Esta página enumera algunos ejemplos de espacios vectoriales . Consulte el espacio vectorial para conocer las definiciones de los términos utilizados en esta página. Ver también: dimensión , base .
Notación . Let F denota una arbitraria campo tales como los números reales R o los números complejos C .
Espacio vectorial trivial o cero
El ejemplo más simple de un espacio vectorial es el trivial: {0}, que contiene solo el vector cero (consulte el tercer axioma en el artículo Espacio vectorial ). Tanto la suma de vectores como la multiplicación escalar son triviales. A base de este espacio vectorial es el conjunto vacío , de manera que {0} es el 0- dimensional espacio vectorial sobre F . Cada espacio vectorial sobre F contiene un subespacio isomorfo a este.
El espacio de vector cero es diferente del espacio nulo de un operador lineal L , que es el núcleo de L .
Campo
El siguiente ejemplo más simple es el campo F en sí. La suma de vectores es solo una suma de campos y la multiplicación escalar es solo una multiplicación de campos. Esta propiedad se puede utilizar para demostrar que un campo es un espacio vectorial. Cualquier elemento distinto de cero de F sirve como base, por lo que F es un espacio vectorial unidimensional sobre sí mismo.
El campo es un espacio vectorial bastante especial; de hecho, es el ejemplo más simple de un álgebra conmutativa sobre F . Además, F tiene solo dos subespacios : {0} y el propio F.
Coordinar el espacio
El ejemplo original de un espacio vectorial es el siguiente. Para cualquier entero positivo n , el conjunto de todas las n tuplas de elementos de F forma un espacio vectorial n- dimensional sobre F, a veces llamado espacio de coordenadas y denotado F n . Un elemento de F n se escribe
donde cada x i es un elemento de F . Las operaciones en F n están definidas por
Comúnmente, F es el campo de números reales , en cuyo caso obtenemos el espacio de coordenadas reales R n . El campo de números complejos da un espacio de coordenadas complejo C n . La forma a + bi de un número complejo muestra que C en sí mismo es un espacio vectorial real bidimensional con coordenadas ( a , b ). Del mismo modo, los cuaterniones y los octoniones son, respectivamente, de cuatro y espacios de ocho dimensionales vectoriales reales, y C n es un 2n espacio real vector -dimensional.
El espacio vectorial F n tiene una base estándar :
donde 1 indica la identidad multiplicativa en F .
Espacio de coordenadas infinito
Sea F ∞ el espacio de secuencias infinitas de elementos de F tales que sólo un número finito de elementos son distintos de cero. Es decir, si escribimos un elemento de F ∞ como
entonces sólo un número finito de x i son distintos de cero (es decir, las coordenadas se vuelven todas cero después de cierto punto). La suma y la multiplicación escalar se dan como en un espacio de coordenadas finito. La dimensionalidad de F ∞ es numerablemente infinita . Una base estándar consta de los vectores e i que contienen un 1 en la i -ésima ranura y ceros en el resto. Este espacio vectorial es el co-producto (o suma directa ) de una cantidad numerable de copias del espacio vectorial F .
Note aquí el papel de la condición de finitud. Se podrían considerar secuencias arbitrarias de elementos en F , que también constituyen un espacio vectorial con las mismas operaciones, a menudo denotadas por F N - ver más abajo . F N es el producto de numerable muchas copias de F .
Según el lema de Zorn , F N tiene una base (no hay una base obvia). Hay incontables elementos infinitos en la base. Dado que las dimensiones son diferentes, F N no es isomorfo a F ∞ . Vale la pena señalar que F N es (isomorfo a) el espacio dual de F ∞ , porque un mapa lineal T de F ∞ a F está determinado únicamente por sus valores T ( e i ) sobre los elementos base de F ∞ , y estos los valores pueden ser arbitrarios. Así, uno ve que un espacio vectorial no necesita ser isomorfo a su doble dual si es de dimensión infinita, en contraste con el caso de dimensión finita.
