En un grupo , el conjugado por g de h es ghg −1 .
Traducción
Si h es una traducción, entonces su conjugación mediante una isometría se puede describir como la aplicación de la isometría a la traducción:
- la conjugación de una traducción por una traducción es la primera traducción
- la conjugación de una traslación por una rotación es una traslación por un vector de traslación girado
- la conjugación de una traducción por una reflexión es una traducción por un vector de traducción reflejada
Así, la clase de conjugación dentro del grupo euclidiano E ( n ) de una traducción es el conjunto de todas las traducciones a la misma distancia.
El subgrupo más pequeño del grupo euclidiano que contiene todas las traslaciones por una distancia determinada es el conjunto de todas las traslaciones. Entonces, este es el cierre conjugado de un singleton que contiene una traducción.
Así, E ( n ) es un producto directo del grupo ortogonal O ( n ) y el subgrupo de traslaciones T , y O ( n ) es isomorfo con el grupo cociente de E ( n ) por T :
- O ( n ) E ( n ) / T
Por lo tanto, hay una partición del grupo euclidiano con en cada subconjunto una isometría que mantiene los orígenes fijos y su combinación con todas las traducciones.
Cada isometría viene dada por una matriz ortogonal A en O ( n ) y un vector b :
y cada subconjunto en el grupo del cociente viene dado por la matriz A solamente.
De manera similar, para el grupo ortogonal especial SO ( n ) tenemos
- SO ( n ) E + ( n ) / T
Inversión
El conjugado de la inversión en un punto por una traslación es la inversión en el punto trasladado, etc.
Así, la clase de conjugación dentro del grupo euclidiano E ( n ) de inversión en un punto es el conjunto de inversiones en todos los puntos.
Dado que una combinación de dos inversiones es una traslación, el cierre conjugado de un singleton que contiene inversión en un punto es el conjunto de todas las traslaciones y las inversiones en todos los puntos. Este es el grupo diedro generalizado dih ( R n ).
De manera similar, { I , - I } es un subgrupo normal de O ( n ), y tenemos:
- E ( n ) / dih ( R n ) O ( n ) / { I , - I }
Para n impar también tenemos:
- O ( n ) SO ( n ) × { I , - I }
y por lo tanto no solo
- O ( n ) / SO ( n ) { Yo , - yo }
pero también:
- O ( n ) / { I , - I } SO ( n )
Para incluso n tenemos:
- E + ( n ) / dih ( R n ) SO ( n ) / { I , - I }
Rotación
En 3D, el conjugado por una traslación de una rotación alrededor de un eje es la rotación correspondiente alrededor del eje trasladado. Tal conjugación produce el desplazamiento de tornillo conocido por expresar un movimiento euclidiano arbitrario según el teorema de Chasles .
La clase de conjugación dentro del grupo euclidiano E (3) de una rotación alrededor de un eje es una rotación con el mismo ángulo alrededor de cualquier eje.
El cierre conjugado de un singleton que contiene una rotación en 3D es E + (3).
En 2D es diferente en el caso de una rotación de k- veces: el cierre conjugado contiene k rotaciones (incluida la identidad) combinadas con todas las traslaciones.
E (2) tiene el grupo cociente O (2) / C k y E + (2) tiene el grupo cociente SO (2) / C k . Para k = 2, esto ya se cubrió anteriormente.
Reflexión
Los conjugados de un reflejo son reflejos con un plano de espejo trasladado, girado y reflejado. El cierre conjugado de un singleton que contiene un reflejo es el E ( n ) completo .
Rotorreflexión
La clase lateral izquierda y también la derecha de una reflexión en un plano combinada con una rotación de un ángulo dado alrededor de un eje perpendicular es el conjunto de todas las combinaciones de una reflexión en el mismo plano o en un plano paralelo, combinado con una rotación del mismo ángulo. sobre el mismo eje o uno paralelo, conservando la orientación
Grupos de isometría
Se dice que dos grupos de isometría son iguales hasta la conjugación con respecto a las transformaciones afines si hay una transformación afín tal que todos los elementos de un grupo se obtienen tomando los conjugados por esa transformación afín de todos los elementos del otro grupo. Esto se aplica, por ejemplo, a los grupos de simetría de dos patrones que son ambos de un tipo de grupo de papel tapiz particular . Si solo consideráramos la conjugación con respecto a las isometrías, no permitiríamos el escalado y, en el caso de una red de paralelogramo , el cambio de forma del paralelogramo . Sin embargo, tenga en cuenta que el conjugado con respecto a una transformación afín de una isometría en general no es una isometría, aunque se conservan el volumen (en 2D: área) y la orientación .
Grupos cíclicos
Los grupos cíclicos son abelianos, por lo que el conjugado de cada elemento de cada elemento es el último.
Z mn / Z m Z n .
Z mn es el producto directo de Z m y Z n si y sólo si m y n son primos entre sí . Así, por ejemplo, Z 12 es el producto directo de Z 3 y Z 4 , pero no de Z 6 y Z 2 .
Grupos diédricos
Considere el grupo de puntos de isometría 2D D n . Los conjugados de una rotación son iguales y la rotación inversa. Los conjugados de un reflejo son los reflejos rotados por cualquier múltiplo de la unidad de rotación completa. Para n impares, todos estos son reflejos, para n pares la mitad de ellos.
Este grupo, y más generalmente, el grupo abstracto Dih n , tiene el subgrupo normal Z m para todos los divisores m de n , incluido el propio n .
Además, Dih 2 n tiene dos subgrupos normales isomorfos con Dih n . Ambos contienen los mismos elementos de grupo que forman el grupo Z n , pero cada uno tiene adicionalmente una de las dos clases de conjugación de Dih 2 n \ Z 2 n .
De echo:
- Dih mn / Z nDih n
- Dih 2 n / Dih nZ 2
- Dih 4 n +2Dih 2 n +1 × Z 2