En el campo del análisis matemático , un espacio de interpolación es un espacio que se encuentra "entre" otros dos espacios de Banach . Las aplicaciones principales se encuentran en los espacios de Sobolev , donde los espacios de funciones que tienen un número no entero de derivadas se interpolan a partir de los espacios de funciones con un número entero de derivadas.
Historia
La teoría de la interpolación de espacios vectoriales comenzó con una observación de Józef Marcinkiewicz , luego generalizada y ahora conocida como el teorema de Riesz-Thorin . En términos simples, si una función lineal es continua en un cierto espacio L p y también en un cierto espacio L q , entonces también es continua en el espacio L r , para cualquier intermedio r entre p y q . En otras palabras, L r es un espacio intermedio entre L p y L q .
En el desarrollo de los espacios de Sobolev, quedó claro que los espacios de seguimiento no eran ninguno de los espacios de función habituales (con un número entero de derivadas), y Jacques-Louis Lions descubrió que, de hecho, estos espacios de seguimiento estaban constituidos por funciones que tienen un grado no entero. de diferenciabilidad.
Se diseñaron muchos métodos para generar tales espacios de funciones, incluida la transformada de Fourier , la interpolación compleja, [1] la interpolación real, [2] así como otras herramientas (ver, por ejemplo, derivada fraccionaria ).
El escenario de la interpolación
Se dice que un espacio de Banach X está continuamente incrustado en un espacio vectorial topológico Z de Hausdorff cuando X es un subespacio lineal de Z de manera que el mapa de inclusión de X a Z es continuo. Un par compatible ( X 0 , X 1 ) de espacios de Banach consta de dos espacios de Banach X 0 y X 1 que están continuamente incrustados en el mismo espacio vectorial topológico Z de Hausdorff . [3] La incrustación en un espacio lineal Z permite considerar los dos subespacios lineales
y
La interpolación no depende solo de las clases de equivalencia isomórficas (ni isométricas) de X 0 y X 1 . Depende de manera esencial de la posición relativa específica que ocupan X 0 y X 1 en un espacio Z mayor .
Se pueden definir normas en X 0 ∩ X 1 y X 0 + X 1 por
Dotado de estas normas, la intersección y la suma son espacios de Banach. Las siguientes inclusiones son todas continuas:
La interpolación estudia la familia de espacios X que son espacios intermedios entre X 0 y X 1 en el sentido de que
donde los dos mapas de inclusiones son continuos.
Un ejemplo de esta situación es el par ( L 1 ( R ), L ∞ ( R )) , donde los dos espacios de Banach están continuamente incrustados en el espacio Z de funciones medibles en la línea real, equipados con la topología de convergencia en medida . En esta situación, los espacios L p ( R ) , para 1 ≤ p ≤ ∞ son intermedios entre L 1 ( R ) y L ∞ ( R ) . Más generalmente,
con inyecciones continuas, de modo que, en las condiciones dadas, L p ( R ) es intermedio entre L p 0 ( R ) y L p 1 ( R ) .
- Definición. Dados dos pares compatibles ( X 0 , X 1 ) e ( Y 0 , Y 1 ) , un par de interpolación es un par ( X , Y ) de espacios de Banach con las dos propiedades siguientes:
- El espacio X es intermedio entre X 0 y X 1 , e Y es intermedio entre Y 0 e Y 1 .
- Si L es cualquier operador lineal de X 0 + X 1 a Y 0 + Y 1 , que mapea continuamente X 0 a Y 0 y X 1 a Y 1 , entonces también mapea continuamente X a Y .
Se dice que el par de interpolación ( X , Y ) es de exponente θ (con 0 < θ <1 ) si existe una constante C tal que
para todos los operadores L como arriba. La notación || L || X , Y es para la norma de L como un mapa de X a Y . Si C = 1 , decimos que ( X , Y ) es un par de interpolación exacto del exponente θ .
Interpolación compleja
Si los escalares son números complejos , las propiedades de funciones analíticas complejas se utilizan para definir un espacio de interpolación. Dado un par compatible ( X 0 , X 1 ) de espacios de Banach, el espacio linealconsta de todas las funciones f : C → X 0 + X 1 , que son analíticas en S = { z : 0
- { f ( z ): z ∈ S } ⊂ X 0 + X 1 ,
- { f ( it ): t ∈ R } ⊂ X 0 ,
- { f (1 + it ): t ∈ R } ⊂ X 1 .
es un espacio de Banach bajo la norma
Definición. [4] Para 0 < θ <1 , el espacio de interpolación complejo ( X 0 , X 1 ) θ es el subespacio lineal de X 0 + X 1 que consta de todos los valores f ( θ ) cuando f varía en el espacio de funciones anterior,
La norma en el espacio de interpolación complejo ( X 0 , X 1 ) θ está definida por
Equipado con esta norma, el espacio de interpolación complejo ( X 0 , X 1 ) θ es un espacio de Banach.
