Mapa antilineal

function in mathematics

En matemáticas , se dice que una función entre dos espacios vectoriales reales o complejos es antilineal o conjugado-lineal si${\displaystyle f:V\to W}$

$${\displaystyle f(ax+by)={\overline {a}}f(x)+{\overline {b}}f(y)\quad {\text{ for all vectors }}x,y\in V{\text{ and all scalars }}a,b}$$

donde y son los conjugados complejos de y respectivamente. ${\displaystyle {\overline {a}}}$${\displaystyle {\overline {b}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b,}$

Los mapas antilineales ocurren en la mecánica cuántica en el estudio de la inversión del tiempo y en el cálculo de espinor , donde se acostumbra reemplazar las barras sobre los vectores base y las componentes de los objetos geométricos por puntos colocados sobre los índices.

Definiciones y caracterizaciones

Una función se denomina antilineal o conjugada lineal si es aditiva y conjugada homogénea .

Una función se llama aditiva si${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{ for all vectors }}x,y}$$

mientras que se llama conjugado homogéneo si

$${\displaystyle f(ax)={\overline {a}}f(x)\quad {\text{ for all vectors }}x{\text{ and all scalars }}a.}$$

Por el contrario, un mapa lineal es una función que es aditiva y homogénea , donde se llama homogénea si${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(ax)=af(x)\quad {\text{ for all vectors }}x{\text{ and all scalars }}a.}$$

Un mapa antilineal puede describirse de manera equivalente en términos del mapa lineal desde el espacio vectorial conjugado complejo${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle {\overline {f}}:V\to {\overline {W}}}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\overline {W}}.}$

Ejemplos de

Mapa dual antilineal

Dado un espacio vectorial complejo de rango 1, podemos construir un mapa dual antilineal que es un mapa antilineal${\displaystyle V}$

${\displaystyle l:V\to \mathbb {C} }$

el envío de un elemento de a${\displaystyle x_{1}+iy_{1}}$${\displaystyle x_{1},y_{1}\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle x_{1}+iy_{1}\mapsto a_{1}x_{1}-ib_{1}y_{1}}$

para algunos números reales fijos . Podemos extender esto a cualquier espacio vectorial complejo de dimensión finita, donde si escribimos la base estándar y cada elemento de la base estándar como${\displaystyle a_{1},b_{1}}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$

${\displaystyle e_{k}=x_{k}+iy_{k}}$

entonces un mapa complejo antilineal será de la forma${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \sum _{k}x_{k}+iy_{k}\mapsto \sum _{k}a_{k}x_{k}-ib_{k}y_{k}}$

para .${\displaystyle a_{k},b_{k}\in \mathbb {R} }$

Isomorfismo de dual antilineal con dual real

El dual antilineal ^{[1] pág. 36} de un espacio vectorial complejo${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{\overline {\mathbb {C} }}(V,\mathbb {C} )}$

es un ejemplo especial, ya que es isomorfo a la verdadera doble del espacio vectorial real subyacente de , . Esto viene dado por el mapa que envía un mapa antilineal.${\displaystyle V}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle l:V\to \mathbb {C} }$

para

${\displaystyle {\text{Im}}(l):V\to \mathbb {R} }$

En la otra dirección, está el mapa inverso que envía un vector dual real

${\displaystyle \lambda :V\to \mathbb {R} }$

para

${\displaystyle l(v)=-\lambda (iv)+i\lambda (v)}$

dando el mapa deseado.

Propiedades

El compuesto de dos mapas antilineal es una aplicación lineal . La clase de mapas semilineales generaliza la clase de mapas antilineales.

Espacio anti-dual

El espacio vectorial de todas las formas antilineales en un espacio vectorial se llama espacio anti-dual algebraico de Si es un espacio vectorial topológico , entonces el espacio vectorial de todas las funciones antilineales continuas en denotado por se llama espacio anti-dual continuo o simplemente el espacio vectorial espacio anti-dual de ^[2] si no puede surgir confusión. ${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime },}$${\displaystyle X}$

Cuando es un espacio normado, entonces la norma canónica en el espacio anti-dual (continuo) denotado por se define usando esta misma ecuación: ^[3]${\displaystyle H}$${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime },}$${\displaystyle \|f\|_{{\overline {X}}^{\prime }},}$

$${\displaystyle \|f\|_{{\overline {X}}^{\prime }}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in {\overline {X}}^{\prime }.}$$

