n )
Anillo de coeficiente Z (2) [ v 1 , ..., v n , 1 / v n ] donde v i tiene grado 2 (2 i −1)
Cobordismo de cuerdas
Espectro:
Anillo de coeficiente:
Cohomología elíptica
Espectro: Ell
Formas modulares topológicas
Espectros: tmf, TMF (anteriormente llamado eo 2. )
El anillo de coeficientes π * (tmf) se denomina anillo de formas modulares topológicas . TMF es tmf con la 24.a potencia de la forma modular Δ invertida y tiene un período 24 2 = 576. En el primo p = 2, la finalización de tmf es el espectro eo 2 , y la localización K (2) de tmf es el espectro de teoría K real superior de Hopkins-Miller EO 2 .
Ver también
- Cohomología Alexander-Spanier
- Teoría K algebraica
- Cohomología BRST
- Homología celular
- Čech cohomología
- Cohomología cristalina
- Cohomología de De Rham
- Cohomología de Deligne
- Étale cohomology
- Homología Floer
- Cohomología de Galois
- Cohomología grupal
- Estructura Hodge
- Cohomología de intersección
- Cohomología L 2
- cohomología l-ádica
- Cohomología del álgebra de mentiras
- Cohomología cuántica
- Cohomología de la gavilla
- Homología singular
- Cohomología de Spencer
Referencias
- Homotopía estable y homología generalizada (Chicago Lectures in Mathematics) por J. Frank Adams , University Of Chicago Press ; Edición reeditada (27 de febrero de 1995) ISBN 0-226-00524-0
- Anderson, Donald W .; Brown, Edgar H. Jr .; Peterson, Franklin P. (1967), "The Structure of the Spin Cobordism Ring", Annals of Mathematics , Second Series, 86 (2): 271-298, doi : 10.2307 / 1970690 , JSTOR 1970690
- Notas sobre la teoría del cobordismo , por Robert E. Stong , Princeton University Press (1968) ASIN B0006C2BN6
- Cohomología Elíptica (Serie Universitaria en Matemáticas) por Charles B. Thomas, Springer; 1a edición (octubre de 1999) ISBN 0-306-46097-1