Curvatura principal

Curvatura máxima y mínima en un punto de una superficie.

Superficie de silla con planos normales en direcciones de curvaturas principales

En geometría diferencial , las dos curvaturas principales en un punto dado de una superficie son los valores propios del operador de forma en el punto. Miden cómo la superficie se dobla en diferentes cantidades en diferentes direcciones en ese punto.

Discusión

En cada punto p de una superficie diferenciable en el espacio euclidiano tridimensional , se puede elegir un vector normal unitario . Un plano normal en p es uno que contiene el vector normal y, por lo tanto, también contendrá una dirección única tangente a la superficie y cortará la superficie en una curva plana, llamada sección normal . En general, esta curva tendrá diferentes curvaturas para diferentes planos normales en p . Las curvaturas principales en p , denotadas k ₁ y k ₂, son los valores máximo y mínimo de esta curvatura.

Aquí, la curvatura de una curva es, por definición, el recíproco del radio del círculo osculante . La curvatura se considera positiva si la curva gira en la misma dirección que la normal elegida de la superficie y, en caso contrario, es negativa. Las direcciones en el plano normal donde la curvatura toma sus valores máximo y mínimo son siempre perpendiculares, si k ₁ no es igual a k ₂ , resultado de Euler (1760), y se denominan direcciones principales . Desde una perspectiva moderna, este teorema se sigue del teorema espectral porque estas direcciones son los ejes principales de untensor simétrico: la segunda forma fundamental . Gaston Darboux realizó un análisis sistemático de las principales curvaturas y direcciones principales , utilizando marcos Darboux .

El producto k ₁ k ₂ de las dos curvaturas principales es la curvatura gaussiana , K , y la media ( k ₁  +  k ₂ ) / 2 es la curvatura media , H .

Si al menos una de las curvaturas principales es cero en cada punto, entonces la curvatura gaussiana será 0 y la superficie es una superficie desarrollable . Para una superficie mínima , la curvatura media es cero en todos los puntos.

Definicion formal

Sea M una superficie en el espacio euclidiano con una segunda forma fundamental . Fije un punto p ∈ M , y una base ortonormal X ₁ , X ₂ de vectores tangentes en p . Entonces las curvaturas principales son los valores propios de la matriz simétrica${\displaystyle I\!I(X,Y)}$

${\displaystyle \left[I\!I_{ij}\right]={\begin{bmatrix}I\!I(X_{1},X_{1})&I\!I(X_{1},X_{2})\\I\!I(X_{2},X_{1})&I\!I(X_{2},X_{2})\end{bmatrix}}.}$

Si se seleccionan X ₁ y X _{2 de} modo que la matriz sea ​​una matriz diagonal, entonces se denominan direcciones principales . Si la superficie está orientada , a menudo se requiere que el par ( X ₁ , X ₂ ) esté orientado positivamente con respecto a la orientación dada.${\displaystyle \left[I\!I_{ij}\right]}$

Sin referencia a una base ortonormal particular, las curvaturas principales son los valores propios del operador de forma , y las direcciones principales son sus vectores propios .

Generalizaciones

Para hipersuperficies en espacios euclidianos de dimensiones superiores, las curvaturas principales pueden definirse de una manera directamente análoga. Las curvaturas principales son los valores propios de la matriz de la segunda forma fundamental en una base ortonormal del espacio tangente. Las direcciones principales son los vectores propios correspondientes.${\displaystyle I\!I(X_{i},X_{j})}$

De manera similar, si M es una hipersuperficie en una variedad Riemanniana N , entonces las curvaturas principales son los valores propios de su segunda forma fundamental. Si k ₁ , ..., k _n son el n curvaturas principales en un punto p ∈ M y X ₁ , ..., X _n son correspondientes vectores propios ortonormales (direcciones principales), entonces la curvatura seccional de M en p se da por

${\displaystyle K(X_{i},X_{j})=k_{i}k_{j}}$

para todos con .${\displaystyle i,j}$${\displaystyle i\neq j}$

Clasificación de puntos en una superficie.