Esta fórmula es idéntica a la fórmula para la norma dual en el espacio dual continuo de la cual se define por ^[3]${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X,}$

$${\displaystyle \|f\|_{X^{\prime }}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in X^{\prime }.}$$

Isometría canónica entre dual y anti-dual

El complejo conjugado de un funcional se define enviando a Satisface ${\displaystyle {\overline {f}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in \operatorname {domain} f}$${\displaystyle {\overline {f(x)}}.}$

$${\displaystyle \|f\|_{X^{\prime }}~=~\left\|{\overline {f}}\right\|_{{\overline {X}}^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \left\|{\overline {g}}\right\|_{X^{\prime }}~=~\|g\|_{{\overline {X}}^{\prime }}}$$

para todos y cada uno Esto dice exactamente que la biyección antilineal canónica definida por${\displaystyle f\in X^{\prime }}$${\displaystyle g\in {\overline {X}}^{\prime }.}$

$${\displaystyle \operatorname {Cong} ~:~X^{\prime }\to {\overline {X}}^{\prime }\quad {\text{ where }}\quad \operatorname {Cong} (f):={\overline {f}}}$$

así como su inversa son isometrías antilineales y consecuentemente también homeomorfismos . ${\displaystyle \operatorname {Cong} ^{-1}~:~{\overline {X}}^{\prime }\to X^{\prime }}$

Si entonces y este mapa canónico se reduce al mapa de identidad.${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$${\displaystyle X^{\prime }={\overline {X}}^{\prime }}$${\displaystyle \operatorname {Cong} :X^{\prime }\to {\overline {X}}^{\prime }}$

Espacios interiores de productos

Si es un espacio de producto interno, entonces tanto la norma canónica sobre como sobre satisface la ley del paralelogramo , lo que significa que la identidad de polarización se puede usar para definir un producto interno canónico sobre y también sobre el cual este artículo denotará por las notaciones ${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime },}$

$${\displaystyle \langle f,g\rangle _{X^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{X^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}$$

donde este producto interior hace y en los espacios de Hilbert. Los productos internos y son antilineales en sus segundos argumentos. Además, la norma canónica inducida por este producto interno (es decir, la norma definida por ) es consistente con la norma dual (es decir, como se define anteriormente por el supremo sobre la bola unitaria); explícitamente, esto significa que lo siguiente es válido para cada${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime }}$${\displaystyle \langle f,g\rangle _{X^{\prime }}}$${\displaystyle \langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}$${\displaystyle f\mapsto {\sqrt {\left\langle f,f\right\rangle _{X^{\prime }}}}}$${\displaystyle f\in X^{\prime }:}$

$${\displaystyle \sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|=\|f\|_{X^{\prime }}~=~{\sqrt {\langle f,f\rangle _{X^{\prime }}}}~=~{\sqrt {\langle f\mid f\rangle _{X^{\prime }}}}.}$$

Si es un espacio de producto interno, entonces los productos internos en el espacio dual y el espacio anti-dual denotados respectivamente por y están relacionados por${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime },}$${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{X^{\prime }}}$${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }},}$

$${\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{X^{\prime }}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{X^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in X^{\prime }}$$

y

$${\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{X^{\prime }}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in {\overline {X}}^{\prime }.}$$

Ver también

• Complejo conjugado
• Espacio vectorial conjugado complejo
• Teorema fundamental de los espacios de Hilbert
• Espacio interior del producto  : generalización del producto escalar; utilizado para definir los espacios de Hilbert
• Mapa lineal  : mapeo que conserva las operaciones de suma y multiplicación escalar
• Consimilitud de la matriz
• Teorema de representación de Riesz
• Forma sesquilineal  : función escalar de dos variables complejas que es lineal en una variable y conjugada-lineal en la otra
• Inversión de  tiempo: simetría de inversión de tiempo en física

Citas

1. Birkenhake, Christina (2004). Variedades Abelianas complejas . Herbert Lange (Segunda edición aumentada). Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-06307-1. OCLC  851380558 .
2. Trèves , 2006 , págs. 112-123.
3. Trèves , 2006 , págs. 112–123.

Referencias

• Budinich, P. y Trautman, A. The Spinorial Chessboard . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (los mapas antilineales se analizan en la sección 3.3). 
• Horn y Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2 . (los mapas antilineales se analizan en la sección 4.6). 
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .

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