En el análisis funcional , la norma dual es una medida de tamaño para una función lineal continua definida en un espacio vectorial normalizado .
Definición
Dejar ser un espacio vectorial normalizado con norma y deja ser el espacio dual . La norma dual de un funcional lineal continuo perteneciendo a es el número real no negativo definido [1] por cualquiera de las siguientes fórmulas equivalentes:
dónde y denotan el supremum y el infimum , respectivamente. El mapa constante 0 siempre tiene una norma igual a 0 y es el origen del espacio vectorial Si entonces el único funcional lineal en es el mapa constante 0 y, además, los conjuntos en las dos últimas filas estarán vacíos y, en consecuencia, sus supremums serán iguales a ∞ en lugar del valor correcto de 0 .
El mapa define una norma sobre (Consulte los teoremas 1 y 2 a continuación).
La norma dual es un caso especial de la norma del operador definida para cada mapa lineal (acotado) entre espacios vectoriales normativos .
La topología en Inducido por resulta ser tan fuerte como la topología débil- * en
Si el campo de tierra deestá completo entonceses un espacio de Banach .
El doble dual de un espacio lineal normado
El doble dual (o segundo dual) de es el dual del espacio vectorial normado . Hay un mapa natural. De hecho, para cada en definir
El mapa es lineal , inyectable y preserva la distancia . [2] En particular, si está completo (es decir, un espacio de Banach), entonces es una isometría en un subespacio cerrado de . [3]
En general, el mapa no es sobreyectiva. Por ejemplo, si es el espacio Banach que consta de funciones acotadas en la línea real con la norma suprema, luego el mapa no es sobreyectiva. (Verespacio ). Si es sobreyectiva, entonces se dice que es un espacio reflexivo de Banach . Sientonces el espacio es un espacio reflexivo de Banach.
Optimización matemática
Dejar ser una norma en La norma dual asociada , denotada Se define como
(Se puede demostrar que esto es una norma). La norma dual se puede interpretar como la norma del operador de, interpretado como un matriz, con la norma en , y el valor absoluto en :
De la definición de norma dual tenemos la desigualdad
que es válido para todo x y z . [4] El dual de la norma dual es la norma original: tenemospara todo x . (Esto no tiene por qué ser válido en espacios vectoriales de dimensión infinita).
El dual de la norma euclidiana es la norma euclidiana, ya que
(Esto se sigue de la desigualdad de Cauchy-Schwarz ; para z distinto de cero , el valor de x que maximiza encima es .)
El dual de la -norm es el -norma:
y el dual de la -norm es el -norma.
De manera más general, la desigualdad de Hölder muestra que el dual del-norm es el-norm, donde, q satisface, es decir,
Como otro ejemplo, considere el - o norma espectral en . La norma dual asociada es
que resulta ser la suma de los valores singulares,
Ejemplos de
Norma dual para matrices
La norma de Frobenius definida por
es auto-dual, es decir, su norma dual es
La norma espectral , un caso especial de la norma inducida cuando, se define por los valores singulares máximos de una matriz, es decir,
tiene la norma nuclear como su norma dual, que se define por
para cualquier matriz dónde denotar los valores singulares [ cita requerida ] .
Algunos resultados básicos sobre la norma del operador
De manera más general, dejemos y ser espacios vectoriales topológicos y dejar[6] ser la colección de todas las asignaciones lineales acotadas (u operadores ) de dentro En el caso donde y son espacios vectoriales normativos, se le puede dar una norma canónica.
Teorema 1 - Sea y Ser espacios normativos. Asignar a cada operador lineal continuo el escalar
define una norma en lo que hace en un espacio normado. Además, si es un espacio de Banach, entonces también lo es [7]
Prueba |
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Un subconjunto de un espacio normado está acotado si y solo si se encuentra en algún múltiplo de la esfera unitaria ; por lo tanto para cada Si es un escalar, entonces así que eso La desigualdad triangular en muestra que para cada satisfactorio Este hecho junto con la definición de implica la desigualdad del triángulo: Desde es un conjunto no vacío de números reales no negativos, es un número real no negativo. Si luego para algunos lo que implica que y consecuentemente Esto muestra que es un espacio normado. [8] Asume ahora que está completo y mostraremos que Esta completo. Dejarser una secuencia de Cauchy en así que por definición como Este hecho junto con la relación implica que es una secuencia de Cauchy en para cada De ello se deduce que para cada el límite existe en y así denotaremos este límite (necesariamente único) por es decir: Se puede demostrar que es lineal. Si, luego para todos los números enteros n y m suficientemente grandes . Resulta que para lo suficientemente grande Por eso así que eso y Esto muestra que en la topología normal de Esto establece la integridad de [9] |
Cuándo es un campo escalar (es decir o ) así que eso es el espacio dual de .
Teorema 2 - Sea ser un espacio normado y para cada dejar
donde por definición es un escalar. Luego
- es una norma que haceun espacio de Banach. [10]
- Si es la bola unitaria cerrada de entonces para cada
- es débil * -compacto.
Prueba |
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Dejar denotar la bola unitaria cerrada de un espacio normado Cuándo es el campo escalar entonces entonces la parte (a) es un corolario del Teorema 1. Arregle Existe [11] tal que pero, para cada . (b) se sigue de lo anterior. Dado que la bola de unidad abierta de es denso en , la definición de muestra que si y solo si para cada . La demostración de (c) [12] sigue ahora directamente. [13] |
Ver también
- Conjugado convexo
- Norma del operador
- Espacios lp
- La desigualdad de Hölder
Notas
- ^ Rudin 1991 , p. 87
- ^ Rudin 1991 , sección 4.5, p. 95
- ^ Rudin 1991 , p. 95
- ^ Esta desigualdad es ajustada, en el siguiente sentido: para cualquier x hay una z para la cual la desigualdad se cumple con la igualdad. (De manera similar, para cualquier z hay una x que da igualdad).
- ^ Boyd y Vandenberghe 2004 , p. 637
- ^ Cadaes un espacio vectorial , con las definiciones habituales de suma y multiplicación escalar de funciones; esto solo depende de la estructura del espacio vectorial de, no .
- ^ Rudin 1991 , p. 92
- ^ Rudin 1991 , p. 93
- ^ Rudin 1991 , p. 93
- ^ Aliprantis , 2006 , p. 230
- ^ Rudin 1991 , Corolario del teorema 3.3, p. 59
- ^ Rudin 1991 , Teorema 3.15 Elalgoritmo del teorema de Banach-Alaoglu , p. 68
- ^ Rudin 1991 , p. 94
Referencias
- Aliprantis, Charalambos D .; Frontera, Kim C. (2006). Análisis dimensional infinito: Guía del autoestopista (3ª ed.). Saltador. ISBN 9783540326960.
- Boyd, Stephen ; Vandenberghe, Lieven (2004). Optimización convexa . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 9780521833783.
- Kolmogorov, AN ; Fomin, SV (1957). Elementos de la Teoría de Funciones y Análisis Funcional, Volumen 1: Espacios Métricos y Normatizados . Rochester: Graylock Press.
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
enlaces externos
- Notas sobre el mapeo proximal de Lieven Vandenberge