Producto de espacios vectoriales
A partir de n espacios vectoriales, o una colección infinitamente contable de ellos, cada uno con el mismo campo, podemos definir el espacio del producto como se muestra arriba.
Matrices
Deje F m × n denotar el conjunto de m × n matrices con entradas en F . Entonces F m × n es un espacio vectorial sobre F . La suma de vectores es solo una suma de matrices y la multiplicación escalar se define de la manera obvia (multiplicando cada entrada por el mismo escalar). El vector cero es solo la matriz cero . La dimensión de F m × n es mn . Una posible elección de base son las matrices con una sola entrada igual a 1 y todas las demás entradas 0.
Cuando m = n, la matriz es cuadrada y la multiplicación de dos de estas matrices produce una tercera. Este espacio vectorial de dimensión n 2 forma un álgebra sobre un campo .
Espacios vectoriales polinomiales
Una variable
El conjunto de polinomios con coeficientes en F es un espacio vectorial sobre F , denotado F [ x ]. La suma de vectores y la multiplicación escalar se definen de manera obvia. Si el grado de los polinomios no está restringido, entonces la dimensión de F [ x ] es infinitamente contable . Si, en cambio, se restringe a polinomios con grado menor o igual an , entonces tenemos un espacio vectorial con dimensión n + 1.
Una posible base para F [ x ] es una base monomial : las coordenadas de un polinomio con respecto a esta base son sus coeficientes , y el mapa que envía un polinomio a la secuencia de sus coeficientes es un isomorfismo lineal de F [ x ] a la espacio de coordenadas infinito F ∞ .
El espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales y grado menor o igual an se denota a menudo por P n .
Varias variables
El conjunto de polinomios en varias variables con coeficientes en F es el espacio vectorial sobre F denotado F [ x 1 , x 2 ,…, x r ]. Aquí r es el número de variables.
- Ver también : anillo polinomial
Espacios funcionales
- Consulte el artículo principal en Espacio funcional , especialmente la sección de análisis funcional.
Deje que X sea un conjunto arbitrario no vacío y V un espacio vectorial arbitrario sobre F . El espacio de todas las funciones de X a V es un espacio vectorial sobre F bajo la suma y la multiplicación puntuales . Es decir, dejar que f : X → V y g : X → V denotan dos funciones, y dejar α en F . Definimos
donde las operaciones en el lado derecho son aquellos en V . El vector cero se da mediante el envío de todo lo que el vector cero en la función constante V . El espacio de todas las funciones de X a V se denota comúnmente V X .
Si X es finito y V es de dimensión finita, entonces V X tiene dimensión | X | (dim V ), de lo contrario, el espacio es de dimensión infinita (incontablemente si X es infinito).
Muchos de los espacios vectoriales que surgen en matemáticas son subespacios de algún espacio funcional. Damos algunos ejemplos más.
Espacio de coordenadas generalizado
Sea X un conjunto arbitrario. Considere el espacio de todas las funciones de X a F que se desvanecen en todos menos un número finito de puntos en X . Este espacio es un subespacio vectorial de F X , el espacio de todas las funciones posibles de X a F . Para ver esto, tenga en cuenta que la unión de dos conjuntos finitos es finita, por lo que la suma de dos funciones en este espacio aún desaparecerá fuera de un conjunto finito.
El espacio descrito anteriormente se denota comúnmente ( F X ) 0 y se denomina espacio de coordenadas generalizadas por la siguiente razón. Si X es el conjunto de números entre 1 y n, entonces se ve fácilmente que este espacio es equivalente al espacio de coordenadas F n . Del mismo modo, si X es el conjunto de números naturales , N , entonces este espacio es solo F ∞ .
