En los campos matemáticos de la geometría y la topología , una estructura burda en un conjunto X es una colección de subconjuntos del producto cartesiano X × X con ciertas propiedades que permiten definir la estructura a gran escala de espacios métricos y espacios topológicos .
La preocupación de la geometría y topología tradicionales es la estructura a pequeña escala del espacio: propiedades como la continuidad de una función dependen de si las imágenes inversas de pequeños conjuntos abiertos , o vecindarios , son en sí mismas abiertas. Las propiedades a gran escala de un espacio, como la delimitación o los grados de libertad del espacio, no dependen de tales características. La geometría aproximada y la topología aproximada proporcionan herramientas para medir las propiedades a gran escala de un espacio, y solo como una métrica o una topología. contiene información sobre la estructura a pequeña escala de un espacio, una estructura burda contiene información sobre sus propiedades a gran escala.
Propiamente, una estructura burda no es el análogo a gran escala de una estructura topológica, sino de una estructura uniforme .
Definición
Una estructura aproximada en un conjunto X es una colección E de subconjuntos de X × X (por lo tanto, que cae dentro de la categorización más general de relaciones binarias en X ) llamados conjuntos controlados , y por lo que E posee la relación de identidad , está cerrada tomando subconjuntos, inversas y uniones finitas, y está cerrada bajo composición de relaciones . Explícitamente:
- 1. Identidad / diagonal
- La diagonal Δ = {( x , x ): x en X } es un miembro de E , la relación de identidad.
- 2. Subconjuntos de empresas cerradas
- Si E es un miembro de la E y F es un subconjunto de E , entonces F es un miembro de la E .
- 3. Cerrado tomando inversas
- Si E es miembro de E, entonces la inversa (o transpuesta ) E −1 = {( y , x ): ( x , y ) en E } es miembro de E , la relación inversa.
- 4. Sindicatos de empresas cerradas
- Si E y F son miembros de E entonces la unión de E y F es un miembro de la E .
- 5. Cerrado por composición
- Si E y F son miembros de E, entonces el producto E o F = {( x , y ): hay una z en X tal que ( x , z ) está en E , ( z , y ) está en F } es un miembro de E —la composición de las relaciones.
Un conjunto X dotado de una estructura burda E es un espacio burdo .
El conjunto E [ K ] se define como { x en X : hay una y en K tal que ( x , y ) está en E }. Definimos la sección de E por x como el conjunto E [{ x }], también denotado E x . El símbolo E y denota el conjunto E −1 [{ y }]. Estas son formas de proyecciones .
Intuición
Los conjuntos controlados son conjuntos "pequeños" o " conjuntos despreciables ": un conjunto A tal que A × A está controlado es despreciable, mientras que una función f : X → X tal que su gráfico está controlado está "cerca" de la identidad. En la estructura aproximada acotada, estos conjuntos son los conjuntos acotados y las funciones son las que están a una distancia finita de la identidad en la métrica uniforme .
Mapas aproximados
Dado un conjunto S y una estructura gruesa X , decimos que los mapas y están cerca sies un conjunto controlado. Se dice que un subconjunto B de X está acotado si es un conjunto controlado.
Para estructuras gruesas X e Y , decimos quees grueso si para cada conjunto acotado B de Y el conjuntoestá acotado en X y para cada conjunto controlado E de X el conjuntoestá controlado en Y . [1] Se dice que X e Y son aproximadamente equivalentes si existen mapas generales y tal que esta cerca de y esta cerca de .
Ejemplos de
- La estructura aproximada acotada en un espacio métrico ( X , d ) es la colección E de todos los subconjuntos E de X × X tal que sup { d ( x , y ): ( x , y ) está en E } es finito .
- Con esta estructura, el entramado de números enteros Z n es aproximadamente equivalente al espacio euclidiano n- dimensional .
- Un espacio X donde se controla X × X se llama espacio acotado. Tal espacio equivale groseramente a un punto. Un espacio métrico con la estructura gruesa acotada está acotado (como un espacio grueso) si y solo si está acotado (como un espacio métrico).
- La estructura burda trivial solo consta de la diagonal y sus subconjuntos.
- En esta estructura, un mapa es una equivalencia burda si y solo si es una biyección (de conjuntos).
- La estructura aproximada C 0 en un espacio métrico X es la colección de todos los subconjuntos E de X × X tal que para todo ε> 0 hay un conjunto compacto K de X tal que d ( x , y ) <ε para todo ( x , Y ) en E - K × K . Alternativamente, la colección de todos los subconjuntos E de X × X tales que {( x , y ) en E : d ( x , y ) ≥ ε} es compacta.
- La estructura gruesa discreta en un conjunto X consiste en la diagonal junto con subconjuntos E de X × X que contienen solo un número finito de puntos ( x , y ) fuera de la diagonal.
- Si X es un espacio topológico, entonces la estructura burda indiscreta en X consta de todos los subconjuntos propios de X × X , es decir, todos los subconjuntos E de tal manera que E [ K ] y E −1 [ K ] son relativamente compactos siempre que K sea relativamente compacto.
Ver también
Referencias
- John Roe, Conferencias sobre geometría gruesa , Serie de conferencias universitarias, vol. 31, American Mathematical Society: Providence, Rhode Island, 2003. Correcciones a Lectures in Coarse Geometry
- Roe, John (junio-julio de 2006). "¿Qué es ... un espacio grueso?" ( PDF ) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 53 (6): 669 . Consultado el 16 de enero de 2008 .