- Teorema. [5] Dados dos pares compatibles de espacios de Banach ( X 0 , X 1 ) y ( Y 0 , Y 1 ) , el par (( X 0 , X 1 ) θ , ( Y 0 , Y 1 ) θ ) es un par de interpolación de exponente θ , es decir, si T : X 0 + X 1 → Y 0 + Y 1 , es un operador lineal acotado de X j a Y j , j = 0, 1 , entonces T está acotado de ( X 0 , X 1 ) θ a ( Y 0 , Y 1 ) θ y
La familia de espacios L p (que consta de funciones complejas valoradas) se comporta bien bajo interpolación compleja. [6] Si ( R , Σ, μ ) es un espacio de medida arbitrario , si 1 ≤ p 0 , p 1 ≤ ∞ y 0 < θ <1 , entonces
con igualdad de normas. Este hecho está estrechamente relacionado con el teorema de Riesz-Thorin .
Interpolación real
Hay dos formas de introducir el método de interpolación real . El primero y más comúnmente utilizado al identificar ejemplos de espacios de interpolación es el método K. El segundo método, el método J, da los mismos espacios de interpolación que el método K cuando el parámetro θ está en (0, 1) . Que los métodos J y K estén de acuerdo es importante para el estudio de los duales de los espacios de interpolación: básicamente, el dual de un espacio de interpolación construido por el método K parece ser un espacio construido a partir del par dual por el método J; ver más abajo .
Método K
El método K de interpolación real [7] se puede utilizar para espacios de Banach sobre el campo R de números reales .
Definición. Sea ( X 0 , X 1 ) un par compatible de espacios de Banach. Para t > 0 y cada x ∈ X 0 + X 1 , sea
Cambiar el orden de los dos espacios da como resultado: [8]
Dejar
El método K de interpolación real consiste en tomar K θ , q ( X 0 , X 1 ) como el subespacio lineal de X 0 + X 1 que consiste en todo x tal que || x || θ , q ; K <∞ .
Ejemplo
Un ejemplo importante es el de la pareja ( L 1 ( R , Σ, μ ), L ∞ ( R , Σ, μ )) , donde la función K ( t , f ; L 1 , L ∞ ) se puede calcular explícitamente. La medida μ se supone σ -finita . En este contexto, la mejor manera de reducir la función f ∈ L 1 + L ∞ como suma de dos funciones f 0 ∈ L 1 y f 1 ∈ L ∞ se, para algunas s > 0 para ser elegido como función de t , a sea f 1 ( x ) para todo x ∈ R por
La elección óptima de s conduce a la fórmula [9]
donde f ∗ es el reordenamiento decreciente de f .
Método J
Al igual que con el método K, el método J se puede utilizar para espacios de Banach reales.
Definición. Sea ( X 0 , X 1 ) un par compatible de espacios de Banach. Para t > 0 y para cada vector x ∈ X 0 ∩ X 1 , sea
Un vector x en X 0 + X 1 pertenece al espacio de interpolación J θ , q ( X 0 , X 1 ) si y solo si se puede escribir como
donde v ( t ) es medible con valores en X 0 ∩ X 1 y tales que
La norma de x en J θ , q ( X 0 , X 1 ) viene dada por la fórmula
Relaciones entre los métodos de interpolación
Los dos métodos de interpolación reales son equivalentes cuando 0 < θ <1 . [10]
- Teorema. Sea ( X 0 , X 1 ) un par compatible de espacios de Banach. Si 0 < θ <1 y 1 ≤ q ≤ ∞ , entonces
- con equivalencia de normas .
El teorema cubre casos degenerados que no han sido excluidos: por ejemplo, si X 0 y X 1 forman una suma directa, entonces la intersección y los espacios J son el espacio nulo, y un cálculo simple muestra que los espacios K también son nulos. .
