En la teoría algebraica de números , el conductor de una extensión abeliana finita de campos locales o globales proporciona una medida cuantitativa de la ramificación en la extensión. La definición de director está relacionada con el mapa de Artin .
Conductor local
Sea L / K una extensión abeliana finita de campos locales no arquimedianos . El conductor de L / K , denotado, es el número entero no negativo más pequeño n tal que el grupo de unidades más alto
está contenido en N L / K ( L × ), donde N L / K es el mapa de normas de campo yes el ideal maximal de K . [1] De manera equivalente, n es el número entero más pequeño de modo que el mapa local de Artin es trivial en. A veces, el conductor se define comodonde n es como arriba. [2]
El conductor de una extensión mide la ramificación. Cualitativamente, la extensión no está ramificada si, y solo si, el conductor es cero, [3] y se ramifica dócilmente si, y solo si, el conductor es 1. [4] Más precisamente, el conductor calcula la no trivialidad de grupos de ramificación superior : si s es el número entero más grande para el que el grupo de ramificación superior de " numeración inferior " G s no es trivial, entonces, donde η L / K es la función que se traduce de "numeración más baja" a " numeración superior " de los grupos de ramificación más altos. [5]
El director de L / K también está relacionado con los directores de Artin de personajes del grupo Galois Gal ( L / K ). En concreto, [6]
donde χ varía sobre todos los caracteres complejos multiplicativos de Gal ( L / K ),es el conductor de Artin de χ, y el mcm es el mínimo común múltiplo .
Campos más generales
El conductor puede definirse de la misma manera para L / K, una extensión de Galois finita no necesariamente abeliana de los campos locales. [7] Sin embargo, solo depende de L ab / K , la extensión abeliana máxima de K en L , debido al "teorema de limitación de la norma", que establece que, en esta situación, [8] [9]
Además, el conductor se puede definir cuando se permite que L y K sean un poco más generales que locales, es decir, si son campos valuados completos con un campo de residuo cuasi-finito . [10]
Campos de Arquímedes
Principalmente por el bien de los conductores globales, el conductor de la extensión trivial R / R se define como 0, y el conductor de la extensión C / R se define como 1. [11]
Conductor global
Campos numéricos algebraicos
El conductor de una extensión abeliana L / K de campos numéricos se puede definir, de manera similar al caso local, utilizando el mapa de Artin. Específicamente, sea θ: I m → Gal ( L / K ) el mapa global de Artin donde el módulo m es un módulo definitorio para L / K ; decimos que la reciprocidad de Artin es válida para m si θ factores a través del grupo de clases de rayos módulo m . Definimos el conductor de L / K , denotado, ser el factor común más alto de todos los módulos para los que se mantiene la reciprocidad; de hecho, la reciprocidad es válida para, por lo que es el módulo más pequeño. [12] [13] [14]
Ejemplo
- Tomando como base el campo de los números racionales, el teorema de Kronecker-Weber establece que un campo numérico algebraico K es abeliano sobre Q si y solo si es un subcampo de un campo ciclotómico , dónde denota una raíz n- ésima primitiva de unidad. [15] Si n es el número entero más pequeño para el que esto se cumple, el conductor de K es entonces n si K se fija por conjugación compleja y de lo contrario.
- Let L / K seadonde d es un número entero sin cuadrados. Entonces, [16]
- dónde es el discriminante de .
Relación con conductores locales y ramificación.
El conductor global es el producto de conductores locales: [17]
Como consecuencia, un primo finito se ramifica en L / K si, y solo si, divide. [18] Un primer infinita v se produce en el conductor si, y sólo si, v es real y se vuelve compleja en L .
Notas
- ↑ Serre 1967 , §4.2
- ^ Como en Neukirch 1999 , definición V.1.6
- ^ Neukirch 1999 , propuesta V.1.7
- ↑ Milne , 2008 , I.1.9
- ^ Serre 1967 , §4.2, proposición 1
- ^ Artin y Tate 2009 , corolario del teorema XI.14, p. 100
- ^ Como en Serre 1967 , §4.2
- ^ Serre 1967 , §2.5, proposición 4
- ^ Milne 2008 , teorema III.3.5
- ^ Como en Artin & Tate 2009 , §XI.4. Ésta es la situación en la que funciona el formalismo de la teoría del campo de clases local .
- ^ Cohen 2000 , definición 3.4.1
- ^ Milne 2008 , observación V.3.8
- ^ Janusz 1973 , págs. 158, 168–169
- ^ Algunos autores omiten infinitos lugares del director, por ejemplo, Neukirch 1999 , §VI.6
- ^ Manin, Yu. Yo ; Panchishkin, AA (2007). Introducción a la teoría de números moderna . Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. 49 (Segunda ed.). págs. 155, 168. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396 . Zbl 1079.11002 .
- ^ Milne 2008 , ejemplo V.3.11
- ^ Para la parte finita Neukirch 1999 , proposición VI.6.5, y para la parte infinita Cohen 2000 , definición 3.4.1
- ^ Neukirch 1999 , corolario VI.6.6
Referencias
- Artin, Emil ; Tate, John (2009) [1967], teoría del campo de clases , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4426-7, MR 2467155
- Cohen, Henri (2000), Temas avanzados en teoría numérica computacional , Textos de posgrado en matemáticas , 193 , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98727-9
- Janusz, Gerald (1973), Campos numéricos algebraicos , Matemáticas puras y aplicadas, 55 , Academic Press, ISBN 0-12-380250-4, Zbl 0307.12001
- Milne, James (2008), Class field theory (v4.0 ed.) , Consultado el 22 de febrero de 2010
- Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathischen Wissenschaften . 322 . Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. Señor 1697859 . Zbl 0956.11021 .
- Serre, Jean-Pierre (1967), "Teoría del campo de clase local", en Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht (eds.), Teoría algebraica de números, Actas de una conferencia educativa en la Universidad de Sussex, Brighton, 1965 , Londres: Academic Press, ISBN 0-12-163251-2, MR 0220701