En matemáticas , un álgebra de Clifford es un álgebra generada por un espacio vectorial con forma cuadrática , y es un álgebra unitaria asociativa . Como K -álgebras , generalizan los números reales , los números complejos , los cuaterniones y varios otros sistemas numéricos hipercomplejos . [1] [2] La teoría de las álgebras de Clifford está íntimamente relacionada con la teoría de las formas cuadráticas y las transformaciones ortogonales.. Las álgebras de Clifford tienen aplicaciones importantes en una variedad de campos que incluyen la geometría , la física teórica y el procesamiento de imágenes digitales . Llevan el nombre del matemático inglés William Kingdon Clifford .
Las álgebras de Clifford más familiares, las álgebras de Clifford ortogonales , también se denominan ( pseudo- ) álgebras de Clifford de Riemann , a diferencia de las álgebras de Clifford simplécticas . [3]
Un álgebra de Clifford es un álgebra asociativa unitaria que contiene y es generada por un espacio vectorial V sobre un campo K , donde V está equipado con una forma cuadrática Q : V → K. El álgebra de Clifford Cl( V , Q ) es el álgebra asociativa unitaria "más libre" generada por V sujeto a la condición [4]
donde el producto de la izquierda es el del álgebra, y el 1 es su identidad multiplicativa . La idea de ser el álgebra "más libre" o "más general" sujeta a esta identidad puede expresarse formalmente a través de la noción de una propiedad universal , como se hace a continuación .
Donde V es un espacio vectorial real de dimensión finita y Q no es degenerado , Cl( V , Q ) puede identificarse con la etiqueta Cl p , q ( R ), lo que indica que V tiene una base ortogonal con p elementos con e i 2 = +1 , q con e i 2 = −1 , y donde R indica que se trata de un álgebra de Clifford sobre los reales; es decir, los coeficientes de los elementos del álgebra son números reales. Esta base puede ser encontrada pordiagonalización ortogonal .
El álgebra libre generada por V puede escribirse como el álgebra tensorial ⊕ n ≥0 V ⊗ ⋯ ⊗ V , es decir, la suma del producto tensorial de n copias de V sobre todo n , por lo que un álgebra de Clifford sería el cociente de este álgebra tensorial por el ideal bilateral generado por elementos de la forma v ⊗ v − Q ( v )1 para todos los elementos v ∈ V. El producto inducido por el producto tensorial en el álgebra del cociente se escribe mediante yuxtaposición (por ejemplo, uv ). Su asociatividad se deriva de la asociatividad del producto tensorial.