Cuando 0 < θ <1 , se puede hablar, hasta una renormación equivalente, del espacio de Banach obtenido por el método de interpolación real con los parámetros θ y q . La notación para este espacio de interpolación real es ( X 0 , X 1 ) θ , q . Uno tiene eso
Para un valor dado de θ , los espacios de interpolación reales aumentan con q : [11] si 0 < θ <1 y 1 ≤ q ≤ r ≤ ∞ , la siguiente inclusión continua es cierta:
- Teorema. Dado 0 < θ <1 , 1 ≤ q ≤ ∞ y dos parejas compatibles ( X 0 , X 1 ) e ( Y 0 , Y 1 ) , el par (( X 0 , X 1 ) θ , q , ( Y 0 , Y 1 ) θ , q ) es un par de interpolación exacto del exponente θ . [12]
Un espacio de interpolación complejo no suele ser isomorfo a uno de los espacios dados por el método de interpolación real. Sin embargo, existe una relación general.
- Teorema. Sea ( X 0 , X 1 ) un par compatible de espacios de Banach. Si 0 < θ <1 , entonces
Ejemplos de
Cuando X 0 = C ([0, 1]) y X 1 = C 1 ([0, 1]) , el espacio de funciones continuamente diferenciables en [0, 1] , el método de interpolación ( θ , ∞) , para 0 < θ <1 , da el espacio de Hölder C 0, θ del exponente θ . Esto se debe a que el K-funcional K ( f , t ; X 0 , X 1 ) de este par es equivalente a
Solo los valores 0 < t <1 son interesantes aquí.
La interpolación real entre espacios L p da [13] la familia de espacios de Lorentz . Suponiendo 0 < θ <1 y 1 ≤ q ≤ ∞ , uno tiene:
con normas equivalentes. Esto se sigue de una desigualdad de Hardy y del valor dado arriba de la K-funcional para esta pareja compatible. Cuando q = p , el espacio de Lorentz L p , p es igual a L p , hasta el cambio de forma. Cuando q = ∞ , el espacio de Lorentz L p , ∞ es igual a débil- L p .
El teorema de la reiteración
Un espacio intermedio X de la pareja compatible ( X 0 , X 1 ) se dice que es de clase θ si [14]
con inyecciones continuas. Además de todos los espacios de interpolación reales ( X 0 , X 1 ) θ , q con parámetro θ y 1 ≤ q ≤ ∞ , el espacio de interpolación complejo ( X 0 , X 1 ) θ es un espacio intermedio de clase θ del par compatible ( X 0 , X 1 ) .
Los teoremas de la reiteración dicen, en esencia, que interpolar con un parámetro θ se comporta, de alguna manera, como formar una combinación convexa a = (1 - θ ) x 0 + θx 1 : tomar una combinación convexa adicional de dos combinaciones convexas da otra convexa combinación.
- Teorema. [15] Sean A 0 , A 1 espacios intermedios de la pareja compatible ( X 0 , X 1 ) , de clase θ 0 y θ 1 respectivamente, con 0 < θ 0 ≠ θ 1 <1 . Cuando 0 < θ <1 y 1 ≤ q ≤ ∞ , uno tiene
Es notable que al interpolar con el método real entre A 0 = ( X 0 , X 1 ) θ 0 , q 0 y A 1 = ( X 0 , X 1 ) θ 1 , q 1 , solo los valores de θ 0 y θ 1 asunto. Además, A 0 y A 1 pueden ser espacios de interpolación complejos entre X 0 y X 1 , con parámetros θ 0 y θ 1 respectivamente.
También hay un teorema de reiteración para el método complejo.
- Teorema. [16] Sea ( X 0 , X 1 ) un par compatible de espacios de Banach complejos y suponga que X 0 ∩ X 1 es denso en X 0 y en X 1 . Sea A 0 = ( X 0 , X 1 ) θ 0 y A 1 = ( X 0 , X 1 ) θ 1 , donde 0 ≤ θ 0 ≤ θ 1 ≤ 1 . Suponga además que X 0 ∩ X 1 es denso en A 0 ∩ A 1 . Entonces, para cada 0 ≤ θ ≤ 1 ,
La condición de densidad siempre se cumple cuando X 0 ⊂ X 1 o X 1 ⊂ X 0 .
Dualidad
Sea ( X 0 , X 1 ) un par compatible y suponga que X 0 ∩ X 1 es denso en X 0 y en X 1 . En este caso, el mapa de restricción del dual (continuo) de X j , j = 0, 1, al dual de X 0 ∩ X 1 es uno a uno. De ello se deduce que el par de dualeses una pareja compatible incrustada continuamente en el dual ( X 0 ∩ X 1 ) ′ .