Una base canónica para ( F X ) 0 es el conjunto de funciones {δ x | x ∈ X } definido por
La dimensión de ( F X ) 0 es por lo tanto igual a la cardinalidad de X . De esta manera podemos construir un espacio vectorial de cualquier dimensión sobre cualquier campo. Además, cada espacio vectorial es isomorfo a uno de esta forma . Cualquier elección de base determina un isomorfismo enviando la base a la canónica para ( F X ) 0 .
El espacio de coordenadas generalizado también puede entenderse como la suma directa de | X | copias de F (es decir, una para cada punto en X ):
La condición de finitud está incorporada en la definición de la suma directa. Compare esto con el producto directo de | X | copias de F que darían el espacio de todas las funciones F X .
Mapas lineales
Un ejemplo importante que surge en el contexto del álgebra lineal en sí es el espacio vectorial de los mapas lineales . Sea L ( V , W ) el conjunto de todos los mapas lineales de V a W (ambos son espacios vectoriales sobre F ). Entonces L ( V , W ) es un subespacio de W V ya que está cerrado bajo suma y multiplicación escalar.
Nótese que L ( F n , F m ) se puede identificar con el espacio de matrices F m × n de forma natural. De hecho, al elegir bases apropiadas para espacios de dimensión finita V y W, L (V, W) también se puede identificar con F m × n . Esta identificación normalmente depende de la elección de la base.
Funciones continuas
Si X es un poco de espacio topológico , como el intervalo de la unidad [0,1], podemos considerar el espacio de todas las funciones continuas de X a R . Este es un subespacio vectorial de R X ya que la suma de dos funciones continuas cualesquiera es continua y la multiplicación escalar es continua.
Ecuaciones diferenciales
El subconjunto del espacio de todas las funciones de R a R que consta de funciones (suficientemente diferenciables) que satisfacen una determinada ecuación diferencial es un subespacio de R R si la ecuación es lineal. Esto se debe a que la diferenciación es una operación lineal, es decir, ( a f + b g ) ′ = a f ′ + b g ′, donde ′ es el operador de diferenciación.
Extensiones de campo
Suponga que K es un subcampo de F (cf. extensión de campo ). Entonces F se puede considerar como un espacio vectorial sobre K al restringir la multiplicación escalar a elementos en K (la suma de vectores se define como normal). La dimensión de este espacio vectorial, si existe, [a] se llama grado de extensión. Por ejemplo, los números complejos C forman un espacio vectorial de dos dimensiones sobre los números reales R . Asimismo, los números reales R forman un espacio vectorial sobre los números racionales Q que tiene (incontablemente) dimensión infinita, si existe una base de Hamel. [B]
Si V es un espacio vectorial sobre F también se puede considerar como espacio vectorial sobre K . Las dimensiones están relacionadas por la fórmula
- dim K V = (dim F V ) (dim K F )
Por ejemplo, C n , considerado como un espacio vectorial sobre los reales, tiene dimensión 2 n .
Espacios vectoriales finitos
Aparte del caso trivial de un espacio de dimensión cero sobre cualquier campo, un espacio vectorial sobre un campo F tiene un número finito de elementos si y solo si F es un campo finito y el espacio vectorial tiene una dimensión finita. Así tenemos F q , el campo finito único (hasta isomorfismo ) con q elementos. Aquí q debe ser una potencia de un primo ( q = p m con p primo). Entonces, cualquier espacio vectorial n- dimensional V sobre F q tendrá q n elementos. Tenga en cuenta que el número de elementos en V también es la potencia de un primo (porque un poder de un poder primo es nuevamente un poder primo). El ejemplo principal de tal espacio es el espacio de coordenadas ( F q ) n .
Estos espacios vectoriales son de importancia crítica en la teoría de la representación de grupos finitos , la teoría de números y la criptografía .
Notas
- ^ Tenga en cuenta que el espacio vectorial resultante puede no tener una base en ausencia del axioma de elección .
- ^ Hay modelos de ZF sin AC en los que este no es el caso.