• En los puntos elípticos , ambas curvaturas principales tienen el mismo signo y la superficie es localmente convexa .
  • En los puntos umbilicos , ambas curvaturas principales son iguales y cada vector tangente puede considerarse una dirección principal. Estos suelen ocurrir en puntos aislados.
• En los puntos hiperbólicos , las curvaturas principales tienen signos opuestos y la superficie tendrá forma localmente en silla de montar.
• En los puntos parabólicos , una de las curvaturas principales es cero. Los puntos parabólicos generalmente se encuentran en una curva que separa las regiones elípticas e hiperbólicas.
  • En los puntos umbilicales planos, ambas curvaturas principales son cero. Una superficie genérica no contendrá puntos umbilicales planos. La silla de montar del mono es una superficie con un umbilico plano aislado.

Clases de puntos de superficie ^[1]

k 1		> 0	= 0	<0
k 2	> 0	Elipsoide cóncavo	Cilindro cóncavo	Superficie hiperboloide
	= 0	Cilindro cóncavo	Plano	Cilindro convexo
	<0	Superficie hiperboloide	Cilindro convexo	Elipsoide convexo

Línea de curvatura

Las líneas de curvatura o líneas de curvatura son curvas que siempre son tangentes a una dirección principal (son curvas integrales para los campos de dirección principal). Habrá dos líneas de curvatura a través de cada punto no umbilico y las líneas se cruzarán en ángulo recto.

En la vecindad de un umbilico, las líneas de curvatura típicamente forman una de las tres configuraciones estrella , limón y monstar (derivada de la estrella limón ). ^[2] Estos puntos también se denominan umbílicos darbouxianos, en honor a Gaston Darboux , el primero en hacer un estudio sistemático en el vol. 4, p. 455, de sus Leçons (1896).

• Configuraciones de líneas de curvatura cerca de umbilicales
• Limón

• Monstar

• Estrella

En estas figuras, las curvas rojas son las líneas de curvatura de una familia de direcciones principales y las curvas azules de la otra.

Cuando una línea de curvatura tiene un extremo local de la misma curvatura principal, la curva tiene un punto de cresta . Estos puntos de cresta forman curvas en la superficie llamadas crestas . Las curvas de la cresta atraviesan los umbilicos. Para el patrón de estrella, 3 o 1 línea de cresta pasan a través del umbilic, para monstar y lemon solo pasa una cresta. ^[3]

Aplicaciones

Las direcciones de curvatura principal junto con la normal de la superficie definen un marco de orientación 3D en un punto de la superficie. Por ejemplo, en el caso de una superficie cilíndrica, al tocar físicamente u observar visualmente, sabemos que a lo largo de una dirección específica la superficie es plana (paralela al eje del cilindro) y, por lo tanto, tomamos nota de la orientación de la superficie. La implicación de tal marco de orientación en cada punto de la superficie significa que cualquier rotación de las superficies a lo largo del tiempo puede determinarse simplemente considerando el cambio en los marcos de orientación correspondientes. Esto ha resultado en algoritmos de segmentación y estimación de movimiento de un solo punto en la visión por computadora. ^[4]

Ver también

• Radio de la Tierra # Secciones principales

Referencias

1. Curvatura de la superficie
2. Berry, MV ; Hannay, JH (1977). "Puntos umbilicos en superficies aleatorias gaussianas" . Journal of Physics A . 10 (11): 1809–21. Código Bibliográfico : 1977JPhA ... 10.1809B . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 10/11/009 . S2CID  55230556 .
3. Porteous, IR (1994). Diferenciación geométrica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-39063-X.
4. Perera, S .; Barnes, N. (noviembre de 2013). "Estimación y segmentación de movimiento rígido de 1 punto con una cámara RGB-D". 2013 Conferencia Internacional sobre Computación de Imágenes Digitales: Técnicas y Aplicaciones (DICTA) : 1–8. doi : 10.1109 / DICTA.2013.6691469 . ISBN 978-1-4799-2126-3. S2CID  15915653 .

Otras lecturas

• Darboux, Gaston (1887, 1889, 1896). Leçons sur la théorie génerale des surface . Gauthier-Villars.
• Guggenheimer, Heinrich (1977). "Capítulo 10. Superficies". Geometría diferencial . Dover. ISBN 0-486-63433-7.
• Kobayashi, Shoshichi y Nomizu, Katsumi (1996). Fundamentos de la geometría diferencial, vol. 2 (Nueva ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15732-5.
• Spivak, Michael (1999). Una introducción completa a la geometría diferencial (Volumen 3) . Publicar o perecer. ISBN 0-914098-72-1.

enlaces externos

• Comentarios históricos sobre el elipsoide de Monge y la configuración de líneas de curvatura en superficies sumergidas en R 3