Para el método de interpolación compleja, se cumple el siguiente resultado de dualidad:
- Teorema. [17] Sea ( X 0 , X 1 ) un par compatible de espacios de Banach complejos y suponga que X 0 ∩ X 1 es denso en X 0 y en X 1 . Si X 0 y X 1 son reflexivos , entonces el dual del espacio de interpolación complejo se obtiene interpolando los duales,
En general, el dual del espacio ( X 0 , X 1 ) θ es igual [17] aun espacio definido por una variante del método complejo. [18] Los métodos superior-θ e inferior-θ no coinciden en general, pero lo hacen si al menos uno de X 0 , X 1 es un espacio reflexivo. [19]
Para el método de interpolación real, la dualidad se cumple siempre que el parámetro q sea finito:
- Teorema. [20] Sea 0 < θ <1, 1 ≤ q <∞ y ( X 0 , X 1 ) un par compatible de espacios de Banach reales. Suponga que X 0 ∩ X 1 es denso en X 0 y en X 1 . Luego
- dónde
Definiciones discretas
Dado que la función t → K ( x , t ) varía regularmente (está aumentando, pero1/tK ( x , t ) es decreciente), la definición de lanorma K θ , q de un vector n , previamente dada por una integral, es equivalente a una definición dada por una serie. [21] Esta serie se obtiene rompiendo (0, ∞) en pedazos (2 n , 2 n +1 ) de igual masa para la medidad t/t,
En el caso especial donde X 0 está continuamente incrustado en X 1 , se puede omitir la parte de la serie con índices negativos n . En este caso, cada una de las funciones x → K ( x , 2 n ; X 0 , X 1 ) define una norma equivalente en X 1 .
El espacio de interpolación ( X 0 , X 1 ) θ , q es un "subespacio diagonal" de un ℓ q -sum de una secuencia de espacios de Banach (cada uno es isomorfo a X 0 + X 1 ). Por lo tanto, cuando q es finito, el dual de ( X 0 , X 1 ) θ , q es un cociente del ℓ p -sum de los duales,1/pag + 1/q= 1 , lo que conduce a la siguiente fórmula para el discreto J θ , p -norm de un funcional x ' en el dual de ( X 0 , X 1 ) θ , q :
La fórmula habitual para la discreta J θ , p -norm se obtiene cambiando n por - n .
La definición discreta facilita el estudio de varias cuestiones, entre las que destaca la ya mencionada identificación del dual. Otras cuestiones de este tipo son la compacidad o la compacidad débil de los operadores lineales. Lions y Peetre han demostrado que:
- Teorema. [22] Si el operador lineal T es compacto de X 0 a un espacio de Banach Y y acotado de X 1 a Y , entonces T es compacto de ( X 0 , X 1 ) θ , q a Y cuando 0 < θ <1 , 1 ≤ q ≤ ∞ .
Davis, Figiel, Johnson y Pełczyński han utilizado la interpolación en su prueba del siguiente resultado:
- Teorema. [23] Un operador lineal acotado entre dos espacios de Banach es débilmente compacto si y solo si factoriza a través de un espacio reflexivo .
Un método de interpolación general
El espacio ℓ q usado para la definición discreta puede ser reemplazado por un espacio de secuencia arbitrario Y con base incondicional , y los pesos a n = 2 - θn , b n = 2 (1− θ ) n , que se usan para K θ , q -norm, puede ser reemplazado por pesos generales
El espacio de interpolación K ( X 0 , X 1 , Y , { a n }, { b n }) consta de los vectores x en X 0 + X 1 tales que [24]
donde { y n } es la base incondicional de Y . Este método abstracto se puede utilizar, por ejemplo, para la prueba del siguiente resultado:
Teorema. [25] Un espacio de Banach con base incondicional es isomorfo a un subespacio complementado de un espacio con base simétrica .
Interpolación de espacios de Sobolev y Besov
Hay varios resultados de interpolación disponibles para espacios de Sobolev y espacios de Besov en R n , [26]
Estos espacios son espacios de funciones medibles en R n cuando s ≥ 0 , y de distribuciones templadas en R n cuando s <0 . Para el resto de la sección, se utilizará la siguiente configuración y notación:
La interpolación compleja funciona bien en la clase de espacios de Sobolev (los espacios potenciales de Bessel ) así como los espacios de Besov:
La interpolación real entre espacios de Sobolev puede dar espacios de Besov, excepto cuando s 0 = s 1 ,
Cuando s 0 ≠ s 1 pero p 0 = p 1 , la interpolación real entre espacios de Sobolev da un espacio de Besov:
También,
Ver también
- Teorema de Riesz-Thorin
- Teorema de interpolación de Marcinkiewicz
Notas
- ↑ Los artículos seminales en esta dirección son Lions, Jacques-Louis (1960), "Une construction d'espaces d'interpolation", CR Acad. Sci. París (en francés), 251 : 1853–1855y Calderón (1964) .
