En geometría diferencial, el teorema de las tres geodésicas , también conocido como teorema de Lyusternik-Schnirelmann , establece que cada variedad de Riemann con la topología de una esfera tiene al menos tres geodésicas cerradas que forman curvas cerradas simples (es decir, sin auto-intersecciones). [1] [2] El resultado también se puede extender a cuasigeodesicos en un poliedro convexo. El teorema es agudo: aunque cada esfera 2 de Riemann contiene infinitas geodésicas cerradas distintas, se garantiza que solo tres de ellas no tienen autointersecciones. Por ejemplo, por un resultado de Morsesi las longitudes de los 3 ejes principales de un elipsoide son distintas, pero lo suficientemente cercanas entre sí, entonces el elipsoide tiene solo 3 geodésicas cerradas simples. [3]
Historia y prueba
Una geodésica , en una superficie de Riemann, es una curva que es localmente recta en cada uno de sus puntos. Por ejemplo, en el plano euclidiano las geodésicas son líneas y en la superficie de una esfera las geodésicas son grandes círculos . La ruta más corta en la superficie entre dos puntos es siempre una geodésica, pero también pueden existir otras geodésicas. Se dice que una geodésica es una geodésica cerrada si regresa a su punto de partida y dirección de partida; al hacerlo, puede cruzarse varias veces. El teorema de las tres geodésicas dice que para las superficies homeomórficas de la esfera, existen al menos tres geodésicas cerradas que no se autocruzan. Puede haber más de tres, por ejemplo, la propia esfera tiene infinitos.
Este resultado proviene de las matemáticas de la navegación oceánica, donde la superficie de la tierra se puede modelar con precisión mediante un elipsoide , y del estudio de las geodésicas en un elipsoide , los caminos más cortos para que viajen los barcos. En particular, un elipsoide triaxial casi esférico tiene solo tres geodésicas cerradas simples, sus ecuadores. [4] En 1905, Henri Poincaré conjeturó que toda superficie lisa topológicamente equivalente a una esfera también contiene al menos tres geodésicas cerradas simples, [5] y en 1929 Lazar Lyusternik y Lev Schnirelmann publicaron una prueba de la conjetura, que luego se descubrió que ser defectuoso. [6] La prueba fue reparada por Hans Werner Ballmann en 1978. [7]
Una prueba de esta conjetura examina la homología del espacio de curvas suaves en la esfera y usa el flujo de acortamiento de curvas para encontrar una geodésica cerrada simple que represente cada una de las tres clases de homología no trivial de este espacio. [2]
Generalizaciones
Una versión reforzada del teorema establece que, en cualquier superficie de Riemann que sea topológicamente una esfera, necesariamente existen tres geodésicas cerradas simples cuya longitud es a lo sumo proporcional al diámetro de la superficie. [8]
El número de geodésicas cerradas de longitud como máximo L en una esfera topológica lisa crece en proporción a L / log L , pero no se puede garantizar que todas estas geodésicas sean simples. [9]
En superficies de Riemann hiperbólicas compactas , hay infinitas geodésicas cerradas simples, pero solo un número finito con un límite de longitud dado. Están codificados analíticamente por la función zeta de Selberg . Maryam Mirzakhani investigó la tasa de crecimiento del número de geodésicas cerradas simples, en función de su longitud . [10]
Métricas no fluidas
¿Existe un algoritmo que pueda encontrar un cuasigeodésico cerrado simple en un poliedro convexo en tiempo polinomial?
También es posible definir geodésicas en algunas superficies que no son lisas en todas partes, como los poliedros convexos . La superficie de un poliedro convexo tiene una métrica que es localmente euclidiana, excepto en los vértices del poliedro, y una curva que evita los vértices es geodésica si sigue segmentos de línea recta dentro de cada cara del poliedro y permanece recta a lo largo de cada borde del poliedro. que atraviesa. Aunque algunos poliedros tienen geodésicas cerradas simples (por ejemplo, el tetraedro regular y los difenoides tienen infinitas geodésicas cerradas, todas simples) [11] [12], otros no. En particular, una simple geodésica cerrada de un poliedro convexo necesariamente bisecaría el defecto angular total de los vértices, y casi todos los poliedros no tienen tales bisectrices. [4] [11]
Sin embargo, el teorema de las tres geodésicas se puede extender a poliedros convexos considerando cuasigeodésicas, curvas que son geodésicas excepto en los vértices de los poliedros y que tienen ángulos menores que π en ambos lados en cada vértice que cruzan. Una versión del teorema de las tres geodésicas para poliedros convexos establece que todos los poliedros tienen al menos tres cuasigeodésicas cerradas simples; esto se puede demostrar aproximando el poliedro por una superficie lisa y aplicando el teorema de las tres geodésicas a esta superficie. [13] Es un problema abierto si alguno de estos cuasigeodesicos puede construirse en tiempo polinómico . [14] [15]
Referencias
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- ^ Ballmann, W .: Sobre las longitudes de geodésicas cerradas sobre superficies convexas. Inventar. Matemáticas. 71, 593–597 (1983)
- ^ a b Galperin, G. (2003), "Poliedros convexos sin geodésicas cerradas simples" (PDF) , Regular & Chaotic Dynamics , 8 (1): 45–58, Bibcode : 2003RCD ..... 8 ... 45G , doi : 10.1070 / RD2003v008n01ABEH000231 , MR 1963967.
- ^ Poincaré, H. (1905), "Sur les lignes géodésiques des surface convexes" [Líneas geodésicas sobre superficies convexas], Transactions of the American Mathematical Society (en francés), 6 (3): 237-274, doi : 10.2307 / 1986219 , JSTOR 1986219.
- ^ Lyusternik, L .; Schnirelmann, L. (1929), "Sur le problème de trois géodésiques fermées sur les surface de genre 0" [El problema de tres geodésicas cerradas sobre superficies del género 0], Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris (en francés ), 189 : 269–271.
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