- ^ primero definido en Leones, Jacques-Louis; Peetre, Jaak (1961), "Propriétés d'espaces d'interpolation", CR Acad. Sci. París (en francés), 253 : 1747–1749, desarrollado en Lions & Peetre (1964) , con notación ligeramente diferente (y más complicada, con cuatro parámetros en lugar de dos) de la notación actual. Se puso más tarde en la forma de hoy en Peetre, Jaak (1963), "Nouvelles propriétés d'espaces d'interpolation", CR Acad. Sci. París (en francés), 256 : 1424–1426, y Peetre, Jaak (1968), Una teoría de la interpolación de espacios normativos, Notas de Matemática, 39 , Río de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Conselho Nacional de Pesquisas, pp. Iii + 86.
- ^ véase Bennett y Sharpley (1988) , págs. 96-105.
- ^ ver p. 88 en Bergh y Löfström (1976) .
- ^ ver Teorema 4.1.2, p. 88 en Bergh y Löfström (1976) .
- ^ ver Capítulo 5, p. 106 en Bergh y Löfström (1976) .
- ^ véanse las págs. 293-302 en Bennett y Sharpley (1988) .
- ^ ver Proposición 1.2, p. 294 en Bennett y Sharpley (1988) .
- ^ ver p. 298 en Bennett y Sharpley (1988) .
- ↑ ver Teorema 2.8, p. 314 en Bennett y Sharpley (1988) .
- ^ vea la Proposición 1.10, p. 301 en Bennett y Sharpley (1988)
- ^ ver Teorema 1.12, págs. 301-302 en Bennett y Sharpley (1988) .
- ↑ ver Teorema 1.9, p. 300 en Bennett y Sharpley (1988) .
- ^ ver Definición 2.2, págs. 309-310 en Bennett y Sharpley (1988)
- ^ ver Teorema 2.4, p. 311 en Bennett y Sharpley (1988)
- ^ ver 12.3, p. 121 en Calderón (1964) .
- ^ a b véanse 12.1 y 12.2, pág. 121 en Calderón (1964) .
- ^ Teorema 4.1.4, p. 89 en Bergh y Löfström (1976) .
- ↑ Teorema 4.3.1, p. 93 en Bergh y Löfström (1976) .
- ↑ ver Théorème 3.1, p. 23 en Lions & Peetre (1964) , o Teorema 3.7.1, pág. 54 en Bergh y Löfström (1976) .
- ^ ver el cap. II en Lions & Peetre (1964) .
- ^ ver el cap. 5, Théorème 2.2, pág. 37 en Lions & Peetre (1964) .
- ^ Davis, William J .; Figiel, Tadeusz; Johnson, William B .; Pełczyński, Aleksander (1974), "Factorizar operadores débilmente compactos", Journal of Functional Analysis , 17 (3): 311–327, doi : 10.1016 / 0022-1236 (74) 90044-5, véase también el teorema 2.g.11, pág. 224 en Lindenstrauss y Tzafriri (1979) .
- ^ Johnson, William B .; Lindenstrauss, Joram (2001), "Conceptos básicos en la geometría de los espacios de Banach", Manual de la geometría de los espacios de Banach, Vol. I , Amsterdam: North-Holland, págs. 1-84, y sección 2.g en Lindenstrauss & Tzafriri (1979) .
- ^ ver Teorema 3.b.1, p. 123 pulg Lindenstrauss, Joram ; Tzafriri, Lior (1977), Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 92 , Berlín: Springer-Verlag, págs. Xiii + 188, ISBN 978-3-540-08072-5.
- ^ Teorema 6.4.5, pág. 152 en Bergh y Löfström (1976) .
Referencias
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- Bennett, Colin; Sharpley, Robert (1988), Interpolación de operadores , Matemáticas puras y aplicadas, 129 , Academic Press, Inc., Boston, MA, págs. Xiv + 469, ISBN 978-0-12-088730-9.
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